ШПОРА (Шпоры), страница 2

Расчет линейных электрических цепей при несинусоидальных входных напряжениях.

Причина появления несинусоидальных напряжений – это несинусоидальность вторичных источников питания и наличие нелинейной нагрузки.

Последствия наличия несинусоидальных напряжений и токов.

1) Резонансные явления на высших гармониках

2) Ускоренное старение изоляции.

3) Ложное срабатывание релейной защиты и автоматики.

Разложение периодичных функций в ряд Фурье.

Любая несинусоидальная функция, удовлетворяющая условию Дирихле, может быть разложена в ряд Фурье.

- постоянная составляющая.

- амплитуда основной гармоники.

- амплитуды высших гармоник.

- начальные фазы соответствующих гармоник.

Рассмотрим “k” – ю гармонику:

- амплитуда синусной составляющей.

- амплитуда косинусной составляющей.

Вторая форма записи ряда Фурье:

Если функция задана аналитически, то коэффициенты второй формы записи ряда Фурье определяются по следующим формулам:

Если функция задана графически, то период функции разбивается на “n” частей и коэффициенты второй формы записи ряда Фурье определяются по следующим приближенным формулам:

где y_i, sin_ikωt, cos_ikωt – значения функции в середине “i” – го интервала.

Случаи симметрии несинусоидальных функций.

1. Функция симметрична относительно начала координат.

Эта функция – нечетная. .

При разложении этой функции в ряд Фурье будут отсутствовать постоянная составляющая “A₀” и все косинусные составляющие “ ”:

При определении коэффициентов ряда Фурье интеграл в данном случае берется за половину периода.

2) Функция симметрична относительно оси ординат.

Эта функция – четная. .

При разложении этой функции в ряд Фурье будут отсутствовать все синусные составляющие “ ”:

В данном случае при определении коэффициентов ряда Фурье интеграл берется за половину периода.

3) Функция симметрична относительно оси абсцисс при смещении “+” или “-” полуволны на половину периода.

Эта функция – кососимметричная.

При разложении этой функции в ряд Фурье будут отсутствовать постоянная составляющая “A₀” и все четные гармоники:

В данном случае при определении коэффициентов ряда Фурье интеграл берется за весь период.

При определении коэффициентов ряда начало координат следует выбирать таким образом, чтобы была максимальная симметрия.

Пример:

В данном случае имеет место 1-й и 3-й случай симметрии и поэтому при разложении функции в ряд Фурье будут отсутствовать постоянные состовляющие и все четные гармоники.

Понятие частотных спектров.

Функцию, разложенную в ряд Фурье, можно представить как отдельное значение амплитуд и начальных фаз от соответствующих гармоник. Согласно этому, различают амплитудочастотные и фазочастотные характеристики.

Амплитудочастотные и фазочастотные характеристики составляются для первой формы записи ряда Фурье.

Действующее значение несинусоидальных токов и напряжений.

Возведем ряд в квадрат:

1) ;

2)

3)

Действительное значение несинусоидального напряжения и тока равно корню квадратному из суммы квадратов отдельных гармоник.

Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные величины.

1) Коэффициент амплитуды:

; - для синусоидальных

- для несинусоидальных

2) Коэффициент формы:

; - для синусоидальных

- для несинусоидальных

3 ) Коэффициент искажений:

; - для синусоидальных

- для несинусоидальных

4 ) Коэффициент гармоник:

; - для синусоидальных

- для несинусоидальных

Мощность несинусоидального тока.

Под активной мощностью понимают среднее значение мгновенной мощности за период.

Активная мощность несинусоидального тока:

Реактивная мощность несинусоидального тока:

Полная мощность несинусоидального тока:

P и Q неравны, так как и в P и в Q могут отсутствовать гармоники, для которых , но эти гармоники будут присутствовать в напряжениях и токах.

Мощность искажений несимметричного тока равна:

Расчет токов в цепи при несинусоидальных входных напряжениях.

1) Раскладываем несинусоидальное входное напряжение в ряд Фурье.

2) Рассчитываем токи и напряжения любым известным методом для каждой гармоники в отдельности. При этом учитываем, что индуктивное сопротивление для “k” –й гармоники равно:

Емкостное сопротивление:

3) Определяем действительные значения интересующих нас токов и напряжений как корень квадратный из суммы квадратов отдельных гармоник:

Пример1

Пример2

Резонансные явления в цепях с несинусоидальным током.

