Билет6 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№6

ОПР. Смешанным произведением трех векторов называют число равное (axb)c – скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.

Св-ва.: 1) правило циклической перестановки: (axb)c=(bxc)a=(cxa)b= - (bxa)c= - (cxb)a= - (axc)b 2)Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0. 3)св-во ассоциативности: (λa)bc=λ(abc) 4)св-во дистрибутивности: (a1+a2)bc=a1*bc+a2*bc

Обьем параллелепипеда и пирамиды:

1. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов abc равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины,взятого со знаком плюс, если тройка – правая, и со знаком минус, если тройка – левая. abc=S_парe

2. Смешанное произведение трех некомпланарных векторов abc/6 равно объему пирамиды, построенной на этих векторах как на ребрах, выходящих из одной вершины,взятого со знаком плюс, если тройка – правая, и со знаком минус, если тройка – левая. Abc/6=S_пирe

В ывод. Пусть a,b,c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе. Найдем их смешанное произведение.:

Согласно полученной формуле свойство 2) смешанного произведения можно сформулировать так: необходимым и достаточным усл. Компланарности трех векторов, заданных в ортонормированном базисе, явл равенство нулю определителя третьего порядка, строками которого явл координаты этих векторов.

ОПР. Рангом матрицы называют число которое равно максимальному порядку среди ее ненулевых миноров. (RgA)

Т Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОК НЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУ Ax=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстных x₁,…,x_n такие, что x₁a₁+…+x_na_n=b, где a_i – столбцы матрицы А, b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

С огласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждого j>k существуют такие

Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. Поэтому Rg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:Пусть Rg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.