Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны (1092657), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В среде без потерь величина k принимает чисто вещественное значение, и выражение (5.10) принимает вид:

. (5.11)

Мгновенное значение поля запишется как

. (5.12)

Из (5.12) следует, что в направлении z распространяется волна , второй член выражения (5.12) указывает на то, что аналогичная волна одновременно распространяется в обратном направлении. Полученная волна называется плоской однородной волной. Первое вытекает из того, что на плоскости, перпендикулярной направлению распространения во всех ее точках фазы колебаний одинаковы. Второе говорит о том, что плоскости равных фаз и равных амплитуд совпадают.

С течением времени синфазная плоскость (фронт волны) переме-щается в направлении z, и фаза волны в данный момент времени в заданной точке пространства определяется аргументом . Как следует из (5.12), коэффициенты А и В соответственно определяют ампли-туды прямой и обратной волны.

Фазовой скоростью волны назы-вается скорость перемещения фронта. Пусть волна распространяется в направлении z. На рис.5.2 показаны два состояния волнового процесса в моменты времени t₁ и t₂. За время волна переместится на расстояние , которое можно определить из условия (5.13):

, (5.13)

откуда

, или .

Скорость перемещения фронта волнового процесса определим как

. (5.14)

В диэлектрике, не обладающем магнитными свойствами, фазовая скорость волны равна

. (5.15)

Из (5.15) следует, что фазовая скорость волны в диэлектрике меньше скорости света и зависит от диэлектрической проницаемости вещества, а в пустоте ( ) фазовая скорость электромагнитной волны оказывается равной скорости света:

. (5.16)

Этим самым Максвелл первым установил электромагнитную природу света.

Волна, распространяющаяся в однородной среде с постоянной фазовой скоростью, называется бегущей волной. Путь , который проходит волна за период колебания Т, называется длиной волны. Иными словами, на расстоянии, равном длине волны фаза волны изменяется на . Длину волны можно определить из условия:

, (5.17)

где – длина волны в пустоте.

Определим физический смысл величины k, положив :

(5.18)

Таким образом, длина волны в диэлектрике меньше длины волны в пустоте при одной и той же частоте. Длина волны, так же, как и фазовая скорость, зависит от диэлектрической проницаемости вещества. Величина называется волновым числом, или фазовой постоянной и показывает, на сколько радиан изменяется фаза волны на пути в 1 м.

Определим соотношение между векторами и и их взаимную ориентацию во времени и пространстве. Для этого запишем 1 и 2 уравнения Максвелла, используя выражение для ротора в декартовых координатах:

. (5.19)

Учитывая, что в случае плоской волны , получим:

(5.20)

где

(5.21)

Как следует из (5.20), векторы и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях и не имеют продольных составляющих. Поэтому в случае однородных сред волна называется поперечной. Найдем соотношение между векторами и . Пусть вектор ориентирован вдоль оси х, а вектор – вдоль оси y. Тогда

. (5.22)

или в скалярной форме:

. (5.23)

Из (5.21) , откуда

. (5.24)

Из (5.24) следует важный вывод о том, что в неограниченных средах без потерь электрическое и магнитное поля совпадают по фазе во времени и пространстве, что иллюстрируется рис.5.3. Используя (5.24), найдем соотношение Е и Н:

. (5.25)

Величина имеет размерность Ом и называется волновым сопротивлением среды. Для пустоты :

Ом. (5.26)

Определим среднее по времени значение вектора Пойнтинга. По определению

, (5.27)

где Т – период колебаний.

Заменим Е и Н мгновенными значениями:

.

Так как ,то

где , а .

Окончательно

, (5.28)

или, в случае пустоты,

. (5.29)

5.4 Плоские волны в средах с конечной проводимостью

В средах с проводимостью отличной от нуля электромагнитные волны испытывают затухание в результате превращения части энергии волны в тепловую энергию. Тепловые потери энергии волны могут быть также диэлектрического характера – в результате электронной поляризации вещества. В ферро-магнетиках возникает известное в физике явление магнитного гистерезиса, что также приводит к потерям энергии волны. В подобных средах диэлектрическая и магнитная проницаемость имеют комплексный характер.

