ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ)

1. Источники ЭДС и источники тока.

Источник электрической энергии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением R_n . Если через него под действием ЭДС Е протекает ток I, то напряже­ние на его зажимах

U = Е - IR_n при увеличении I уменьшается.

1. Если у некоторого источника внутреннее сопротивление R_n = 0, то ВАХ ( вольтамперная характеристика ) его будет прямой линией. Такой харак­теристикой обладает идеализированный источник питания, называемый источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представ­ляет собой такой идеализированный источник питания, напряже­ние на зажимах которого постоянно (ие зависит от тока I ) и равно ЭДС Е, а внутреннее сопротивление равно нулю.

2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС Е

и внутреннее сопротивление R_n то точка с (рис.) отодвигает­ся по оси

абсцисс в бесконечность, а угол α стремится к 90⁰. Такой источник

питания называют источником тока. Следовательно, источник тока

представляет собой идеализиро­ванный источник питания, который

создает ток J = I, независящий от сопротивления нагрузки, к которой

он присоединен, а его ЭДС Е_ит и внутреннее сопротивление R_n равны

бесконечности. Отноше­ние двух бесконечно больших величин Е_ит /R_ит равно конечной величине — току J источника тока.

При расчете и анализе электрических целей реальный источник электрической энергии с конечным значением R_В, заменяют расчет­ным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:

а)источник ЭДС Е с последовательно включенным сопротивле­нием R_n , равным внутреннему сопротивлению реального источника;

б) источник тока с током J = E / R_n , и параллельно с ним включен­ным сопротивлением R_В. I = E / ( R + R_в ).

Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, совер­шенно безразлично. В дальнейшем используется в основном пер­вый эквивалент. Обратим внимание на следующее:

1) источник ЭДС и источник тока — идеализированные источни­ки, физически осуществить которые, строго говоря, невозможно;

2) схема рис. б эквивалента схеме рис. а в отношении

энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R,

и не эквива­лентна ей в отношении энергии,

выделяющейся во внутреннем .со­противлении источника

питания R_В;

3) идеальный источник ЭДС без последовательно соединенного с ним R_В, нельзя заменить идеальным источником тока.

1. Замена реального источника тока эквивалентным.

На примере схемы (а) на рисунке осуществим эквивалентный пере­ход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. В схеме рисунка (б) источник тока дает ток J = 50 А. Шунтирующее его сопротивление R_В = 2 Ом. Найти ЭДС эквивалентного источника ЭДС в другой схеме. Решение: ЭДС Е = JR_В =100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы таковы: Е = 100 В, R, = 2 Ом.

1. Закон Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС. Обобщенный закон Ома. Закон (правило) Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов (φ_а — φ_с ) на концах участка цепи и имеющейся на этом участке ЭДС Е. Так, по

уравнению для схемы (а) I = ( φ_a – φ_c + E) / R =

( U_ac +E ) / R. Для схемы (б) I = ( φ_a – φ_c - E) / R =

( U_ac +E ) / R. В общем случае:

I = ( φ_a – φ_c ± E) / R = ( U_ac ± E ) / R. Это

уравнение математически выражает закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

1. Законы Крирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко: 1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю; 2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утека­ющих от узла токов. Физически мерный закон Кирхгофа означает, что движение за­рядов в цепи происходит так, что ни и одном из узлов они не скапливаются. Второй закон Кирхгофа также можно сформулиро­вать двояко:

1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкну­том контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же кон­тура: ∑ IR = ∑Е. 2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряже­ния!) вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

∑ U = 0. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных це­пей при любом характере изменения во времени токов и напряже­ний.

1. Потенциальная диаграмма.

Под потенциальной диаграм­мой понимают график распределения потенциала вдоль какого-ли­бо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат — потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме.

Пример. Построить потенциальную диаграмму для контура

аЬсеа на рисунке: ( E₁ = 80V, E₂ = 64 V, R₁ = 6 Om, R₂ = 4Om,

R₃ = 3 Om, R₄ = 1 Om.) Решение. Подсчитаем суммарное

сопротивление контура: 4 + 3 + I — 8 Ом. Выберем масштабы

по оси абсцисс (ось х) и по оси ординат (ось у). Произвольно

примем потенциал одной из точек, например точки а,

φ_а = 0. Эту точку на диаграмме поместим в начало координат.

Потенциал точки b: φ_b = φ_a + I₂4 = φ_a – 60 = -60 В; ее координаты:

Х = -4. Y = -60. Потенциал точки с: φ_c = φ_b + E₂ ; ее координаты:

X = 4, Y = 4. Потенциал точки е: φ_e = φ_c + I₃R₄ = 4 -1=3;

ее координаты: X = 5; Y = 3. Тангенс угла а₁ наклона прямой

a_ab к оси абсцисс пропорционален току I₂, а тангенс угла а₂ наклона

прямой cе — току I₃, tg α = I*m_r / m_φ, где m_r и m_φ –масштабы по осям Х и У.

Обратим внимание на различие в знаках, с которыми входит падение напряже­ния IR при определении потенциала какой-либо точки схемы через потенциал исход­ной точки и при составлении уравнений но второму закону Кирхгофа. При вычисле­нии потенциала последующей точки через потенциал предыдущей IR берут со знаком минус, если перемещение по сопротивлению R совпадает по направлению с током, тогда как при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа IR неко­торого участка цепи берут в сумме ∑1R со знаком плюс, если обход этого участка совпадает с направлением тока I на нем.

1. Энергетический баланс в цепях.

При про­текании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, вы­деляющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником пита­ния. Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную EI, и произве­дение EI входит в уравнение энергетического баланса с положи­тельным знаком. Если же направление тока I встречно направлению ЭДС E, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение EI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании только от ис­точников ЭДС имеет вид

∑I²R = ∑EI. Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энерге­тического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток I от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источ­ником тока мощность равна U_abJ. Напряжение U_ab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов. Общий вид уравнения энергетического баланса: ∑I²R = ∑EI + ∑ U_abJ.

1. Метод пропорциональных величин.

Согласно методу про­порциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС вет­ви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения U_mn схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как найденное значение напряжения U_mn в общем случае не равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи, умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к найденному значению напряжения в начале схемы. Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обо­собленно от других методов, применим для расчета цепей, состоя­щих только из последовательно и параллельно соединенных сопро­тивлений и при наличии в схеме одного источника. Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами.

Пример. Найти токи и ветвях схемы рисунке методом

пропорциональных величин. Сопротивления схемы даны

в омах. Решение. Задаемся током в ветви с сопротивлением

4 Ом, равным 1 А, и подсчитываем токи в остальных ветвях

(числовые значения токов обведены на ри­сунке кружками).

Напряжение между точками мил равно I*4 + 3*3 + 4*3 = 25 В.

Так как ЭДС Е = 100 В, все токи следует умножить на коэффициент К = 100/25 = 4.

1. Метод контурных токов.

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контур­ных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирх­гофа.

Общий вид уравнения метода контурных токов:

Пример. Найти токи в схеме методом контурных токов.

Числовые значения сопротивлений номах и ЭДС в вольтах

указаны на рисунке. Решение. Выберем направления всех

контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃, по часовой стрелке. Определяем: R₁₁ = 5+5+4=14 Om, R₂₂ = 5+10+2=17 Om, R₃₃ = 2+2+1=5 Om, R₁₂ = R₂₁ = -5 Om, R₁₃ = R₃₁ = 0, R₂₃ = R₃₂ = -2 Om, E₁₁ = -10 V, E₃₃ = -8 V. Запишем систему уравнений: 14I₁₁ – 5I₂₂ = -10,