билет2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№2

• Любой ненулевой вектор пространства V₁, называют базисом в V₁. K. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве V₂ называют базисом в V₂.Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базисом в V₃.

ДОК единственности разложения векторов в базисе V_2. Выберем в этом пространстве базис, т.е. два неколлинеарных вектора e₁,e₂.Согласно теореме о линейной зависимости эти три вектора и любой третий вектор x, будучи компланарными, линейно зависимы. Поэтому один из них является линейной комбинацией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е₁ и е₂. Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов: в которой один из коэффициентов не равен нулю. Сразу делаем вывод, что , так как в противном случае в равенстве слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы e₁, е₂ линейно зависимы. Но этого быть не может, так как они неколлинеарны. Так как , мы можем разделить равенство на а. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида: которое называют разложением вектора x в базисе e₁,e₂,а коэффициенты λ₁,λ₂ этого представления – координатами вектора x в базисе e₁,e₂

Л инейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на скаляр (число).

( Правило треугольника). Суммой векторов а и b называется вектор с = а + b, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, если начало вектора b совмещено с концом вектора а .

(Правило параллелограмма). Суммой векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, равный по длине и параллельный диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и b, и выходящей из общего начала векторов а и b.

Очевидно, эти определения эквивалентны, т.е. определяют один и тот же вектор с = а + b.

Т. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а для любых векторов а, b (коммутативность);

2. (а + b) + с = а + (b + с) для любых векторов а, b, с (ассоциативность);

3. Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а.

4 . Для любого вектора а существует противоположный вектор - а такой, что а + (-а) = 0.

Справа приведены рисунки, иллюстрирующие доказательства первого и второго свойств. Третье и четвертое свойства очевидны:

3. а + 0 = ;

4. Если , и взять , то а +

(-а) = = 0.

Опр. 1.1.3. Суммой n векторов a₁, a₂, a₃, _… a_n называется вектор, соединяющий начало вектора a₁ с концом вектора a_n, если начало вектора a₂ совмещено с концом a₁, начало a₃ совмещено с концом a₂ и т.д. (рис.3).

Опр. 1.1.4. Разностью векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого.

Разность векторов а и b можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор -b: а - b = а + (-b).

О пр. 1.1.5. Произведением вектора а на в скаляр (вещественное число) называется вектор , коллинеарный вектору а, сонаправленный с ним, если и противонаправленный к а, если , имеющий длину .

Теорема 1.2.2. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность);

Действительно , обе части неравенства представляют собой векторы, коллинеарные вектору a. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин очевидно, если числа λ и μ имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к a. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины,т.е. равные векторы.

2. (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

При λ=0 и μ=0 свойство очевидно, слева будет нулевой вектор, справа сумма нулевых векторов. Если они не равны 0, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. + рисунок!

λ b λa+ λb

b a+b

a λa

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов);

Здесь 3 коллинеарных вектора. До-во сводится к подсчету длин векторов. Если λ и μ имеют положительные знаки, то все 3 вектора имеют одно направление, то справа складываются длины а доказываемое сводится к: , если оба отрицательны аналогично.

Пусть λ и μ имеют противоположные знаки. Для определенности λ>0, μ<0.При сложении векторов λа и μа вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с а при |λ|>|μ|, и противоположного направления в обратном случае. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна |λ+μ||a|, учитывая направление этого вектора, Заключаем, что он равен (λ+μ)a, т .е. доказываемое равенство верно и при противоположных знаках.

4. Для выполняется равенство ;

5. Вектор, противоположный вектору а, получается умножением вектора а на скаляр ( );

6. При умножении на скаляр 0 получается нулевой вектор: 0.

7 . Если умножить на скаляр , то получится единичный вектор, сонаправленный с вектором а, т.е. орт вектора а: a₀=a/|a|

Однородные матрицы

Т . Если столбцы x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – решения однородной СЛАУ Ax=0, то любая линейная комбинация, так же является решением этой системы.

ДОК.Рассмотрим любую лин. Комбинацию данных решений: , тогда

Т.е. столбец x является

решением однородной СЛАУ Ax=0.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Д ОК.Если x – ненуленвое решение однородной СЛАУ, то для любого решением однородной СЛАУ является и λx

ОПР. ФСР-любой набор из k=n-r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной системы СЛАУ Ax=0, где n – кол-во неизвестных, r – ранг матрицы А.

С ледствие. С помощью нормальной ФСР однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой где постоянные принимают произвольные значения.

Следствие.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена. (т.е. чтобы ее определитель был равен 0)

• Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x=с₁x⁽¹⁾+…+c_kx^(k), где с₁….с_n – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

• ОПР.Однородная СЛАУ Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Т.е. это СЛАУ свободными членами которой являются 0.