7_5a (лекции по УППС (УПОС))

7.5 РЕЖИМЫ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ

7.5.1 Стационарный режим

Допустим, что в неавтономной следящей АПЧ в начальный момент t = 0 имеются возмущения f_Г.С(0) = f_Н; f_С(0) = f_С и f_Д(0) = f_Д; (для ЧАПЧ) или f_ОП(0) = f_ОП (для ФАПЧ). Предположим, что система АПЧ включается в момент t = 0 и во всей области t > 0 возмущения остаются без изменений. Если равновесие системы устойчиво, то можно утверждать, что при t   наступит состояние покоя, при котором уровни всех сигналов в контуре регулирования постоянны и поэтому К_Ф(t)  1.

Рассмотрим ЧАПЧ и примем вначале, что f_С = 0 и f_Д= 0. Как следует из (7.6), в стационарном режиме f(t) = f = f_Г. С учетом сделанных замечаний дифференциальное уравнение (7.8) преобразуется к алгебраическому:

f   f  f _Н  S_У.Э. (7.10)

Корень уравнения (7.10)  «расстройку»  обозначим через f_СТ. Для определения f_СТ используем графический метод. В состоянии покоя Е_ЧД = Е_ФНЧ = Е_У , и поэтому статические характеристики УЭ и ЧД могут быть построены в одной системе координат f – Е_У что и сделано на рис. 7.13, а).

Из рис. 7.13, а) следует, что при совпадении знаков S_ЧД и S_У.Э, т.е. при S_ЧДS_У.Э > 0, система переходит к работе в неэффективном стационарном режиме, так как

f_СТ = f'_СТ > f_H.

При разных знаках S_ЧД и S_У.Э (прямая 1, образующая с осью ординат угол ₁ = 180°  ), т. е. при S_ЧДS_У.Э<0, абсцисса точки 1, называемая остаточной «расстройкой» (статической ошибкой) f_СТ = f_ОСТ, меньше начальной «расстройки» f_H. Непосредственно из рисунка следует, что

f_ОСТ = f_Н/(1 + S_ЧДS_УЭ). (7.11)

Сумма в знаменателе (7.11) представляет собой коэффициент автоподстройки К_а, с помощью которого оценивается эффективность работы ЧАПЧ. В дальнейшем, если не делается специальных оговорок, считается, что S_ЧДS_У.Э < 0 и речь идет об абсолютных значениях крутизны. Тогда, если S_ЧДS_У.Э » 1, то f_ОСТ « f_Н. Нетрудно заметить, что по физическому смыслу К_а совпадает с глубиной отрицательной обратной связи (ООС) в усилителях.

По графикам на рис.7.13, а) можно найти полосы удержания и захвата. Допустим, что координаты системы соответствуют точке 1. Если увеличивать начальную «расстройку» настолько медленно, чтобы с переходными процессами можно не считаться, то при значениях f_Н, равных f_Н2, f_Н3, f_Н4, эффективность стационарного режима будет сохраняться, так как точки 2, 3, 4 лежат на начальном участке СХ ЧД. Полоса удержания f_УД  f_Н4, поскольку при f_Н > f_Н4 единственная точка пересечения характеристик лежит на падающей ветви СХ ЧД и остаточная «расстройка» практически равна начальной (при f_Н = f_Н4 абсцисса точки 5 f'_ОСТ  f_Н5). Для определения полосы захвата допустим, что КР разомкнут (например, в точке 1, см. рис. 7.10, а) и f_H  f_Н3. Если после этого контур регулирования замкнуть, то состояние системы будет определяться координатами точки 3" и f"_ОСТ  f_Н5. Подобный режим будет существовать до тех пор, пока f_Н превышает f_Н2. Только при f_Н = f_Н2 остаточная «расстройка» станет равной f"'_ОСТ и ЧАПЧ перейдет в эффективный стационарный режим – в обозначениях рис. 9,13, а) f_Э = f_Н2.

На рис. 7.13, б) сплошной линией обозначена характеристика регулирования f_ОСТ = Ф(f_Н), на которой показаны те же точки, что и на рис. 9,13, а). Штрих-пунктирная линия соответствует разомкнутому контуру регулирования. Характеристика регулирования неоднозначна,  имеет гистерезис при f₃ < f_Н < f_УД. В этой области состояние системы зависит от предыстории процесса изменения начальной «расстройки» f_Н, что иллюстрируется стрелками на рис. 7.13, б). Штриховой отрезок характеристики регулирования не дает физически реализуемых положений ЧАПЧ, так как точки пересечения СХ ЧД и УЭ типа точки 3' на рис. 7.13, а) неустойчивы.

Если частота f_С отличается от f_Д, то для стационарного режима

f_ОСТ = [f_Н/(1 + S_ЧДS_УЭ)] – S_ЧДS_УЭ(f_С +f_Д)/(1 + S_ЧДS_УЭ).

При S_ЧДS_УЭ » 1остаточная «расстройка» f_ОСТ изменяется на величину (f_С +f_Д). Соответственно полосы захвата и удержания (f₃ и f_УД) изменяются на эту же величину.

Вывод из проведенного анализа – все характеристики стационарного режима ЧАПЧ не зависят от типа ФНЧ, а определяются только формой статических характеристик ЧД и УЭ.

Перейдем к определению характеристик стационарного режима ФАПЧ. Положим справедливыми те же предположения, что были сделаны при выводе (7.10). Тогда (7.9а) и (7.96) примут вид

d[(t)] /dt = f_Н +  S_УЭ[(t)]; (7.12а)

f = f_Н + S_УЭ (f t). (7.126)

Из (7.12а) и (7.126) следует, что в стационарном режиме f_ОСТ = 0 независимо от f_Н. Статическая фазовая ошибка _СТ постоянна и определяется f_Н при данных значении S_УЭ и виде СХ ФД. Действительно, в левой части (7.126) f = const – постоянная величина, а в правой — периодическая функция времени (в силу цикличности фазы). Отсюда следует, что равенство (7.126) выполняется только при условии f = f_ОСТ = 0 и S_УЭ(0) = –f_Н – при полной компенсации начальной «расстройки». Величина _СТ может быть найдена из (7.12а) как корень алгебраического уравнения

f_Н + S_УЭ (_СТ) = 0. (7.13)

Выражение (7.13) получено из (7.12а) с учетом того, что (t)  _СТ и, следовательно, d[(t)] /dt = 0.

Дадим физическую трактовку полученных результатов. Для компенсации постоянной отличной от нуля начальной «расстройки» как в ЧАПЧ, так и в ФАПЧ по окончании переходных процессов должен вырабатываться постоянный не равный нулю сигнал управления Е_У. При использовании ЧД это возможно только при f = const  0, т. е. при f_ПР  f_Д или f_ПР.0  f_Д (для схем на рис. 7.10, а) и б) соответственно). Если же включен ФД, то соотношение Е_ФД = const  0 может иметь место лишь при _СТ = const  0, т. е. при f_ОСТ = 0 (f_ПР = f_СР или f_ПР.0 = f_СР), когда сравниваемые в фазовом детекторе колебания синхронны. Отсюда другое распространенное название установившегося режима в ФАПЧ – синхронный режим.

Статическая характеристика ФД может быть косинусоидальной функцией  () = cos() – рис.7.11, б), тогда (7.12 а) имеет в вид

d[(t)] /dt = f_Н +  f_УДcos[(t)], (7.14)

где f_УД = S_УЭ Е_ФДm. (7.15)

Из (7.13), (7.14), (7.15) следует

_СТ = – arccos(f_Н /f_УД). (7.16)

Из (7.16) видно, что для эффективной работы ФАПЧ f_Н ни при каких условиях не должно превышать f_УД. Отсюда понятно, почему произведение, стоящее в правой части (7.15), определяет полосу удержания системы. При f_Н > f_УД в ФАПЧ наступает неэффективный (асинхронный) стационарный режим, обладающий совершенно другими свойствами, чем возникающий при выполнении того же условия в ЧАПЧ. В последнем случае, как видно из рис. 7.13, а), если f_Н = f_Н5 > f_УД, то на выходе ЧД образуется постоянное напряжение, соответствующее ординате точки 5. В ФАПЧ при f_Н > f_УД на выходе ФД появляются периодические колебания – так называемые биения.

На рис. 7.14 по уравнению (7.14) построен фазовый портрет системы при К_Ф(t)  1 (кривая 1), на котором мгновенное динамическое состояние ФАПЧ отражается точкой а. Траектория движения этой точки от t = 0 до t =  называется фазовой линией.

Стрелки на кривой 1, указывающие направление движения точки а, отражают тот факт, что при d[(t)] /dt >0 величина (t) с течением времени увеличивается, а при обратном знаке этого неравенства – уменьшается.