Для анализа свойств плоской волны в среде с потерями вначале исключим из рассмотрения диэлектрические и магнитные потери и сосредоточимся на потерях, связанных только с наличием токов проводимости. Предположим также, что , т.е. будем рассматривать среду, не обладающую магнитными свойствами. Тогда

.

Введем обозначение . Тогда (5.30)

Обозначим и , тогда

. (5.31)

С учетом введенных обозначений выражение для напряженности электрического поля примет вид:

. (5.32)

Как следует из (5.32), амплитуда напряженности поля волны испытывает затухание. Величина α называется коэффициентом затухания и имеет размерность . Величина β по своему физическому содержанию аналогична k и называется коэффициентом фазы, а комплексная величина называется постоянной распространения. Соответственно, фазовая скорость волны в среде с конечной проводимостью и длина волны определяются по формулам:

. (5.33)

П оскольку фазовая скорость электромагнитной волны зависит только от оптических свойств среды, то величина n является коэффициентом преломления среды. Как видно из (5.32), амплитуда поля уменьшается по мере роста расстояния по экспоненциальному зако-ну (рис.5.4):

. (5.34)

Затухание волны принято выражать в децибелах:

. (5.35)

Величина, равная называется глубиной проникновения.

Как следует из (2.35), в средах с конечной проводимостью диэлектрическая проницаемость имеет комплексный характер. Поэтому волновое сопротивление такой среды также является комплексной величиной (5.37), и между векторами и имеет место сдвиг фаз. Таким образом, в средах с проводимостью, отличной от нуля, электрическое и магнитное поля сдвинуты относительно друг друга по фазе в пространстве и времени (рис.5.5).

Для определения величины сдвига фаз запишем выражение для относительной комплексной диэлектрической проницаемости в виде

, (5.36)

где – угол потерь (2.37), и подставим в (5.25):

. (5.37)

Таким образом, сдвиг фаз между векторами и равен половине угла потерь. В средах по своим свойствам близким к идеальному проводнику, как следует из (2.36), угол потерь равен 90⁰. Поэтому максимально возможный сдвиг фаз между векторами и в пространстве и времени равен 45⁰.

Для определения постоянной фазы и коэффициента затухания составим систему уравнений:

(5.38)

Решая (5.38) относительно n и p, получим:

(5.39)

где .

В случае, когда в среде практически отсутствуют потери, связанные с наличием проводимости ( ), и среда является диэлектриком, и принимают значения соответственно

(5.40)

Фазовая скорость и длина волны соответственно становятся равными:

(5.41)

В проводящих средах, когда , из (5.39) непосредственно следует, что . Следовательно,

. (5.42)

С учетом (5.42) выражение для фазовой скорости принимает вид:

(5.43)

Как следует из (5.43), фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называется частотной дисперсией.

6 Волновые явления на границе раздела двух сред

6.1 Поляризация волн

Для исследования свойств плоских волн, как было ранее показано, удобно использовать прямоугольную систему координат xyz. В том случае, когда в фиксированной точке пространства вектор не меняет своей ориентации во времени, волна считается линейно поляризованной. Если же вектор в фиксированной точке пространства вращается с частотой волны в плоскости, нормальной направлению распространения, то поляризация волны называется вращающейся (круговой). Поляризация может быть правосторонней или левосторонней. Если при вращении конец вектора описывает кривую в форме эллипса, то поляризация называется эллиптической.

При падении волны на границу раздела двух сред вектор линейно поляризованной волны может быть ориентирован произвольно относительно границе раздела. Плоскость, нормальная к границе раздела двух сред и параллельная направлению распространения, называется плоскостью падения. Если вектор параллельный плоскости падения, то поляризация называется параллельной. Если он нормален плоскости падения, то поляризация называется нормальной. Иногда параллельную поляризацию называют вертикальной, а нормальную – горизонтальной.

6.2 Падение плоской волны на границу раздела

Характеристики

Список файлов книги