Билет4 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен в одном флаконе (ИУ5))

Билет№4

• ОПР.Базис называют ортогональным, если он состоит из векторов, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых. Базис называют ортонормированным, если он ортогональный и состоит из единичных векторов.

Параллелепипед, изобр. на рис. в ортонормированном базисе в V3 является прямоугольным,а точки A’,B’,C’ – ортогональными проекциями точки D на соответствующие прямые. Координаты вектора d=OD в ортонормированном базисе равны ортогональным проекциям этого вектора на направления векторов, образ. этот базис. Ортонорм. Базис в V3 принято обозначать, с учетом порядка, буквами i,j,k

П о теореме Пифагора |OX|²=|OX_i|²+|OX_j|²+|OX_k|² , где точки X_i X_j X_k – ортогон. проекции точки X на соответствующие оси.Но длины отрезков OX_i OX_j OX_k – это абсолютные значения координат вектора x=OX в базисе i,j,k.В результате получаем формулу для вычисления длины вектора в ортонормированном базисе:

Пусть ненулевой вектор x в V3, образует с направлениями векторов ортонормированного базиса i,j,k углы α,β,γ соответственно. Величины cosα, cosβ, cosγ называют направляющими косинусами вектора x.

Если x имеет в ортонормированном базисе координаты {x₁;x₂;x₃} и направляющие косинусы cosα, cosβ, cosγ, то x₁=|x| cosβ, x₂=|x| cosα, x₃=|x| cosγ

По формуле длины вектора получаем:

Сократив на |x|!=0 получаем: cos²α+cos²β+cos²γ=1

ВСПОМНИМ формулу скалярного произведения векторов ab=|a||b|cosφ, отсюда

cosφ= ab/|a||b|, подставив координаты векторов в ортонорм. базисе получаем:

• О ПР.Однородная СЛАУ Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Т.е. это СЛАУ свободными членами которой являются 0.

• Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x=с₁x⁽¹⁾+…+c_kx^(k), где с₁….с_n – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

ДОК. Пусть некоторое решение однор. СЛАУ Ax=0 имеет вид (1) Пусть базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, тогда рассматриваемая однородная СЛАУ имеет те же решения, что и система

(1)

Которую можно записать в виде

Эта система имеет невырожденную матрицу, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ.Решая систему относительно базисных неизвестных (например с помощью формул Крамера) получаем соотношения

Запишем ФСР в координатной форме

Затем составим из столбцов матрицу

Последние k столбцов образуют ФСР и по определению линейно независимы, а так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то RgB>=k.

Покажем что RgB=<k. Так как столбцы матрицы В явл. Решением системыAx=0, их элементы удовл. соотнош., т.е.

(2)

Где .Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних k=n-r строк с коэффициентами α_1,r+1,…,α_1n. Тогда согласно первому равенству из (2) в результате этих преобразований мы получим матрицу у кот. Первые r строк нулевые. Т.к. при этом ранг матрицы не меняется RgB=<n-r=k. Поскольку RgB=k, а последние k столбцов матрицы В линейно независимы, тро, согласно теореме о линейно независимых базисных сроках(столбцах) они явл. Базисными, =>первый столбец x по теорему о базисном миноре, явл их линейной комбинацией. Это значит что сущ. такие постоянные , что выполнено равенство (1)