Глава 08 -Диаграмма температура - энтропия (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970)

Глава VIII. ДИАГРАММА ТЕМПЕРАТУРА - ЭНТРОПИЯ

§ 39. Свойства системы координат температура — энтропия (Т — s)

При введении понятия энтропии было установлено, что эта величина является параметром состояния. Из уравнения

следует, что использовать энтропию s как параметр, характери­зующий состояние рабочего тела, удобнее всего в сочетании с абсолют­ной температурой Т.

Если энтропию и температуру рассматривать как координаты не­которой плоскостной системы коор­динат (рис. 42), то каждому сочета­нию значений s и Т на плоскости координат (точки А, В и т. д.) будут соответствовать вполне определенные состояния рабочего тела. Очевидно также, что каждый процесс в коор­динатах Т—s представляется неко­торой линией, для которой в про­стейших случаях можно установить аналитическое выражение зависимости s = f (Т).

При нанесении какого-либо процесса на координатную плос­кость sT необходимо знать абсолютное значение энтропии. Это зна­чение, вообще говоря, может быть вычислено. Но для решения тер­модинамических задач в подавляющем большинстве случаев тре­буется определять только изменение энтропии в процессе. Поэтому вместо сложного вычисления абсолютных значений энтропии выбирают условный отсчет ее от какого-либо фиксированного состо­яния. Так, для идеального газа за начало отсчета энтропии при­нимают обычно нормальные физические условия (0° С и 760 мм рт. ст.), при которых энтропия условно считается равной нулю.

93

При таком способе отсчета энтропии изменение ее в процессах останется тем же, что и разность абсолютных значений энтро­пии.

Изменение энтропии в обратимом процессе в этом случае мо­жет быть подсчитано также по общей формуле

Если взять на кривой процесса А В (рис. 42) элементарный от­резок, в котором изменение температуры будет бесконечно мало (dT), то площадь под этим элементарным процессом (заштрихован­ная площадка) будет равна произведению текущего значения тем­пературы Т на бесконечно малое приращение энтропии ds. Но, как известно, это произведение для обратимого процесса равно теплоте в обратимом процессе, т. е. dq = Tds.

Взяв бесконечно большую сумму бесконечно малых площадок по всему процессу АВ, получим площадь под кривой этого про­цесса. Аналитически эта сумма представляет собой интеграл от выражения Т ds в пределах от А до В, Этот интеграл численно ра­вен теплоте в процессе, т. е.

Следовательно, в координатах Т—s теплота представляется площадью под линией процесса. Поэтому часто диаграмму Т—s называют тепловой диаграммой.

По характеру протекания линии процесса в координатах Т—s легко определить знак теплоты в процессе.

Из соотношения dq следует, что так как температура всегда положительна, знак dq определяется знаком ds. Если энтропия в процессе возрастает, то это значит, что теплота положительная, т. е. подводится, и наоборот. Аналитически это можно записать так: ds > 0 и dq > 0, ds < 0 и dq < 0.

Следует подчеркнуть, что в системе Т—s изображают процессы изменения состояния рабочего тела, и поэтому изменение энтро­пии относится только к рабочему телу, а не к системе, в которой этот процесс осуществляется.

следовательно, работа за цикл в тепловых единицах (дж) равна

Круговые_процессы или циклы в координатах Т—s, так же как и в любой другой системе координат, где по осям отложены параметры состояния, представляются замкнутыми линиями. Так как в таких процессах изменение внутренней энергии тела u = 0, то работа за цикл определяется как алгебраическая сум­ма подводимой и отводимой теплоты:

95

разности площадей под верхней и нижней ветвями цикла, т.е. I — пл. а1А2b — пл. а1В2b (рис. 43). Эта работа соответствует площади, ограниченной линиями цикла (пл. 1А2В1). Если площадь под ли­нией процесса подвода теплоты больше площади, соответствующей отводимой теплоте, то работа цикла положительная, цикл 1А2В1 прямой. Для обратного цикла площадь, характеризующая под­веденную теплоту, будет меньше площади, представляющей собой отведенную теплоту. Значит, ра­бота за цикл отрицательная.

Очевидно, что термический к. п. д. цикла будет равен

Координаты Т—s с нанесен­ными на них графиками простей­ших процессов для данного рабочего тела называют диаграммой T—s этого тела. Простейшей тепловой диаграммой будет диаграм­ма для идеального газа. Для построения этих диаграмм необхо­димо рассмотреть основные процессы идеального газа в координатах Т—s.

