Андрусевич Л.К. - Электромагнитные поля и волны (1092657), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Из первого уравнения Максвелла непосредственно вытекает, что токи проводимости и токи смещения в средах возникают в результате действия переменного магнитного поля. Источником же магнитного поля служат токи, которые называются сторонними. Этими токами могут быть внутренние токи генератора, электрические батареи и т.д. Именно они являются первичным источником электромагнитного поля, возбуждающего токи в электрической цепи. В различных задачах электродинамики часто требуется знание сторонних токов. Например, при расчете напряженности поля, излучаемого передающей антенной, необходимо знание характеристик сторонних токов, источником которых является генератор высокой частоты.

С учетом сторонних токов первое уравнение Максвелла принимает вид:

, (2.47)

где – плотность стороннего тока.

2.2.7 Классификация полей

Во многих частных задачах электродинамики уравнения Максвелла могут быть существенно упрощены. Поля называются статическими, если они неизменны во времени, и заряды неподвижны. В этом случае система уравнений Максвелла распадается на две независимые системы уравнений:

, (2.48)

. (2.49)

Поле, описанное системой уравнений (2.48), называется электростатическим. Соответственно система уравнений (2.49) является характеристикой магнитостатического поля.

Из уравнений (2.45) и (2.46) следует, что электростатическое и магнитостатическое поля никак не связаны и существуют независимо друг от друга. Примером электростатического поля служит постоянное поле заряженного конденсатора (без учета саморазряда). Примером магнитостатического поля служит поле постоянного магнита.

При наличии постоянного тока электрическое и магнитное поля уже не являются независимыми. Создаваемое этим током электромагнитное поле называется стационарным и описывается системой уравнений:

3 Граничные условия

В прикладных задачах электродинамики среда чаще всего не является однородной. Это отражается на электрических характеристиках среды, которые становятся функцией координат. Изменение диэлектрической проницаемости и удельной проводимости среды, и соответственно, коэффициента преломления, может иметь плавный характер, как это имеет место в земной атмосфере. В то же время в направляющих системах (в проводных линиях передачи и металлических и оптических волноводах) волна распространяется вдоль границы двух сред, где электрические характеристики изменяются скачком. Например, в металлических волноводах такой границей с окружающей средой являются стенки волновода.

Наличие границы раздела вызывает изменение свойства электромагнитного поля на границе и в непосредственной близости от нее. В качестве первого шага будем считать, что параметры среды на границе испытывают скачок. В этом случае уравнения Максвелла в дифференциальной форме теряют смысл, так как для определения векторов поля в точках на границе раздела сред параметры среды должны являться непрерывными функциями координат. Поэтому для анализа поля на резко выраженной границе сред следует применять уравнения Максвелла в интегральной форме. Соотношения, показывающие связь между значениями векторов поля на границе раздела двух сред, называются граничными условиями.

3.1 Граничные условия для нормальных составляющих

векторов , , ,

На поверхности раздела двух сред с параметрами выделим достаточно малый элемент поверхности , в пределах которого в обеих средах нормальные составляющие векторов и равномерно распределены. На основании построим цилиндр с высотой так, как показано на рис.3.1.

Соответственно, рис.3.1 третье уравнение Максвелла принимает вид:

(3.1)

где и – площади торцов цилиндра, – объем цилиндра, а – площадь его боковой поверхности. Пусть направление вектора совпадает с внешней нормалью к поверхности . В результате предельного перехода ( ) получим:

, , . (3.2)

Интеграл в правой части уравнения (3.1) представляет собой электрический заряд, расположенный внутри цилиндра. В результате предельного перехода ( ) объемный заряд «сплющивается» и превращается в поверхностный заряд , который располагается в бесконечно тонком поверхностном слое. Поверхностный заряд по определению не имеет никакого физического содержания и имеет чисто формальный характер.

