Шпаргалка - Электричество и магнетизм, страница 2

1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .

_ _

?DdS=?DdS

^{S S}

_ _

Dn =0 D_n=D

Вынесем за знак интегр.

D?dS=D4r²=(q/4r²)4r²=q

^S

_ _

3) ?DdS=q

^S

Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий

_

D прониз. поверх. не измен. , т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.

Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.

Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q₁, q₂ ,q₃, ...,q_i,...q_n 1i n

Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.

На основ. 1)

для кажд

зар. теор.

справедлива.

_ _

4) ?D_idS=qi

^S

в 4) просуммируем левую и правую часть.

_ _

?D_idS=q_i

^{i i}

_ _

?(D_i)dS=q_i

^{s i i}

_ _ _n

?DdS=q_i 5)

^{s i}

Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.

Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.

- об. плотность.

=dq/dv (Кл/м₃)

6)q_i=dv

^{i v}

_ _

?DdS=dv S и V -

^v согласо-

ванны.

Практич. применение теор. Гаусса.

Методика применения теоремы.

Дано:

Шар , _ш0 ,_ш>0 , _ш=, _cp=1 , =const , R - радиус шара 1) r>R (вне шара)

2) r<R (внутри)

Найти Е и D вне и внутри шара).

ОА=r

1) Наход. картину линий поля.

2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.

Во всех точках поверх. или к части точек cos=1.

3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.

4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх =0 D=const.

5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ _n

?DdS=q_i

^{S i=1}

_ _

?DdS=D?dS=DS=D4r² (1)

^{S S}

6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)

q_i=V=(4/3)r³ (2)

7) Приравниваем (1) и (2)

D4r²=(4/3)r³

D=((R³)/3)1/r² D1/r²

q=(4/3)r³ D=q/4r²

Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.

Рассм. точку внутри шара.

1) _ _

?DdS=D?dS=DS=D4r²

^{S S}

2)q_i=V=(4/3)r³

D=4r²=(4/3)r³

D=/3r Dr

Постр. граф. завис. D(r).

D_{в диэлектр} и D_{в вакууме} - одинаков.

Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=/3r

E=D/₀

для А E=(q/4₀r²)=k(q/r²) b)

для С E=(/3₀)r a)

Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.

6) E_R=q/4₀R² r=R

Подходим к поверх. изнутри.

7) E_R=(/3₀)R

E=(4R³)/(34₀R²)

8) E=(/3₀)R

Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.

E_RE_R E_R>E_R (скачок)

^{вн сн вн сн}

Завис. Е(r)

При _ср<_ш

Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.

Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.

1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:

Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью += dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.

плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр,

основание параллельно плоскости.

Полный поток сквозь цилиндр

равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен S. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=S/₀ ,

откуда Е=S/2₀. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.

2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.

Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=/₀.

3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +. Если r>R, то внутрь поверхности попадает

весь заряд и по теор. Гаусса

4r²E=Q/₀ , откуда

E=(1/4₀)Q/r² (r R)

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.

4) Поле объемно заряженного шара.

Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью  (=dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4₀)Q/r²

Внутри же будет другая.

Сфера радиуса r<R охватывает заряд Q=(4/3)(r)³q. Поэтому по теор. Гаусса: 4(r)²Е= Q/₀=(4/3)(r)³₀

, получим: E=(1/4₀)Q/R³)r (r R).

5) Поле равномерно зар. без-

кон. цилиндра.

Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью (=dQ/d- заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2rЕ , где  -высота. По теореме Гаусса, для r>R

2Е=/₀₎ , от сюда Е=(1/2₀)(r) (r R).

Если r<R , Е=0.

Теор. Гаусса в дифференциальной форме.

В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.

Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно const

В общем случае  =f(x,y,z)

Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. (x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А.

Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.

Предполагаем что внутри V в окрестностях т. А.  =const

_ _

1) ?DdS=V V0

^S

Нах. предел отношения потока через поверхность куба. наV приV0.

