билет28 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№28

При вращении прямой L, пересекающейся с осью вращения ,образуется прямой круговой конус. Точка пересечения вращающейся прямой с осью вращения остается неподвижной ,ее называют вершиной конуса.Как и ранее ,уравнение будем выводить в прямоугольной системе координат, ось Oz которой совпадает с осью вращения,а начало системы координат-с вершиной конуса .Ось Ох расположим так,чтобы плоскости Oxz и описывалась уравнением z=k1x.В этой системе координат уравнение пверхности вращения получается из уравнения прямой заменой х на +/- (x^2 +y^2)^1/2.В результаете такой замены получаем z=+/-k1(x^2 +y^2)^1/2.Возведя уравнение в квадрат,придем к соотношению z^2=k1^2(x^2 +y^2),а разделив его на c^2=k1^2*a^2?полуичим каноническое уравнение прямого кругового конуса ( x/a)^2 + (y/a)^2 = (z/c)^2.После преобразования параметров ( x/a)^2 + (y/b)^2 = (z/c)^2.Это уравнение-каноническое уравнение эллиптического конуса.При f=b он совпадает с круговым конусом,и оба они являются поверхностями 2го порядка.

ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x₁,…,x_n,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x₁,…,x_n,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

( матричная форма)

(Решение СЛАУ можно трактовать в виде линейной комбинации столбцов)

x₁a₁+…+x_na_n=b (векторная запись)

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x=с₁x⁽¹⁾+…+c_kx^(k), где с₁….с_n – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

ДОК. Пусть некоторое решение однор. СЛАУ Ax=0 имеет вид (1) Пусть базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, тогда рассматриваемая однородная СЛАУ имеет те же решения, что и система

(1)

Которую можно записать в виде

Эта система имеет невырожденную матрицу, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ.Решая систему относительно базисных неизвестных (например с помощью формул Крамера) получаем соотношения

Запишем ФСР в координатной форме

Затем составим из столбцов матрицу

Последние k столбцов образуют ФСР и по определению линейно независимы, а так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то RgB>=k.

Покажем что RgB=<k. Так как столбцы матрицы В явл. Решением системыAx=0, их элементы удовл. соотнош., т.е.

(2)

Где .Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних k=n-r строк с коэффициентами α_1,r+1,…,α_1n. Тогда согласно первому равенству из (2) в результате этих преобразований мы получим матрицу у кот. Первые r строк нулевые. Т.к. при этом ранг матрицы не меняется RgB=<n-r=k. Поскольку RgB=k, а последние k столбцов матрицы В линейно независимы, тро, согласно теореме о линейно независимых базисных сроках(столбцах) они явл. Базисными, =>первый столбец x по теорему о базисном миноре, явл их линейной комбинацией. Это значит что сущ. такие постоянные , что выполнено равенство (1)