Глава 07 -ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ (Головинцов А.Г., Юдаев Б.Н., Федотов Е.И. - Техническая термодинамика и теплопередача 1970), страница 3

циклом, провести большое число адиабат, расположенных очень близко одна от другой, то можно весь заданный цикл представить состоящим из большого числа частей — элементарных циклов, если через неадиабатические участки каждого из этих циклов провести усредняющие изотермы, то получим большое число элементарных циклов Карно, для каждого из которых справедливы полученные выше характеристики приведенных теплот, т. е. ля каждого из них можно написать

После суммирования левых частей этого ряда равенства по­лучаем

который, как известно из математики, представляется интегралом,
найденным по замкнутому контуру:

Этим равенством приближенно характеризуется заданный цикл 1А2В1, так как действительные участки его были заменены усредняющими изотермами, что равносильно замене всего цикла некоторым другим, представляемым ступенчатой кривой. Для получения точной характеристики цикла нужно провести беско­нечно большое число адиабат, расположенных на бесконечно малых расстояниях одна от другой. В этом случае нужно вычислить пре­дел суммы, выраженной уравнением (133):

Полученные характеристики циклов по приведенным теплотам справедливы только для обратимых циклов. В случаях необратимых циклов эти характеристики изменятся, что определяется неравенством:

где q₁ и q₂ — количество теплоты, получаемое и отдаваемое ра­бочим телом;

T₁ и T₂ — температуры источников теплоты.

Из неравенства (135) следует:

79

что по аналогии с предыдущим можно представить в виде алгебра­ической суммы

Для необратимого цикла Карно алгебраическая сумма приведенных теплот меньше нуля.

Если к произвольному необратимому циклу применить ту же методику исследования, которая была использована при обратимом цикле, т. е. разбить его на элементарные необратимые циклы lapno, для каждого из них написать неравенство (136), просум­мировать левые части этих неравенств и перейти к пределу при числе элементарных циклов Карно, стремящемся к бесконечности, о получим

Интеграл приведенных теплот по замкнутому контуру необра-тимого цикла меньше нуля.

Уравнения (134) и (137) обычно записывают в обобщенной форме:

§ 35. Энтропия

Выше, при рассмотрении свойств термодинамических величин, было установлено, что величины, составляющие группу параметров состояния рабочего тела (функции состояния), отличаются тем, что не изменяются в результате осуществления круговых процессов (циклов); другими словами, для параметров, состояния интеграл от бесконечно малых приращений по замкнутому контуру цикла равен нулю:

С этой точки зрения логично величину, стоящую под интегра-лом уравнения (134), составленного для обратимого цикла, рас-сматривать как бесконечно малое приращение некоторого пара-метра состояния, имеющего те же формальные свойства, что и дав­шие, плотность, температура и др., для которых в гл. V был изб-

ран общий символ z. Так и поступают: выражение dq/T в обратимом произвольном цикле считают бесконечно малым приращением (в данном случае оно называется полным дифференциалом) некоторой дикции состояния, названной энтропией и обычно обозначаемой символом s, т. е. приравнивают:

Из определения величины энтропии следует, что ее размер­ность для случая, когда количество рабочего тела равно 1 кг, будет дж/(кг*град}. Для т кг рабочего тела энтропия определится как произведение rns = S (дж/град). Энтропия 1 кг рабочего тела называется удельной. Несмотря на то, что размерность удельной энтропии такова же, как и теплоемкости, между этими величина­ми существует глубокое принципиальное различие, которое может быть установлено даже на основе чисто формального рассмотрения этих величин.

После введения понятия энтропии уравнение (134) принимает вид

Это выражение известно в термодинамике под названием интег­рала Клаузиуса.

Так как уравнение (139) показывает, что энтропия является функ­цией состояния, то ее значение вполне определится любыми двумя параметра­ми состояния, например:

Таким образом, при переходе рабо­чего тела из одного состояния в дру­гое приращение энтропии определяется только этими состояниями и не зависит от характера процесса.

