ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ), страница 7

Основные формулы: ;

3. Случай. На рис. л последовательно соединены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсни­ка. Так как Х(ω) каждого из этих двухполюсников построена, то ре­зультирующее Х(ω) схемы рис. л получим, суммируя ординаты Х(ω) этих двухполюсников (т. е. кривых рис. е, и). Зависимость X(ω) для схемы рис. л см. рис. м, a b(ω) — на рис. н. При плавном увеличении частоты в схеме (рис. ж), начиная с ω = 0, сначала возникает резонанс напряжений при частоте ω₁ , затем резо­нанс токов при ω₂, после этого резонанс напряжений при ω₃ . При дальнейшем увеличении ω резонансов возникать не будет.

Сделаем следующие выводы: 1) режимы резонанса токов и резонанса напряжений чередуют­ся; 2) число резонансных частот для канонических схем на единицу меньше числа реактивных элементов; 3) если в схеме есть путь для прохождения постоянного тока, то при плавном увеличении частоты, начиная с нуля, первым наступит резонанс токов, если нет — резонанс напряжений.

Это следует из того, что если есть путь для постоянного тока, то при ω = 0 характеристика X = f(ω) начинается с нуля, затем X увеличивается, а при некоторой ω кривая претерпевает разрыв, который и соответствует резонансу токов.

1. Передача энергии от активного двухполюсника в нагрузку.

К зажимам ab активного двухполюсника (рис. а) подключена Нагрузка

Z_н = R_н +jX_н. Требуется выяснить, при соблюдении ка­ких условий в

нагрузке выделяется максимальная активная мощ­ность.

По методу эквивалентного генератора ток в нагрузке: I^* = U_abx^* / ( Z_вх + Z_н ),

где Z_вх = R_вх + jX_вх — входное сопротивление двухполюсника по от­ношению к зажимам ab, поэтому: I^* = U_abx^* / ( R_вх + R_н +j*( X_вх +X_н )). По условию, R_вх и Х_вх заданы и изменять их нельзя. Изменять можно лишь R_н и Х_н. Выберем такое Х_н , чтобы ток в цепи был максимальным; это возможно, если Х_вх + Х_н =0. При этом двухпо­люсник работает в резонансном режиме — ток через нагрузку по фазе совпадает с напряжением U_фbx:

I = U_abx / ( R_вх + R_н ). Как и в цепи постоянного тока, если взять R_н = R_вх выделяющаяся в нагрузке мощность максимальна: P_max = U_abx² / 4R_вх . Таким образом, чтобы выделить в нагрузке, присоединяемой к активному двухполюснику с входным сопротивлением R_n + jX_вx, максимально возможную мощность, необходимо выбрать следую­щие сопротивления нагрузки.: Х_н = -Х_вх, R_H = R_вх. При этом Z_н = Z_вх^#, а КПД составит 50%.

1. Расчет электрических цепей при наличии в них магнитносвязных катушек.

В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении урав­нений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.

Правильное заключение об этом можно сделать, если

известно направление намотки катушек на сердечнике и

выбрано положи­тельное направление токов в них. На рис. а

катушки включены согласно, на рис. б — встречно. Чтобы не

загромождать чертеж, сердечники катушек на электрических

схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, что

одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками, например точками. ( Схема рис. в эквивалентна схеме рис. а, а схема рис. г - схеме рис. б. )

Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обоз­наченных зажимов, например оба направлены к точкам или оба направлены от точек, то имеет место согласное включение, в про­тивном случае — встречное. Если магнитно связано несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.

Пример. Показать пример расчета для схемы.

Решение.

Введем обозначение: М –взаимная индуктивность.

1. Последовательное соединение двух магнитно-связных катушек.

На рис. 1 изображена схема последовательного

согласованного включения двух катушек, а на рис.2 —

последовательного встречного включения тех же катушек.

При согласном включении:

iR₁ + L₁*di / dt + M*di / dt + L₂*di / dt + M*di / dt + iR₂ = e.

В комплексной форме записи:

I^*( R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ + 2M )) = E^* ;

I^*Z_согл = E^*,

Z_согл = R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ + 2M )

Векторная диаграмма для согласного включения изображена на рис. 3,

где U₁ — напряжение на первой катушке; U₂ — на второй.

При встречном включении:

iR₁ + L₁*di / dt - M*di / dt + L₂*di / dt - M*di / dt + iR₂ = e.

В комплексной форме записи:

I^*Z_согл = E^*,

Z_согл = R₁ + R₂ + jω*( L₁ + L₂ - 2M )

Векторная диаграмма для встречного включения при

L₁ > M и L₂ > M изображена на рис. 4.

1. Определение взаимной индуктивности опытным путем.

Первый способ. Проделаем два опыта. В первый из них включим катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки включим последовательно и встречно и также измерим I, U, Р. По результатам измерений найдем: X_corл, = ω( L_l + L₃ + 2M); X_встр = ω ( L_l + L₂ - 2M).

Разность Х_согл — Х_встр = 4 ωМ, следовательно, М = ( Х_согл – Х_встр ) / 4ω .

Второй способ. Подключим первую катушку к источнику сину­соидальной ЭДС через амперметр как на рисунке, а к зажимам второй катушки

присоединим вольтметр с большим внутренним сопротив­лением.

Измерим ток I₁ и напряжение U₂.

Мгновенное значение напряжения u₂ = M*di₁ / dt. Его

действующее значение U₂ = ωMI₁ . Следовательно, M = U₂ / ωI₁.

Пример. В схеме на рисунке вольтметр показал 100 В,

амперметр 10 А; ω = 314 рад/с. Определить М. Решение. По формуле из второго способа, М = 100 / ( 314*10 ) = 0,0319 Гн.

1. Трансформатор. Вносимое сопротивление.

Трансформа­тор представляет собой статическое (т. е. не имеющее подвижных частей) устройство, служащее для преобразования числового значения переменного во времени напряжения, а также для электрического разделения цепей и преобразования числовых значений сопротивлений. Передача энергии из одной цепи в другую производится трансформатором благодаря явлению взаимоиндукции. Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем сердечнике. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной. Параметры первичной обмотки R₁ и L₁ , вторичной — R₂ b L₂. Взаимная индуктивность между обмотками М. Сопротивление нагрузки, подключенной к зажимам вторичной обмотке, равно Z_н.

Выберем положительные направления токов I₁^* и I₂^*. Обозначим

напряжение на нагрузке U_н^*. Запишем уравнения в комплексной форме:

для первичной цепи: I₁^*R₁ + I₁^*jωL₁ + I₂^*jωM = E^*.

для вторичной цепи: I₂^*R₂ + I₂^*jωL₂ + I₁^*jωM + U_н = 0.

На рис. б качественно построим

векторную диаграмму, полагая, что нагрузка

Z_н = z_нe^jφ имеет индуктивный характер.

Ток I₂^* направим по оси +1. Напряжение на

нагрузке U_н опережает ток I₂^* на угол φ

Падение напряжения I₂^*R₂ совпадает по фазе

стоком I₂^* . Вектор I₂^*jωL₂ опережает вектор тока I₂^* на 90 °.

В соответствии с уравнением для вторичной цепи вектор I₁^*jωM проводим так, чтобы геометрическая сумма падений напряжений во вторичной цепи равнялась нулю.

Вектор тока I₁^* отстает от вектора I₁^*jωM на 90⁰. Вектор I₁^*R₁ совпадает с вектором тока I₁^* по фазе, а вектор I₁^*jωL₁ опережает вектор I₁^* на 90°.

Вектор I₂^*jωM опережает вектор I₂^* на 90°. В соответствии с урав­нением дял первичной цепи геометрическая сумма I₁^*R₁ + I₁^*jωL₁ + I₂^*jωM дает E₁*_.

Основные формулы: U_н^* = I₂^*Z_н = I₂^*( R_н + jX_н ); I₁^* = E₁^* / (( R₁ + R_вн ) + j( X₁ – X_вн )),

где R_вн и X_вн –вносимые из вторичного контура в первичный активное и реактивное сопротивление. и

Вносимые сопротивления представляют собой такие сопротив­ления, которые следоало бы "внести" в первичную цепь (включить последовательно с R₁ и X₁ ), чтобы учесть влияние нагрузки вторич­ной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи (рис. в).

1. Топографическая диаграмма.

Топографическая диаграмма

–совокупность точек комплексной

плоскости, изображающих комплексные

потенциалы одноименных точек цепи.

Пример. Построить топографическую

диаграмму для схемы на рис. а к этому

вопросу, совместив ее с векторной диаграммой токов. Две ветви схемы связаны магнитно. Значения параметров: ωL₁ = 3 Ом; ωL₂ = 4 Ом; ωМ = 3 Ом; R₁ = R₂ = 2 Ом; E^* = 100 В. Решение. Обозначим токи в ветвях через I₁^* и I₂^* и ток в неразветвленной части схемы — через I^*. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для со­гласного включения катушек: I₁^*( R₁ +jωL₁ ) + I₂^*jωM = E^*; I₁^*jωM + I₂^*( R₂ +jωL₂ ) = E^*. Совместное решение их дает: I₁^* = 16e^-j60 A, I₂* = 14,27e^-j86,5. Топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изо­бражена на рис. 6.

1. Четырехполюсники. ( основные определения ).

Четырехполюсник — это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по от­ношению к четырем ее зажимам. Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) mn и pq . Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутст­вует, то это значит, что четырехполюсник пассивный. На практике четырехполюсник обычно работает в режиме, когда одна пара зажимов, например mn, является входной, а другая пара, например pq, — выходной. Четырехполюсник, у которого рабочими являются две пары зажимов, называют проходным. Входной ток обозначают I₁^* , входное напряжение — U₁^* ; ток и напряжение на выходе — I₂^* и U₂^* . Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам mn, как прави­ло, присоединяют источник питания, к выходным зажимам pq — нагрузку. Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряже­ние на входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырех­полюсника и сопротивления в ней остаются неизменными.

1. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника.

Четы­рехполюсник характеризуется двумя напряжениями U₁^* и U₂^* и дву­мя токами I₁^* и I₂^* . Любые две величины из четырех можно опреде­лить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то возможны следующие шесть форм записи уравне­ний пассивного четырехполюсника:

Обратим внимание на попарную