В электрических цепях, содержащих индуктивности и емкости, возможно возникновение резонансов не только для основной, но и для высших гармоник.

Условие резонанса напряжений:

Условие резонанса токов (равенство реактивных проводимостей):

Явление резонанса напряжения и токов широко используется при создании фильтров.

Высшие гармоники в трехфазных цепях.

Система прямой последовательности. Ее образуют гармоники: 1-я, 4-я,7-я, 10-я, 13-я и т.д.

Система обратной последовательности. Ее образуют гармоники:2-я, 5-я,8-я, 11-я, 14-я

и т.д.

Система нулевой последовательности. Ее образуют гармоники, кратные “3”.

Рассмотрим токи и напряжения трехфазной цепи при несинусоидальных входных напряжениях, но при симметричной нагрузке. В трехфазных электрических цепях имеет место кососимметричная симметрия, и поэтому при разложении напряжения в ряд Фурье будут отсутствовать постоянная составляющая Ао, косинусная составляющая Ак`` и все четные гармоники. Поскольку в трехфазных цепях, как правило, отсутствует постоянная составляющая, то ограничимся рассмотрением только нечетной гармоники.

Рассмотрим различные схемы соединения.

1) Схема соединения – “звезда без нейтрального провода”.

Пусть фазное напряжение нечетной гармоники:

Тогда:

В линейном напряжении отсутствуют гармоники, кратные “3”.

1а) В линейных и фазных токах будут отсутствовать гармоники, кратные “3”, т.к. отсутствует нейтральный провод.

1б) Между нейтральной точкой нагрузки и генератора возникает напряжение смещения нейтрали (даже при симметричной нагрузке), обусловленное гармониками, кратными “3”:

2) Схема соединения – “звезда с нейтральным проводом”.

2а) Линейное напряжение:

2б) В линейных (фазных) токах, кроме остальных появятся гармоники, кратные “3”, т.к. появится нейтральный провод (путь для замыкания):

2в) В нейтральном проводе даже при симметричной нагрузке будет протекать ток, равный утроенному значению гармоник, кратных “3”.

3) Схема соединения – “разомкнутый треугольник”.

Соединены обмотки генератора. Напряжение на зажимах будет равно утроенному значению гармоник, кратных “3”.

4) Схема соединения – “треугольник”.

Соединены обмотки генератора.

В фазных обмотках генератора или трансформатора даже при отсутствии внешней нагрузки будут протекать токи, обусловленные гармониками, кратными “3”.

В линейных токах и напряжениях будут отсутствовать гармоники, кратные “3” (даже при наличии нагрузки)

П ример:

При включении второго амперметра имеем

Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Электрические цепи, содержащие энергоемкие элементы (L и C – индуктивность и емкость). При подключении таких цепей к источнику или отключении их от источника они не могут мгновенно запастись энергией или мгновенно израсходовать ее, поэтому в таких цепях возникают переходные процессы.

Время начала переходного процесса – (t = 0).

Различают токи и напряжения непосредственно перед коммутацией t(-0), i(-0), U(-0), и после коммутации t(+0), i(+0), U(+0).

i(0), U(0) то же самое, что и i(+0), U(+0).

Переходные процессы длятся доли секунд.

Законы коммутации.

Первый закон: ток в индуктивности непосредственно после коммутации остается таким же, каким он был перед коммутацией (ток в индуктивности скачком измениться не может):

Если бы ток в индуктивности мог измениться скачком, т.е. измениться на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени то это бы соответствовало тому, что , что невозможно.

Второй закон: напряжение на емкости непосредственно после коммутации остается таким же, каким оно было непосредственно перед коммутацией (напряжение на емкости скачком измениться не может):

.

Если бы напряжение на емкости могло измениться скачком, т.е. измениться на конечную величину за бесконечно малый промежуток времени, то это соответствовало тому, что ток в емкости был бы равен: , что невозможно.

Скачком могут изменяться токи в емкостях и резисторах, а напряжения – на индуктивностях и резисторах.

Начальные условия.

Различают зависимые и независимые, нулевые и ненулевые начальные условия.

Независимые начальные условия – это токи в индуктивностях и напряжения на емкостях . Эти величины определяются с помощью законов коммутации.

Зависимые начальные условия – это все остальные токи и напряжения (определяются с помощью законов коммутации и законов Кирхгофа).