_ _

2) lim ( ?DdS/V)= (в т. А)

^{V0 S}

_ _ _

lim ( ?DdS/V)=div D

^{V0 S} (дивергенция)

В математике показ. что

_

div D=(Dx/x)+(Dy/y)+

+(Dz/z)

_ _ _ _ _

D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел.

Перепишем 2) в окончательном виде.

_

3) div D= - теор. Гаусса в дифр. форме.

Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.

Из 3) очевидно если >0

_

(+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если <0 ( - зар)

_

div D<0 вхождение линий.

Из3) важное следствие:

Источником поля явл. электрич. заряд.

Теор. Остроградскрго Гаусса.

Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.

_

4) div DdV= dV

проинтегрируем 4) по объему

_

5) div DdV= dV

^{v v}

_ _

 dV=DdS

^{v s}

_ _ _

6)div DdV=?DdS - Остр. Г.

^{v s}

^{согласован }

В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.

Работа сил. электростатич. поля.

Потенциал поля.

Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.

Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.

q - созд. поле.

+q₀ -перемещ. в поле заряда q.

Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке d.

0) dA=F_d =Fcos d =Fdr

r - тек. расст. между q иq₀.

Найдем полную работу.

_{2 2}

А=dA=Fdr

^{1 1}

Поскольку Fdr cos=1

_ _

Fdr=Fdr

_{r 2}_ _

1) A=Fdr

^{r 1}

Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между

_ _ _ _ _ _

Е и F. E=F/q₀ E=q₀E

_ _

2) dA=q₀E_d =q₀Ed =

=q₀Ecos d

интегрируем 2) лев. и прав. часть

₂ _ _

3) A=q₀Ed

¹

Получим еще одну формулу.

Воспольз. 1) в котор. подставим ур. F_кл.

_r2

A=k(q₀q/r²)dr

^r1

A=q₀((kq/r₁) - (kq/r₂))

Из 4)

5) A=q₀(₁ - ₂)

Работа при перемещении зар. q₀ электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.

Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.

Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q₀ из данной т. в котор.

₁ =  в бесконечность ₂=_=0.

Из 5) А_=q₀

6) = А_/q₀

Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В

Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.

Потенциальный характер поля.

Рассм. перемещ. зар. q₀ в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.

Возмем для работы форм. 3)

_ _

q₀?E_d=q₀?Ed =0

^{L L}

q₀ 0

_

1) ?E_d=0 - циркуляция Е

^L _

Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.

Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.

Если циркул. не =0 то поле не потенциально.

Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.

Лекция.

Вычисление разности потенциала по напряж. поля.

₂

1)A=q₀E_d

¹

2)A=q₀(₁ - ₂)

₂

₁- ₂=E_dСвязь между

¹ разностью потенциала и напряженностью поля.

Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью .

Пример:

 =dq/d[ Кл/м]

₁,₂ =1

(₁ - ₂) - ?

E_=Er d=dr

_{r2 r2}

₁ - ₂=Erdr=Edr

^{r1 r1}

E=(/2₀r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. ₂

₁ - ₂=(/2₀)dr/r

¹

₁ - ₂=(/2₀)ln(r₂/r₁)

Пример 2:

Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).

Сфера R , q=1

1) r<R 2) r>R

Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2₀=q/r²

Внутри (r<R)

Е=0

_{r2 r2}

₁ - ₂=Erdr=Edr=

^{r1 r1}

=(q/4₀)dr/r²=(1/4₀)(q/r₁) -

- (1/4₀)(q/r₂)

из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.

r>R  =(1/4₀)(q/r)

Внутри напряженность поля =0

поэтому ₁ - ₂=0

₁=₂=_R=(1/4₀)(q/R)

 =const

Нарис. графики.

Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.

Градиент потенциал.

Для получения связи между Е и  в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q₀ на d по произвол. траектории.

dA=q₀E_d

В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.

dA= - q₀ d = - П

E_d = - d

3) E_= - (d /d )

Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении () равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.

4) E_x= - (d /dx)

E_y= - (d /dy) E_z= - (d /dz)

_ _ _

E= - ( i (/x)+j (/y)+

_

+k (/z))

_