3 (Конспект лекций), страница 3

Рис. 3. 5. Схема балки на опорах (а) и ее электрическая модель-аналог (б): Рр Pg— нагрузки; Р д, Pg — реакции; R^ — 7?g — электрические сопротивления; /ц /3 — си­ла тока, моделирующая нагрузки ?i и ?а

На рис. 3.5 приведена элек­трическая модель-аналог для изучения напряженно-дефор­мированного состояния балки на двух опорах.

Реакции на опорах балки вычисляются по формулам

Силу тока на входе и выходе электрической цепи вычисляют аналогично:

Таким образом, меняя силу тока I1, I22 и сопротивление R1 можно изучать реакции опор балки в зависимости от величины

pi и P2-

Модели подобия используют давно. Например, нет необходимости теоретически вычислять или непосредственно измерять высоту Н Останкинской башни в Москве. Для этой цели достаточно использо

51

вать простейшую модель — треугольник и с помощью теоремы о по­добии треугольников путем измерения расстояния к башне г опреде­лить ее высоту по формуле

(3.8)

где Кр —- критерий подобия, равный Кр = г I (l — сторона тре­угольника).

Аналогичный прием широко используют и при исследовании про­цессов, но критерий подобия и уравнения в этом случае значительно сложнее. Анализ многообразных физических моделей изучаемых процессов исследуется математическими методами, которые могут быть разделены на такие основные группы.

Аналитические методы исследования (элементарная математика, дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчис­ление и другие разделы высшей математики), используемые для изу­чения непрерывных детерминированных процессов,

Методы математического анализа с использованием экспери­мента (метод аналогий, теория подобия, метод размерностей) и др.

Вероятностно-статистические методы исследования (статистика и теория вероятностей, дисперсионный и корреляционный анализы, теория надежности, метод Монте-Карло и др.) для изучения слу­чайных процессов — дискретных и непрерывных.

Методы системного анализа (исследование операций, теория мас­сового обслуживания, теория управления, теория множеств и др.), используемые для исследования сложных моделей — систем с мно­гообразными и сложными взаимосвязями элементов, характеризуе­мых непрерывностью и детерминированностью, а также элементами дискретности и случайности.

Методы системного анализа получили широкое распространение в последнее время, что в значительной степени обусловлено разви­тием ЭВМ, обеспечивающим быстрое решение и анализ сложных ма­тематических задач.

В прикладной математике, которая широко используется в тех­нике, эффективно применять так называемые рациональные методы, допускающие наличие формулировок и утверждений, справедли­вые лишь в данных реальных условиях. При этом они могут уточ­няться в ходе исследования, базироваться на доводах, основанных на приближенных решениях, аналогиях или экспериментах и т. п., что не приемлемо в «чистой» математике.

Большое влияние на развитие математических методов исследо­вания, особенно в прикладной математике, оказали ЭВМ, с созда­нием которых связывают новый современный этап математики¹. Использование ЭВМ многократно ускоряет математические преобра­зования и вычисления, в то же время не освобождает исследователя

I/ Блехман И. И., Мышки с А. Д., Пановко А. Г. Прикладная математика: предмет, логика, оссобенности подхода. Киев, «Наукова думка», 1976. 270 с.

52

от необходимости владеть математическим аппаратом и творчески мыслить. Обычно наибольший эффект получают в том случае, если исследователь физического процесса хорошо знает возможности ЭВМ, специфику методов работы с ними, а привлекаемый им мате­матик-вычислитель отчетливо представляет физические особенности исследуемой задачи. Это позволяет квалифицированно обсуждать все вопросы, возникшие в исследовании, что способствует наиболее успешному и эффективному выполнению научно-исследовательских

работ.

Иногда построение физических моделей и математическое описа­ние явления невозможно. Однако и при этом необходимо сформули­ровать рабочую гипотезу, проиллюстрировать ее графиками, таб­лицами, предположить и оценить результаты, которые должны быть получены на основе этой гипотезы, спланировать и провести

научно-исследовательскую работу.