Возникновение эффективного стационарного режима возможно в точках пересечения фазовыми линиями оси абсцисс: а₁ , а^'₁, а₂ , а^'₂, …, так как при этом удовлетворяется равенство (7.16). Однако физически реализуемыми могут быть только устойчивые положения равновесия, поскольку в противном случае сколь угодно малые отклонения от них лавинообразно увеличиваются и система скачком переходит в другое состояние. Об устойчивости указанных точек можно судить по характеру изменения координаты в их окрестностях. В частности, из рис. 7.14 следует, что при выбранном знаке крутизны СХ УЭ (S_УЭ > 0) и f_Н = f_Н1 точки а₁ и а₂ — устойчивые, а а^'₁и а^'₂ — неустойчивые. Иными словами, стационарный режим существует только там, где фазовые линии пересекают ось абсцисс под тупым углом (S_ФД = dcos() /d() > 0), т. е. значения _ОСТ лежат в пределах n … (n + 1) , n = 0, 1, 2, ...

Так, при n = 0 _ОСТ = _ОСТ1 при n = 1 _ОСТ = _ОСТ2 и т. д. Конкретные величины остаточных разностей фаз при заданных f_Н и f_УД определяются начальным расположением точки а на фазовой плоскости.

Дифференциальное уравнение первого порядка (7.12а) и рис. 7.14 позволяют сделать некоторые выводы в отношении переходного процесса в ФАПЧ без ФНЧ. Во-первых, оказывается, что изменение текущей разности фаз при всех условиях не может превысить . Во-вторых, система движется к стационарному состоянию, подчиняясь затухающему апериодическому (лимитационному) закону, поскольку по мере приближения точки а к любой из устойчивых точек на оси абсцисс скорость ее перемещения непрерывно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Если начальная «расстройка» превышает f_УД (кривая 2, соответствующая f_Н = f_Н2), то состояние покоя в системе невозможно и возникает устойчивый, но неэффективный стационарный режим биений. Как показывает анализ, е_ФД(t) в замкнутой ФАПЧ несимметрично относительно оси времени, вследствие чего появляется постоянная составляющая управляющего напряжения. Она воздействует на УЭ, что приводит к некоторому уменьшению среднего значения разности частот сравниваемых в ФД колебаний по сравнению с f_Н2. Поскольку восстановление нормального функционирования системы может произойти только при f_Н < f_УД, можно сделать вывод о том, что в отсутствие ФНЧ f_З = f_УД.

Ситуация изменяется при включении фильтра в контур регулирования ФАПЧ. Если _ОСТ и f_УД по-прежнему будут определяться только видом статических характеристик ФД и УЭ, то полоса захвата в отличие от ЧАПЧ окажется прямо зависящей от параметров ФНЧ, причем всегда f_З < f_УД. Для качественного объяснения допустим, что ФНЧ имеет столообразную АЧХ с полосой пропускания П_ФНЧ < f_УД. Если П_ФНЧ < f_Н < f_УД, то при замыкании контура регулирования на выходе ФД образуется переменное напряжение с периодом Т = 1/f_Н, которое не проходит через фильтр и не оказывает, поэтому управляющего воздействия на УЭ. Только при f_Н < П_ФНЧ возможен стационарный режим, и поэтому всегда f_З < П_ФНЧ, следовательно, f_З < f_УД. Фазовый портрет ФАПЧ в этом случае гораздо сложнее, чем изображенный на рис. 7.14. Так, влияние временнόй задержки сигнала, проходящего через фильтр, может сказаться в том, что изображающая точка будет «проскальзывать» мимо точек с абсциссами _ОСТ, удовлетворяющими равенству (7.16).

Трудность аналитического определения f_З состоит в том, что приходится искать решение нелинейного дифференциального уравнения (7.12, а) или (7.12, б) порядка выше первого. Приближенные результаты показывают, что в ФАПЧ второго порядка (при использовании в качестве ФНЧ однозвенной RC-цепи) f_З может быть в несколько раз меньше f_УД. Характеристика регулирования _ОСТ = Ф(f_Н) для ФАПЧ имеет вид, подобный изображенному на рис. 7.13,6 для ЧАПЧ. Однако в данном случае на ширину гистерезисной петли оказывает влияние инерционность ФНЧ, тогда как в ЧАПЧ указанная функция зависит только от статических характеристик ЧД и УЭ. Нижняя ветвь характеристики регулирования ФАПЧ совпадает с осью абсцисс при условии f_Н  f_УД.