§ 40. Основные процессы идеального газа в координатах Т—s

Из этого следует, что

Для процесса v — const (рис. 44) изменение энтропии в пределах от точки 1 до точки 2 выразится как

Считая, что теплоемкость в процессе остается постоянной, по­лучаем

Изохорный процесс (v = const). Для изохорного процесса бесконечно малое количество теплоты

или, переходя к десятичным логарифмам,

Изохора в координатах Т—s представляется логарифмической кривой 1—2. Площадь под линией процесса а12b соответствует теплоте в процессе

которая равна изменению внутренней энергии рабочего тела (ра­бота в процессе равна нулю):

Такой же вывод получается при рассмотрении процессов

Принимая теплоемкость в про­цессе постоянной, получаем

или

Изобарный процесс, так же как и изохорный, в координатах Т—s представляется логарифмической кривой. Площадь под ли­нией процесса а12b соответствует теплоте в процессе

эта теплота равна изменению энтальпии рабочего тела.

Рассмотрение изобары и изохоры, проходящих через одну и ту же точку (рис. 46), приводит к выводу, что изохора расположена круче, чем изобара. Это объясняется следующим образом:

Изотермический процесс (Т = const). В координатах этот про­цесс представляется прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 47). Уравнение процесса: Т = const.

Для изотермического процесса идеального газа

изменение энтропии

Заменяя по уравнению состояния газа

получаем

97

Для процесса 1—2 (рис. 47)

или, переходя к десятичным логарифмам, получим

Отношение объемов можно заменить через обратное отношение давлений. Тогда

Для любых двух изохор v₁ = const и v₂ = const (рис. 48) легко установить, что расстояния между ними в направлении, параллель­ном оси абсцисс, одинаковы. Это следует из того, что для любой изо-

термы, расположенной между этими изохорами, изменение энтро­пии рабочего тела будет одно и то же:

Это значит, что все изохоры эквидистантны в направлении, параллельном оси абсцисс. Подобным же образом может быть по­казана эквидистантность изобар в том же направлении:

Адиабатный процесс (dq = 0)._ Для этого процесса, так же как
и для любого другого:

Теплота отводится от рабочего тела по изотерме cd. Количест­во отводимой теплоты соответствует площади

99

Для адиабатного процесса dq = 0, поэтому ds = 0. Отсюда сле­дует, что обратимый адиабатный процесс характеризуется постоян-

ством энтропии s = const. На этом основании такой процесс час­то называют изоэнтропным.

Очевидно, графиком такого процесса явится прямая, парал­лельная оси ординат (рис. 49). Такой вид графика адиабатного процесса указывает на то, что этот процесс характеризуется не только тем, что dq = 0, но и тем, что q = 0. Это находится в пол­ном соответствии со всем сказанным выше.

§ 41. Диаграмма Т —s для идеального газа

На рис. 50 приведен пример общего вида части диаграммы для газа, подчиняющегося уравнению состояния газа. Сплошными горизонтальными и вертикальными линиями нанесены соответственно изотермы и адиабаты. Начало координат по оси энтропии (ось абсцисс) выбирается условно.

Сплошные логарифми­ческие кривые представ­ляют собой изобары. При этом изобары, соответст­вующие большим давле­ниям, располагаются бли­же к оси ординат, т. е.

Рп > Р₁

Пунктирными логариф­мическими кривыми на­несены изохоры. Изохо­ры, расположенные ближе к оси ординат, соответствуют мень­шим объемам, т. е. v_n < v₁.

Такой диаграммой удобно пользоваться при исследовании процессов и циклов, протекающих в рабочих телах, которые мож­но принимать за идеальные газы. Это допустимо, например, при исследовании рабочего процесса воздушных и некоторых газовых компрессоров, двигателей внутреннего сгорания, газотурбинных установок и т. п. В качестве примера в приложении дана диаграм­ма Т—s для воздуха, который принимается за идеальный газ.

§ 42. Цикл Карно на диаграмме Т — s

Цикл Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, пред­ставится в координатах T—s в виде прямоугольника abed (рис. 51). Изотерма ab соответствует процессу подвода теплоты. Количество подводимой к рабочему телу теплоты определяется как площадь