§ 3. Аналитические методы исследований

Исследуя физические модели, описывающие функциональные связи, используют аналитические методы, с помощью которых уста­навливают математическую зависимость между параметрами модели. Эти методы позволяют глубоко и всесторонне изучить исследуемые процессы, установить точные количественные связи между аргумен­тами и функциями, глубоко проанализировать исследуемые явления.

В строительстве широко применяют элементарные функции и уравнения, особенно когда стремятся упростить исследуемую мо­дель и получить приближенные решения поставленной задачи.

Достаточно часто используют линейные функции и уравнения, например, при исследовании слоистых строительных материалов. Полагая, что напряжения в слоистом материале распределяются прямо пропорционально модулям упругости его компонентов, с по­мощью элементарных линейных уравнений можно получить ряд

полезных сведений.

В практике часто встречаются процессы, протекающие по прин­ципу «цепного» механизма (растворение, охлаждение, перемешива­ние и др.). Для их исследования используют экспоненциальные, параболические, показательные функции. Чтобы изучить колеба­тельные процессы, применяют тригонометрические функции.

В большинстве случаев элементарные функции непрерывны, что позволяет их дифференцировать и интегрировать. Это дает возмож­ность определить наилучшие или наихудшие условия протекания исследуемого процесса путем нахождения экстремумов.

Например, производительность труда П строительной организа­ции зависит от годового объема работы организации V:

(3.9)

где Co, C1, C2— постоянные.

53

Анализ этой зависимости показывает, что по мере увеличения объема работ организации V производительность вначале возраста­ет, потом убывает. Увеличение производительности объясняется тем, что более крупная организация имеет больше резервов. В та­ких организациях лучше организован труд.

Однако в очень больших организациях, с большим объемом ра­бот, сложно организовать производство. Этим объясняется труд­ность управления большими организациями. Оптимальный объем работ для организации Von можно найти, определив экстремум функции (3.9), который обеспечивает максимальную производитель­ность:

(3.10)

При анализе форм и размеров инженерных конструкций, поль­зуются методами элементарной начертательной и аналитической геометрии.

Обыкновенные дифференциальные уравнения используют для теоретического анализа только одной переменной.

Уравнения 1-го порядка имеют вид

(3.11)

Применяют также уравнения высших порядков:

(3.12)

Общие решения таких уравнений представляет семейство кри­вых на плоскости. Кривая f(x, у) будет решением (3.11), если она в каждой своей точке касается вектора поля направления. Поэтому каждое уравнение имеет множество решений (кривых):

(3.13)

где C1, C2, ... Cn—постоянные интегрирования.

Для нахождения частного решения указывают начальные усло­вия — т. е. задают значения F в некоторых известных точках х и у. Это позволяет определить постоянные C1, C2, ...Cn, а затем и частные решения.

Отыскать решения обыкновенных дифференциальных уравнений трудно. В большинстве случаев затруднительно также получить аналитические выражения в виде элементарных функций и в конеч­ном виде. Поэтому, для их решения широко применяют различные приближенные методы — конечных разностей, разложение в ряды и др.

Обыкновенные дифференциальные уравнения применяют при теоретическом анализе различных моделей простых и средних по сложности процессов: миграции влаги в грунтах как капиллярных средах, движения жидкости в трубах, линейного распределения тепла в стержнях, осаждения грунта в пульте при гидронамывах насыпей, уплотнения грунтов насыпей, напряженного состояния в полотне и т. д.

54

Например, в технологии вяжущих исследуют их растворение,

полагая, что скорость растворения пропорциональна их количе­ству

(3.14)

Здесь т — количество вяжущего; t — время; k — коэффициенты

пропорциональности.

После интегрирования этого уравнения получим

.

Постоянную интегрирования С находят из условия, что при t =0 С = m0 (начальное количество). Следовательно,

Последнее выражение содержит конкретную информацию о про­цессе растворения, которое со временем затухает. Скорость затуха­ния этого процесса зависит от величины коэффициента k, которая, в свою очередь, обусловливается природой вещества и температурой раствора.

Ряд прикладных задач решают с помощью функций Бесселя.

Дифференциальные уравнения

(3.15)

называют уравнением Бесселя. В нем величина п постоянна, ее на­зывают порядком функции Бесселя. Решением уравнения Бесселя первого порядка является знакопеременный убывающий ряд: