ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ), страница 11

Знак минус у отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнит­ная волна, движется в обратном направлении по сравнению с пото­ком энергии, который несет с собой падающая волна.

Каждая компонента падающей волны (волны напряжения или волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, амп­литуда которого уменьшается по мере роста Х, а аргумент является функцией времени и координаты Х. Каждая компонента отраженной электромагнитной волны за­тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу. Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и отраженной волн по мере их продвижения по линии объясняется наличием потерь в линии.

1. Коэффициент отражения.

Отношение напряжения отра­женной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают К_u. Он рассчитывается из формулы: . При согласованной нагрузке К_u = 0, при холостом ходе К_u = 1. Коэффициент отражения по току K_i = -K_u .

1. Фазовая скорость.

Фазовой скоростью u_ф называют ско­рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблю­дать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это скорость перемещения по линии неизменного фазового состоя­ния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то: ωt + ψ_п – βx = CONST. Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства и получим: u_ф = dx / dt = ω / β.

Пример. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с

малыми потерями. Решение. Из предыдущих формул β = ω√L₀C₀. Поэтому:

u_ф = dx / dt = ω / β = 1 / √L₀C₀. Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии: L₀ = ( μ₀ / π )*Ln( d / r ). Емкость единицы длины двухпроводной линии рассчитывается по формуле: C₀ = πε₀ / Ln ( d / r ), тогда фозовую скорость можно определить по формуле: u_ф = 1 / √μ₀ε₀ = 1 / √(1,256*10^-6 Гн/м * 8,86*10^-12 Ф/м) ≈ 3*10⁸ м/с

1. Линия без искажений.

Линия без искажений представ­ляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространя­ются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени.

При движении электромагнитной волны по линии без искаже­ний волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но фор­мы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны формы волн тока в начале и конце линии.

Неискажающие линии находят применение в телефонии. При телефонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голо­са, т. е. не искажается спектральный состав голоса.

Для того чтобы линия была неискажающей, коэффициент зату­хания а и фазовая скорость u_ф не должны зависеть от частоты; а и u_ф не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет место следующее соотношение: R₀ / L₀ = G₀ / C₀. Обозначим:

R₀ / L₀ = G₀ / C₀ = k, тогда должны выполняться следующие формулы:

Z₀ = R₀ + jωL₀ = L₀( k + jω ); Y₀ = G₀ + jωC₀ = C₀( k + jω ); γ = ( k + jω ) √L₀C₀.

В реальных линиях передачи сигналов соотношение R₀ / L₀ = G₀ / C₀ обычно не соблюдается, так как L₀ < R₀C₀ / G₀^* . Для того чтобы было достигнуто это соотношение, принимают меры по увеличению L₀. Практически устранение частотных искажений сигнала во всем передаточном тракте часто достигают не за счет использования линий без искажения, а путем включения в тракт специальных корректирующих четырехполюсников.

1. Согласованная нагрузка.

Линия с распределенными па­раметрами, как

правило, служит в качестве промежуточного звена

между источником энергии (сигнала) и нагрузкой.

Обозначим сопротивление нагрузки Z₂

(Z₂ = U₂^* / I₂^* ) (рис. а). Если Z₂ ≠ Z₁ , то падающая

волна частично пройдет в нагрузку, частично отразится от нее (возникает отраженная волна). При Z₂ = Zв — такую нагрузку называют согласованной — отраженная волна отсутствует ( отраженная волна отсутствует, так как А₁ = 0 ). В линиях передачи информации кроме согласования Z₂ с Z_в согласовывают также Z_В с внутренним сопротивлением источника сигнала Z_H. При Z_Н, немного не равном Z_B, кроме истинного сигнала через некоторое время после него может появиться ложный сигнал типа эха; наличие последнего затруднит обработку получаемой ин­формации.

1. Определение напряжений и тока при согласованной нагрузке.

Чтобы получить формулы для определения напряжения и тока в любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у, вместо Z_B подставим Z₂, заменим I₂^*Z₂ на U₂^* и U₂^* / Z₂ на I₂^*. Получим: . В начале линии y = L, тогда: , где U₂— модуль, а φ_u2 — аргумент комплекса U₂^* ; I₂—модуль, а φ_i2 — аргумент комплекса I₂^*.

График зависимости действующего значения напряжения U от расстояния у для линии с потерями при согласованной нагрузке иллюстрирует кривая 1 на рис б, при несогласованной — напри­мер кривая 2 на рис. б.

1. КПД линии передачи при согласованной нагрузке.

Коэффициент полезного действия линии передачи равен отношению активной мощности в конце линии Р₂ к активной мощности в начале линии Р₁ :

Р₂ = U₂I₂cos( φ_U2 – φ_I2 ) = U₂I₂cosφ_B, где φ_B — аргумент волнового сопротивления Z_B.

При согласованной нагрузке угол между U₁^* и I₁^* также равен φ_B, поэтому:

Р₁ = U₁I₁cosφ_B = U₂I₂e^2aLCOSφ_B. Тогда: η = P₂ / P₁ = e^-2aL.

1. Входное сопротивление нагруженной линии.

На самом верхнем рисунке изображена схема, состоящая из источника напряжения U₁^* , линии с распределенными параметрами длиной L и нагрузки Z₂. Входное сопротивление Z_вх = U₁^* / I₁^* . В формулах вместо у подставим L и заменим U₂^* на I₂^*Z₂ . Получим: , или

Если нагрузка согласована (т. е. Z₂ = Z_B), то из формулы следует, что входное сопротивление равно волновому: Z_BX = Z_В.

1. Определение напряжения и тока в линии без потерь.

Строго говоря, линий беа потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми R₀ и G₀ по сравнению с ωL₀ и ωС₀ соответственно) и распространить на нее теорию линий без потерь. Если R₀ = G₀ = 0, то: γ = a + jβ = jω√C₀L₀, т. е. коэффициент затухания а=0, коэффициент фазы β = ω√C₀L₀. При этом волновое сопротивление Z_в = √L₀ / C₀ является чисто активным.

Для определения напряжения U^* и тока I^* в любой точке линии обратимся к формулам: . В нашем случае: γy = jβy, тогда наши формулы можно преобразовать: .

1. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе.

Воспользуемся старыми формулами: При холостом ходе I₂ = 0, поэтому:

Исследуем характер изменения Z_ВХХ при изменении

расстояния у от конца линии до текущей точки на ней и

проиллюстрируем это на рис. а. В интервале значений βу

от 0 до π/2 tg βy изменяется от 0 до ∞, поэтому Z_ВХХ имеет

емкостный характер ( множитель -J ) и по модулю изменяется от

∞ до 0. Расположение кривой выше оси абсцисс соответствует

индуктивному характеру реактивного сопротивления линии х,

ниже оси — емкостному. В интервале значений βу

от π/2 до π tgβy отрицателен и изменяется от -∞ до 0; поэтому Z_ВХХ изменяется по модулю от 0 до ∞ и имеет индуктивный характер ( множитель +J ) и т. д. Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Практически это свойство используют при высокой частоте в различных радиотехнических установках.

1. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце.

При коротком замыкании на конце линии U₂ = 0 и из предыдущих формул следует, что входное сопротивление: Z_BXX = jZ_Btgβγ = jtgβγ*√( L₀ / C₀ ) . Будем изменять длину отрезка линии у и исследуем характер входного сопротивления.

В интервале значений βу от 0 до π/2 tgβy положителен и изме­няется от 0 до ∞, следовательно, в этом интервале входное сопро­тивление имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от Одо ∞ (рис. б ).

В интервале βγ от π/2 до π входное сопротивление имеет емко­стный характер и изменяется по модулю от ∞ до 0 (в точке βу = π/2 tgβy скачком изменяется от +∞ до -∞ ).

Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на конце линии, также можно создавать различные по величине индук­тивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце линии без потерь длиной в четверть длины волны теоретически имеет входное сопротивление, равное бесконечности. Это позво­ляет применять его при подвеске проводов в качестве изолятора.

1. Определение стоячих электромагнитных волн.

В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны.

Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волна­ми напряжения и тока. Математически такие волны описываются произведением двух периодических (в нашем случае — тригонометрических ) функций. Одна из них — функция координаты текущей точки на линии (в нашем случае βy), другая — функция времени ( ωt ). Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в пространстве и во времени. Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90°, сдвиг в пространстве — четверти длины волны.

Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодиче­ская функция координаты принимает максимальные значения, — пучностями.