ШПОРА (Шпоры), страница 3

Нулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и напряжения во всех элементах цепи до коммутации были равны нулю.

Ненулевые начальные условия наблюдаются в цепи, если токи и (или) напряжения некоторых элементов до коммутации не были равны нулю.

Классический метод расчета переходных процессов.

Принужденная и свободная составляющие токов и напряжений.

Физические процессы в электрических цепях описываются дифференциальными уравнениями, составленными по законам Кирхгофа. Классический метод расчета переходных процессов заключается в составлении и решении обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений.

Порядок дифференциального уравнения, описывающего физические процессы в электрической цепи, определяется числом разнородных реактивных элементов (индуктивностей и емкостей). Решение этого дифференциального уравнения запишется в следующем виде:

Здесь - частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения или установившаяся составляющая, возникающая в цепи под действием источника. Установившаяся составляющая наблюдается и во время переходного процесса, и после его окончания.

- общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения или свободная составляющая тока, возникающая без воздействия источника питания. Эта составляющая определяется параметрами электрической цепи и начальными условиями. Свободная составляющая наблюдается только во время переходного процесса.

Решение однородного линейного дифференциального уравнения или, иначе свободная составляющая в токах, возникающих без воздействия источника питания. Эта составляющая определяется параметрами электрической цепи и начальными условиями. Свободная составляющая наблюдается в цепи только во время переходного процесса.

Характер свободной составляющей в цепи первого порядка.

Физические в электрической цепи первого порядка (с одним реактивным элементом) описываются дифференциальным уравнением первого порядка.

Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному, также будет первого порядка. И свободная составляющая i_СВ будет представлять собой экспоненту:

А – постоянная интегрирования, определяемая начальными условиями.

р – корень характеристического уравнения (всегда отрицателен). [p] = c^-1 .

- постоянная времени (численно равна времени, за которое свободная составляющая уменьшается в “e” раз).

Характер свободной составляющей в цепи второго порядка.

1) ; - функция имеет апериодический характер.

2) ;

,

где - корни комплексно сопряженные.

Свободная составляющая будет носить колебательный характер.

3) Дискриминант равен нулю и корни будут действительные равные (предельный случай апериодического режима).

Последовательность расчета переходных процессов классическим методом.

1) Записываем искомое решение в виде установившейся и свободной составляющей. Для цепи первого порядка решение имеет вид:

2) Находим (установившуюся составляющую) для послекоммутационной схемы.

3) Найдем корень характеристического уравнения. Составляем характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы, и, решая его, находим корни характеристического уравнения. Характеристическое уравнение может быть получено двумя способами:

а) Из комплексного входного сопротивления, записанного для послекоммутационной схемы, где “ ”заменяется на “ ”, причем входное сопротивление приравнивается к нулю

б) Из дифференциального уравнения, составленного по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы.

Поскольку входное сопротивление записывается для свободной составляющей, то можно считать, что источник находится в ветви с любым реактивным элементом и удобнее записывать комплексные входные сопротивления для этого случая.

4) Определяем i в момент времени t=0 (зависимые и независимые начальные условия, и, если необходимо, их производные).

5) Определяем постоянные интегрирования:

6) Подставляем все величины, найденные в пп. 2 – 6 в исходное уравнение.

Пример1:

Дано

Найти в общем виде

Решение

Пример2:

Д ано

Найти в общем виде

Решение

Пример3:

Дано

Решение

Операторный метод расчета переходных процессов.

Функция называется оригиналом.

Функция называется изображением.

Метод расчета, основанный на замене оригиналов их изображениями, называется операторным. Это позволяет перейти от дифференциальных уравнений к алгебраическим. Переход от оригиналов к изображениям осуществляется с помощью прямого преобразования Лапласа:

, где - комплексный оператор.

Переход от изображений к оригиналам осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа:

Найдем изображения некоторых простейших функций

1) , тогда:

2) , тогда:

3) тогда:

4) Пусть . Тогда:

Основные законы и формулы.

1) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений.

2) Умножению оригинала на постоянное число соответствует умножение изображения на то же число:

3) Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на “p” – значение функции в момент времени “t=0”.

4) Интегрированию оригинала соответствует деление изображения на оператор “p”:

Найдем напряжение на индуктивности:

Найдем ток и напряжение в емкости:

Напряжение на емкости:

- напряжение на емкости при нулевых начальных условиях.

При ненулевых начальных условиях:

Законы электрических цепей в операторной форме.

Перейдем от оригиналов к изображениям:

Изображение тока равно:

(1)

Здесь - операторное сопротивление цепи.

Оно может быть получено из комплексного сопротивления путем замены “jω” на “p”. Это соответствует переходу от преобразования Фурье к преобразованию Лапласа:

- закон Ома при нулевых начальных условиях.

Уравнению (1) соответствует следующая схема замещения:

В этой операторной схеме замещения ненулевые начальные условия учитываются введением дополнительных внутренних источников ЭДС, причем источник направлен по направлению протекающего тока, а источник , учитывающий напряжение на емкости, направляется навстречу протекающему току.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме выглядит следующим образом:

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

Для расчета операторных схем замещения применяются все известные методы, основанные на законах Кирхгофа.

Переход от изображений к оригиналам.

Формула разложения:

Переход от изображений к оригиналам осуществляется двумя способами:

1) По таблице изображений и оригиналов.

2) По формуле разложения (основной способ):

, где n>m; - не имеет кратных корней, и корней, кратных корням уравнения . В этом случае оригинал:

Число слагаемых в формуле разложения равно числу слагаемых в уравнении .

- производная уравнения .

В случае комплексных сопряженных корней формула разложения примет следующий вид:

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом.

1) Составляем операторную схему замещения, в которой ненулевые начальные условия учитываются введением дополнительных внутренних источников ЭДС.

2) Рассчитываем операционную схему замещения любым известным способом.

3) Переходим от изображений к оригиналам, как правило, с помощью формулы разложения.

Пример1:

Дано

В общем виде найти ток

Решение

1) Составим операторную схему замещения.

Найдем оригинал полученного изображения.

Переходные функции.

Переходная функция k(t) связывает искомую величину с заданной. Переходные функции k(t) бывают:

1) По напряжению.

2) По току.

3) По сопротивлению.

4) По проводимости.

Переходная функция k(t) определяется классическим или операционным методом.

Переходная функция, связывающая ток в цепи с входным напряжением, имеет размерность проводимости и называется переходной проводимостью.

Найдем переходную проводимость для следующей схемы с помощью классического метода.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Переходная проводимость y(t), связывающая искомый ток с напряжением, будет равна

Переходная проводимость численно равна току в цепи при единичном входном напряжении:

Включение цепи на импульсное напряжение.

Пусть цепь RC включается на напряжение

a)

Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля.

Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля производится в тех случаях, когда происходит включение цепи на напряжение сложной формы.

Разбиваем кривую U(t) на равные промежутки времени Δх, тогда можно рассматривать включение цепи на напряжение U(t) как включение цепи в момент времени U(0) и затем, через промежутки времени Δх, включение на ΔU. При этом ΔU берется со знаком “+” при возрастающей кривой, и со знаком “-” – при убывающей. И тогда ток в цепи: