ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ), страница 5

Мгновенная мощность проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо i, либо u. За первую четверть периода, когда u и i положительны, р также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью аб­сцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индук­тивной катушке. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля от­дается обратно источнику питания, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова заби­рается энергия, за четвертую отдается и т. д. Следовательно, энер­гия периодически то забирается индуктивной катушкой от источни­ка, то отдается ему обратно.

Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и на R. Угол между напряжением U на катушке и током I равен 90⁰ — σ, причем

tgσ = R / ωL = l / Q_L, где Q_L — добротность реаль­ной индуктивной катушки. Чем больше Q_L, тем меньше σ.

1. Емкостной элемент ( конденсатор ) в цепи синусоидального тока.

Емкост­ный элемент — это идеализированный схемный элемент, позволя­ющий учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в электрическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризует зависимость заряда q от напряжения и (кулон-вольтная характеристика) или емкость C = q / u. Положительные направления отсчета u и i совпадают. Если приложенное к конденсатору напряжение u не изменяется во времени, то заряд q = Сu на одной его обкладке и заряд — q на другой (С — емкость конденсатора) неизменны, и ток через конденсатор не проходит (i = dq / dt =0). Если же напряжение на конденсаторе изменяется во времени по синусоидальному закону: u = U_mSINωt, то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q конденса­тора:

q = Сu = CU_mSINωt , т. е. конденсатор будет периодически пе­резаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопро­вождается протеканием через него зарядного тока:

i = dq / dt = ωCU_mCOSωt = ωCU_mSIN( ωt + 90⁰ ). Ток через

конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90°,

поэтому на векторной диаграмме (рис. б) вектор I_m опережает вектор

на­пряжения U_m на 90°. Амплитуда тока I_m равна амплитуде напряже

­ния U_m, деленной на емкостное сопротивление: X_c = 1 / ωC ,

I_m = U_m / X_c . Емкостное сопротивление обратно пропорционально

частоте. Единица емкостного сопротивления — Ом. Графики

мгновенных значений и, i, p изображены на рис. в. Мгновенная

мощность рассчитывается по формуле: p = U_mI_mSIN2ωt / 2. За первую четверть периода конденсатор потребляет от источ­ника питания энергию, которая идет на создание электрического поля в нем. Во вторую четверть периода напряжение на конденса­торе уменьшается от максимума до нуля, и запасенная в электри­ческом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть периода энергия снова запаса­ется, за четвертую отдается и т. д. i = C*du / dt, u = ∫idt / C.

1. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока.

Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусоидального тока.

Сущность символического метода расчета состоит в том, что при (синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном но законам Кирхго­фа для установившегося процесса, мгновенное значение тока i за­меняют комплексной амплитудой тока I_m; мгновенное значение на­пряжения на резисторе сопротивлением R, равное Ri,— комплексом RI_m, no фазе совпадающим с током I_m; мгновенное значе­ние напряжения на индуктивной катушке u_L = L*di / dt –комплексом I_m^*jωL, опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе u_c = ∫idt / C — комплексом I_m( -j / ωC ) отстающим от то­ка на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплексом Е_m.

Пример. Найти Im^* для схемы на рисунке. Решение. Схему на

рисунке можно описать в виде: u_R + u_L + u_c = e или

iR + L*di / dt + ∫idt / C = e. в комплексной форме это выглядит:

Im^*R + I_m^*jωL + I_m^*( -j / ωC ) = E_m^*. Если вынести Im^* за скобку, то:

Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^*. Тогда .

1. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусоидального тока.

Множитель R+ jωL – (-j / ωC ) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается через Z. Его называют комплексным сопротивлением:

Z = ze^jφ = R+ jωL – 1 / ωC. Комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комплексными величинами, которые отображают сину­соидальные функции времени.

Уравнение Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^* можно записать так: I_mZ = E_m^* . Разделим обе его части на √2 и перейдём от комплексных амплитуд I_m^* и E_m^* к комплексам действующих значений I^* и Е^*: I^* = E^* / Z. Уравнение Im^**( R + jωL + ( -j / ωC )) = E_m^* представляет собой закон Ома для цепи сину­соидального тока.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jХ: Z = R + jX, где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.

1. Комплексная проводимость.

Под комплексной проводи­мостью Y понимают величину, обратную комплексному сопротив­лению Z: Y = 1 / Z = g - jb = ye^-jφ. Единица комплексной проводимости — См или

(Ом^-1 ). Действи­тельную часть ее обозначают через g, мнимую — через b. Так как

, то

Если X положительно, то и b положительно. При X отрицатель­ном b также отрицательно.

При использовании комплексной проводимости закон Ома записывают в виде: I^* = U^*Y, или I^* = U^*g – jU^*b = I_a^* + I_r^*, где I_a^* — активная составляющая тока; I_r^*— реактивная составля­ющая тока; U — напряжение на участке цепи, сопротивление кото­рого равно Z.

1. Активная, реактивная и полная мощность.

Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р за период Т: . Если ток i = I_mSINωt, напряжение на участке цепи

u = U_mSIN(ωt + φ ), то . Активная мощность физически представляет собой энергию, ко­торая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении R. Тогда: P = U*COSI = I²R. Единица активной мощности — Вт.

Под реактивной мощностью Q понимают произведение напря­жения U на участке цепи на ток I по этому участку и на синус угла φ между напряжением U и током I:

Q = UI*SINφ. Единица реактивной мощности — вольт-ампер реактивный (ВАр). Если SINφ >0, то Q >0, если SINφ <0, то Q <0. Реактивная мощность Q пропорциональна среднему за четверть периода значению энергии, которая отдается источником питания на создание переменной составляющей элект­рического и магнитного поля индуктивной катушки и конденсатора. За один период переменного тока энергия W_МЭСР дважды отдается генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реак­тивная мощность является энергией, которой обмениваются гене­ратор и приемник.

Полная мощность рассчитывается по формуле: S = UI. Единица полной мощности — В*А. Мощности P, Q и S связаны следующей зависимостью: P² + Q² = S². На щитке любого источника энергии переменно­го тока указывается значение S, характеризующее ту мощность, которую этот источник может отдавать потребителю, если последний работает при COSφ = 1 (т. е. если потребитель представляет собой чисто активное сопротивле­ние).

1. Выражение мощности в комплексной форме записи.

Мощность в комплексной форме записи имеет формулу:

Š = U^*I^# = Ue^jφ_u *Ie^-jφ_i = UICOSφ + jUISINφ = P + jQ. Значок ~ (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряжен­ный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопря­женного комплекса тока I^#. Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произ­ведения U^*I^#: P = Re U^*I^#, Q = U^*I^#.

Пример. Определить активную, реактивную и полную мощности по данным: e = 141SINωt В, R₁ = 3 Ом, R₂ = 2 Ом, L = 0,00955 Гн, ω = 314 рад /с. Решение. Напряжение на входе всей схемы равно ЭДС U = E = 100 В. Ток в цепи I^* = 17,2е^-j31 А. Сопряженный комплекс тока I^# = 17,2е^j31 А. Комплекс полной мощности S = U^*I^# = 100*17,2e^j31 =

= 1720*COS31⁰ +j*1720*SIN31⁰ = 1475 + j*886; P = 1475; Q = 886. Следовательно, активная мощность P = 1470 Вт, реактивная Q = 886 ВАр и S = 1720 B*A.

1. Измерение мощности ваттметром.

Измерение мощности производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы, в котором имеются две катушки — неподвижная и по­движная.

Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет практически чисто активное сопротивление и называется параллельной обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи, подобно вольтметру. Жестко скрепленная со стрелкой (указате­лем), она может вращаться в магнитном поле, создаваемом непод­вижной катушкой.

Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого при­вода, имеет очень малое активное сопротивление и называется по­следовательной обмоткой. Ее включают в цепь последовательно, подобно амперметру.

Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и его показа­ния пропорциональны действительной части произведения комп­лексного напряжения U_аb на параллельной обмотке ваттметра на сопряженный комплекс тока I^#, втекающего в конец последовательной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной точкой: ReU_ab^*I^# = U_abI*COS(U_abI).

Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности

потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка а), и ее кон­цом, не

имеющим точки (точка b). Предполагается, что ток I втекает в конец