С учетом сказанного, граничные условия для нормальной составляющей вектора принимают вид:

. (3.3)

Уравнение (3.3) приобретает реальный смысл, если принять:

. (3.4)

На границе двух сред нормальная составляющая вектора непрерывна.

Учитывая, что , можно сформулировать граничные условия для нормальных составляющих вектора :

. (3.5)

Нормальная составляющая вектора на границе раздела двух сред испытывает скачок на величину, равную отношению диэлектрических проницаемостей сред.

Из (3.5) непосредственно вытекает что, если , то .

Э тот эффект иллюстрируется рис.3.2. Практическое применение граничных условий (3.5) имеет место, например, в электрических кабелях большой мощности, где для уменьшения риска электрического пробоя изоляция выполняется многослойной из материалов с различной диэлектрической проницаемостью.

Читателю предлагается по аналогии с граничными условиями для векторов электрического поля получить граничные условия для векторов магнитного поля самостоятельно.

Нормальная составляющая вектора на границе раздела двух сред непрерывна:

. (3.6)

Нормальная составляющая вектора на границе двух сред испытывает скачок на величину, равную отношению магнитных проницаемостей сред

. (3.7)

3.2 Граничные условия для касательных

составляющих векторов Е, D, В, Н

Вначале определим граничные условия для векторов электрического поля и . Для этого воспользуемся вторым уравнением Максвелла в инте-гральной форме (2.13). Выберем контур интегрирования ABCD достаточно малых размеров, как показано на рис.3.3. Контур расположен в плоскости, нормальной поверхности раздела двух сред, и охватывает обе среды. Выберем направление обхода контура против часовой стрелки. Тогда

, (3.8)

где – поверхность, ограниченная контуром ABCD,

– единичный вектор, нормальный к поверхности, ограниченной контуром ABCD.

В результате предельного перехода ( ) получим:

; ;

; ; , (3.9)

или окончательно:

. (3.10)

Касательная составляющая вектора Е на границе раздела двух сред непрерывна.

Нетрудно определить граничные условия для касательной составляющей вектора , воспользовавшись (1.7):

. (3.11)

Касательная составляющая вектора на границе двух сред испытывает скачок на величину, равную отношению диэлектрических проницаемостей сред.

По аналогии с предыдущим, определим граничные условия для векторов магнитного поля и . Если на границе раздела отсутствуют поверхностные токи, то касательная составляющая вектора на границе раздела двух сред непрерывна:

. (3.12)

Чисто формально можно предположить, что на поверхности раздела токи распределены в пределах бесконечно тонкого слоя. Такие токи называются поверхностными. В этом случае

,

где – плотность поверхностного тока. Что касается вектора магнитной индукции , то касательная составляющая вектора на границе двух сред испытывает скачок на величину, равную отношению магнитных проницаемостей сред:

. (3.13)

3.3 Граничные условия на идеально проводящей поверхности

Этот случай имеет особый интерес, так как в инженерной практике поверхность проводящих тел часто принимают как идеально проводящую. Как было установлено в разделе 2.2.3, в идеальном проводнике электромагнитное поле отсутствует. Поэтому граничные условия для векторов электрического и магнитного полей принимают вид:

(3.14)

Анализ граничных условий (3.14) показывает, что силовые линии электрического поля нормальны к поверхности идеального проводника, а магнитные силовые линии параллельны идеально проводящей поверхности. Вектор плотности поверхностного тока направлен вдоль проводящей поверхности, как показано на рис.3.4.

4 Энергия электромагнитного поля

Одним из фундаментальных законов физики является закон сохранения энергии. Согласно этому закону энергия не возникает из ничего и не исчезает. Она может только превращаться из одного вида в другой. Энергия, запасенная внутри ограниченного объема пространства, частично превращается в тепловую энергию в результате естественных потерь на нагрев среды, находящейся внутри этого объема, частично рассеивается в окружающем пространстве в форме излучения.

Таким образом, уравнение баланса энергии имеет вид:

. (4.1)

Характеристики

Список файлов книги