ШПОРА (Шпоры), страница 7

б) в дифференциальной форме

- электрический ток вызывает вихревое магнитное поле.

Второе уравнение Максвелла (закон электромагнитной индукции Фарадея):

- ЭДС, возникающая в контуре, равна скорости изменения магнитного потока, взятого со знаком “-”:

а) интегральная форма: - изменение магнитного потока вызывает ЭДС, равную линейному интегралу напряженности электрического поля для любого контура.

б) дифференциальная форма: - изменение магнитного поля вызывает вихревое магнитное поле.

Третье уравнение Максвелла (обобщенная теорема Гаусса или постулат Максвелла):

а) теорема Гаусса в интегральной форме:

- поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую замкнутую поверхность в однородной и изотропной среде равен отношению заряда, заключенного внутри объема, ограниченного данной поверхностью к абсолютной диэлектрической проницаемости.

б) теорема Гаусса в дифференциальной форме:

- расхождения (дивергенция) вектора напряженности электрического поля имеют начало и конец. Они (силовые линии) начинаются на “+” заряде (исток) и заканчиваются на “-” заряде (сток).

Оператор Гамильтона: .

- оператор пространственного дифференцирования.

Постулат Максвелла.

а). В интегральной форме

- поток вектора электрического смещения сквозь любую замкнутую поверхность в любой среде равен заряду, заключенному внутри объема, ограниченного данной поверхностью.

б) в дифференциальной форме:

или .

Четвертое уравнение Максвелла (принцип непрерывности магнитного потока):

а) в интегральной форме - поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.

б) в дифференциальной форме - расхождений силовых линий нет. Силовые линии не имеют ни начала, ни конца (они непрерывны).

1).

2).

3).

4).

5)

6)

7)

8)

Полной системы уравнений Максвелла и граничных условий необходимо и достаточно для того, что бы рассчитать электромагнитное поле в любой точке пространства.

Электростатическое поле

Различают электростатическое поле – электрическое поле неподвижных зарядов.

, то есть электростатическое поле – безвихревое.

Закон Кулона:

Электрический потенциал численно равен работе, совершаемой полем по перемещению электрического заряда из данной точки в бесконечность или в точку, потенциал которой равен нулю.

.

Градиент потенциала численно равен скорости изменения электрического потенциала в направлении, в котором эта величина имеет наибольшее значение:

Уравнения Пуассона – Лапласа:

- уравнение Пуассона.

- оператор Лапласа.

- уравнение Пуассона в декартовой системе координат.

Уравнение Лапласа:

Методы расчета электростатических полей.

1) Метод наложения (когда имеется несколько зарядов).
2) Расчет с помощью теоремы Гаусса.

3) Расчет с помощью уравнений Лапласа и Пуассона.

4) Метод зеркальных изображений.

Электрическое поле бесконечно заряженной оси.

Требуется рассчитать электрическое поле в точке А , находящейся на расстоянии “r” от заряженной оси. Применяем теорему Гаусса, то есть окружаем ось цилиндром, расположенным таким образом, что бы точка “A” находилась на его поверхности.

. Пренебрегая потоком вектора напряженности Е, через торцевую поверхность:

или

Или

Электрическое поле и емкость коаксиального кабеля.

Требуется рассчитать электрическое поле в точке А на расстоянии “r” от центра.

1 – центральная жила

2 – обратная жила

Теорема Гаусса

Если - то изоляция кабеля будет пробита.

Емкость:

Электрическое поле и емкость в двухпроводной линии.

Пусть А будет расположена на поверхности первого провода:

Пусть А расположена на поверхности второго провода:

;

Емкость:

Метод зеркальных изображений.

Пусть есть заряд “q”, расположенный на высоте “h” на бесконечной проводящей поверхности. Под воздействием заряда на поверхности будут находиться заряди противоположного знака.

Для расчета таких задач применяется метод зеркальных изображений, согласно которому проводящая поверхность (плоскость) заменяется диэлектрической, под которой располагается фиктивный заряд (q’), величина которого выбирается таким образом, что бы . Это будет в том случае, когда . Таким образом, исходная и эквивалентная задачи имеют одинаковые условия, и тогда и поля исходной и эквивалентной задачи, согласно теореме единственности, будут одинаковы.

Потенциальные и емкостные коэффициенты. Частичные емкости. Группы формул Максвелла.

Пусть двухпроводная линия расположена на высоте “h” над бесконечной проводящей поверхностью. Рассчитаем электрическое поле в точке “A”. Для этого применяем метод зеркальных изображений. Тогда:

- потенциальные коэффициенты.

1) Первая группа формул Максвелла позволяет определить потенциалы проводов по известным зарядам:

2) Вторая группа формул Максвелла позволяет по известным потенциалам определить заряды:

- емкостные коэффициенты.

3) Третья группа формул Максвелла позволяет по известным напряжениям найти заряды на проводах:

- частичные емкости.

;

Электромагнитное поле постоянного тока.

Протекающий электрический ток создает магнитное поле, но при этом “B” и

“H” – постоянны, и поэтому магнитное поле будет влиять на электрическое. Следовательно, можно отдельно, независимо друг от друга, рассматривать электрическое и магнитное поле.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Электрическое поле постоянного тока.

1) В диэлектрике:

-

(не заряд, а протекание электрического тока)

Из уравнения (*) видно, что электрическое поле постоянного тока в диэлектрике – безвихревое, то есть потенциальное и тогда .

2) В проводящей среде:

Закон Ома в дифференциальной форме для проводящей среды:

.

Поток вектора плотности электрического тока, входящий в любой объем, равен выходящему, иначе: - первый закон Кирхгофа. Поток вектора плотности электрического тока в любом объеме равен нулю.

Методы расчета электростатической аналогии.

Существует формальная аналогия между электростатическим полем и электромагнитным полем постоянного тока:

Если в уравнениях электромагнитного поля заменить

, то мы получим уравнения эл. поля постоянного тока. В этом и заключается метод электростатической аналогии, который позволяет перейти от легко получаемого уравнения электростатического поля к уравнениям Эл. поля постоянного тока.

Пример:

Т ребуется рассчитать сопротивление изоляции коаксиального кабеля:

- сопротивление изоляции коаксиального кабеля.

Пример:

Определить сопротивление шарового заземлителя (Шар находится глубоко и влиянием поверхности земли можно пренебречь).

Граничные условия на границе раздела двух проводящих сред.

1)

- тангенциальные составляющие электрического поля на границе раздела двух сред равны.

2)

- нормальные составляющие электрического поля на границе раздела двух сред равны.

3) Разделим второе уравнение на первое и в результате получим:

- закон преломления вектора плотности электрического тока на границе раздела двух сред.

Магнитное поле постоянного тока.

- (там, где есть ток, магнитное поле – вихревое, то есть непотенциальное).

- (но там, где ток равен нулю, там , то есть там магнитное поле – безвихревое, то есть потенциальное).

Для расчета таких полей вводится вспомогательный потенциал , для которого . Для таких полей уравнение Пуассона будет выглядеть следующим образом:

(применяется для расчета электромагнитного поля внутри проводников с током).

- уравнение Лапласа (применяется для расчета полей вне проводников с током).

Граничные условия на границе раздела двух магнитных сред.

1)

- тангенциальные направляющие магнитного поля на границе раздела двух сред равны.

2)

- нормальные составляющие индукции магнитного поля на границе раздела двух сред равны.

3) - закон преломления магнитной индукции на границе раздела двух сред.