Вычисление абсолютного значения энтропии — весьма сложная задача. Для ее решения необходимо знать тео­рему Нернста, которая обычно в курсах технической термодина­мики не рассматривается. В дальнейшем будем вычислять исключительно приращения энтропии. Этого оказывается вполне доста­точно "для" решения большинства практических задач технической термодинамики и теплотехники.

Рассмотрим два состояния рабочего тела, соответствующие токам 1 и 2 (рис. 31). В силу указанных свойств энтропии как функ­ции состояния очевидно, что для любого процесса, обратимого или необратимого, протекающего между этими состояниями, из­менение энтропии s = s₂ — s₁ будет одно и то же¹.

Покажем одну особенность протекания необратимых процессов. Проведем между состояниями 2 и 1 обратимый процесс 2В1 и не-

¹ При вычислении s в необратимом процессе обязательно, чтобы он протекал между равновесными состояниями (точки 1 и 2), иначе нельзя опре­делять энтропию как характеристику состояния всей массы рабочего тела, а значит, нельзя говорить и о приращении энтропии тела.

81

обратимый процесс (условно) 1А2. Полученный в результате этого цикл 1А 2В1 будет необратимый, и для него справедливо уравне­ние, относящееся к приведенным теплотам:

Этот интеграл в соответствии с предыдущим можно разбить на два интеграла — для процесса 1А2 и для процесса 2В1:

Второй интеграл относится к обратимому процессу 2В и пред­ставляет приращение энтропии в этом случае, т. е.

Если перейти к бесконечно малым изменениям энтропии, т. е. рассматривать элементарные необратимые процессы, то тогда

Но таким же будет приращение энтропии рабочего тела и в любом процессе между состояниями 2 и 1, в том числе и в необра­тимом процессе 2А1. Поэтому величину s = s₁—s₂ следует рас­сматривать как величину, обратную искомому приращению энт­ропии тела в необратимом процессе 1А2. Следовательно,

Несмотря на то, что в необратимом процессе изменение энтропии
рабочего тела такое же, как и в обратимом, происходящем между
теми же начальным и конечным состояниями, только для обрати­мого процесса изменение энтропии определяется как алгебраичес­кая сумма приведенных теплот. Для необратимого процесса изме­нение энтропии рабочего тела больше алгебраической суммы при­
веденных теплот.

§ 36. Энтропия как характеристика процессов в изолированной системе

Энтропия, так же как внутренняя энергия и энтальпия, обла­дает свойством аддитивности (сложения), т. е. энтропия системы будет равна сумме энтропии, входящих в систему тел. Очевидно, что изменение энтропии сложной системы при этом будет также равно сумме изменений энтропии тел, входящих в систему, т. е.

Введем понятие термически изолированной системы. Если си­стема, состоящая из n материальных тел, отличается тем, что энер­гетическое взаимодей­ствие любого из них в форме теплоты исклю­чается с телами, рас­положенными вне ее (внешняя среда), то такая система назы­вается термически изо­лированной или просто изолированной. Иногда для обозначения изо­лированной системы це­лесообразно представ­лять ее ограниченной некоторой так называе­мой адиабатной оболочкой, исключающей теплообмен с внешней средой (рис. 32).

Для характеристики процессов, протекающих в изолированной системе, с точки зрения изменений, вызываемых в ней этими про­цессами, удобно пользоваться характером изменения энтропии системы. Рассмотрим некоторые примеры:

1. Система состоит из двух тел с разными температурами; между телами происходит прямой теплообмен (рис. 33).

Бесконечно малое изменение энтропии: первого тела

второго тела

(знак минус у ds₁ определяется тем, что от первого тела теплота отводится: dq < 0). Числители обоих выражений, определяющих приращения энтропии, равны, но так как T₂ < T₁ то ds₂ по аб-

83

Для конечного количества теплоты, передаваемой от первого тела ко второму, это выражение принимает вид

солютной величина больше, чем ds₁. Поэтому изменение энтропии системы за бесконечно малый отрезок времени

Но так как в течение протекания процесса до полного вырав­нивания температур сохраняется неравенство Т₂ < Т₁, полученное выше неравенство будет справедливо и для процесса в целом, т. е.

s_сист > 0. Это свидетельствует о том, что в результате прямого теплообмена в изолированной си­стеме растет энтропия.