Билет8 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№8

• Любое уравнение первой степени в прямоугольной системе координат определяет прямую на плоскости.

Так как мы имеем уравнение 1й степени, оно определяет кривую первого порядка.

Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая. Нам необходимо доказать лишь второе утверждение.

ДОК. рассмотрим произвольное урав­нение первого порядка с двумя неизвестными ах + by + с = 0,

а² + b²!= 0. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Напри­мер, если а!= 0, то решением уравнения является х = -с/a, y=0. Это значит, что геометрический образ уравнения является не­пустым и содержит какие-то точки. Пусть точка М₀(х₀; у₀) принадлежит указанному образу, т.е. выполняется равенство ах_о + bу_о + с = 0. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквива­лентное исходному. Это новое уравнение после группировки слагаемых примет вид

Нетрудно увидеть, что полученное уравнение представляет со­бой условие ортогональности векторов

n={а; b} и M₀M, где М — это точка с координатами (x;y). Следовательно, если точка М(х; у) принадлежит геометрическому образу уравне­ния ax + by + c = 0, то вектор п ортогонален вектору М₀М, т.е. точка М лежит на прямой, проходящей через точку М₀ перпен­дикулярно вектору п. ►

Из доказательства теоремы 4.1 следует, что коэффициенты а и 6 в общем уравнении прямой имеют простой геометри­ческий смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют нормальным вектором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.

Уравнение прямой проходящей через 2 точки:

Зададим прямую L на плоскости двумя различными точками М₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) на ней.

Тогда вектор М₁М₂ параллелен L и ее каноническое уравнение (x-x₀)/m=(y-y₀)/n как уравнение прямой, проходящей через точку М₁(x₁;y₁), с направляющим вектором s= М₁М₂ имеет вид

Уравнение прямой в отрезках:

Определим прямую L ее точками А(а,0) и В(0,b) пересечения с осями координат, предполагая что эти две точки не совпадают с началом координат, т.е. что а!=0 и b!=0

Записывая уравнение прямой L в виде

по двум ее точкам А и В

Получаем откуда

• ОПР. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен от n переменных x₁,…,x_n,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значения x₁,…,x_n,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x₁,…,x_n такие, что x₁a₁+…+x_na_n=b, где a_i – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

С огласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие

Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.