ТЕОРИЯ К ЭКЗАМЕНУ-1 (Полная теория для подготовки к экзамену по ТОЭ), страница 10

и , тогда в итоге: K_u = K_I = e^-ng, следовательно: Z_C1 = Z_C2 = Z_C3 и g₁ = g₂ = g₃.

1. Цепи с распределенными параметрами.

Электрическими линиями с распределенными параметрами называют такие линии, в которых для одного и того же момента вре­мени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функ­циями времени и пространственной координаты.

Под магнитными линиями с распределенными параметрами по­нимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней. Эффект непрерывного изменения тока (потока) и электрического (магнитного) напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными элементами.

Ha схеме рис. а изображен участок линии с распределенными

параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины

линии. Сопротивления Z₁, Z₂, Z₃... называют продольными, в них

включены сопротивления и прямого и обратного проводов;

сопротивленния Z₄, Z₅ , Z₆,... называют поперечными. |

В результате утечки тока через сопротивление Z₄ тoк i₂ ≠ i₁.

Аналогично, ток i₃ ≠ i₄ и т. д. Напряжение между точками а и b не равна напряжению между точками с и d и т. д.

В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершейш стваизоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления са­мих магнитных стержней, образующих магнитную линию а попе­речные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопро­тивления участков линии одинаковой длины.

Линию с распределенными параметрами называют неоднород­ной, если продольные сопротивления в ней различны или попереч­ные сопротивления неодинаковы. Кроме того, линии с распределенными параметрами можно под­разделить на две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных линиях с распределенными параметрами про­дольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них токов.

1. Составление дифференциальных уравнения для однородной линии с распределенными параметрами.

Пусть R_o — продоль­ное активное сопротивление

единицы длины линии; L_o — индуктив­ность единицы

длины линии; С₀ — емкость единицы длины линии;

G₀ — поперечная проводимостьединицы длины линии.

Поперечная проводимость G₀ не является обратной

величиной продольного сопротивления R₀.

Разобьем линию на участки длиной dх (рис. 11.2),

где х — рас­стояние, отсчитываемое от начала линии.

На длине dх активное сопротивленис равно R₀dx, индуктивность — L₀dx, проводимость утечки — G₀dx и емкость — С_оdх. Обозначим ток в начале рассмат­риваемого участка линии через i, а напряжение между проводами линин — через u. И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в даль­нейшем в уравнениях использованы частные производные от u и i по времени t и расстоянию х.

Если для некоторого момента времени t ток в начале рассмат­риваемого участка равен i,то в результате утечки через поперечный элемент ток в конце участка для того же момента времени равен: , где di / dx — скорость изменения тока в направлении х. Ско­рость, умноженная на расстояние dх, является приращением тока на пути dх.

Аналогично, если напряжение в начале участка u, то в конце участка для того же момента времени напряжение равно . Составим уравнение но второму закону Кирхгофа для замкну­того контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его по часовой стрелке: или , по первому закону Кирхгофа:

. Ток di равен сумме токов, проводящих через проводимость G₀dx и емкость

C₀dx: . Если пренебреч мелкими величинами, то:

, после преобразований: . Уравнения в рамочках являются основными дифференциальными уравнениями для линии с распределенными параметрами.

1. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при установившемся синусоидальном процессе.

Пусть напряжение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Тогда: i = I_mSIN(ωt + φ_i ) = Ie^jωt, где I^* = I_me^jφi / √2 и u = U_mSIN(ωt + φ_i ) = Ue^jωt, где

U^* = U_me^jφi / √2. Комплексы U^* и I^* являются функциями расстояния х, но не являются функциями времени. Множитель e^jωt есть функция времени t, не зависящая от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произ­ведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой — функцией только t, дает возможность перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в простых. Так как и то: , где

Z₀ = R₀ + jωL₀, Y₀ = G₀ + jωC₀, тогда эту систему можно переписать в другой форме: . Если решать систему уравнений в рамочке относительно U^*, то получим: или, пользуясь прошлым уравнениям: . Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Его решение:

U^* = A₁^*e^γx + A₂e^-γx. Комплексные числа A₁ и A₂ есть постоянные интегрирования.

Комплексное число: γ = √Z₀Y₀ , называют постоянной распространения; его можно представить в виде: γ = a + jβ , где а — коэффициент затухания, характеризующий затухание па­дающей волны на единицу длины линий; β — коэффициент фазы, характеризующий изменение фазы падающей волны на единицу длины линии.

Ток I^* можно найти из уравнения: , где

Z₀ / γ = Z₀ / √Z₀Y₀ = √(Z₀/Y₀). Это соотношение имеет размерность сопротивления и обозначается Z_В и называется волновым сопротивлением, тогда: , где z_в –модуль, φ_В –аргумент волнового сопротивления Z_в, тогда ток I^* можно представить в виде: .

1. Формулы для определения комплексов напряжений в любой точке линии через комплексы напряжений и тока в начале линии.

Пусть Х –расстояние от начала координат до точки. Пусть в начале линии Х = 0, напряжение и ток: U₁^* и I₁^*. Составим уравнения для А₁^* и А₂^* через U₁^* и I₁^*.

U₁^* = A₂^* + A₁^*; I₁^*Z_В = A₂^* - A₁^*. A₁^* = 0,5(U₁^* - I₁^*Z_В ), A₂^* = 0,5(U₁^* + I₁^*Z_В ). Тогда:

.

1. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжений и тока в конце линии.

Обозначим расстояние от текущей точки на линии

до конца линии у, а длину всей линии L, тогда

y = L – X. Пусть известны напряжение и ток в конце

линии U2 и I₂. Подста­вим в U^* = A₁^*e^γx + A₂e^-γx и

значения Х = L, U^* = U₂^*, I^* = I₂^* и составим два уравнения для определения постоянных A₁^* и A₂^*. U₂^* = A₂^*e^-γt + A₁^*e^γt и I₂^*Z_В = A₂^*e^-γt - A₁^*e^γt . Из этих уравнений следует: A₁^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^-γt = A₁e^jψ0 и A₂^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^γt = A₂e^jψп. Тогда:

. Зная с помощью этих формул можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии.

1. Падающие и отраженные волны в линии.

Так как γ = a + jβ , то можно произвести замену в формулах

A₁^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^-γt = A₁e^jψ0 и A₂^* = 0,5(U₂^* - I₂^*Z_в )e^γt = A₂e^jψп. Тогда получим:

U^* = A₁e^axe^{j(ψ0 + βx )} + A₂e^-axe^{j(ψп - βx )}. То же самое произвести и с формулой: , тогда: I^* = -( A₁ / z_B )*e^axe^{j(ψ0 + βx – ψB )} + ( A₂ / z_B )*e^axe^{j(ψп - βx – ψB )}.

Если произвести некоторое преобразование, то получится:

u = A₁√2*e^axSIN( ωt + ψ₀ + βx ) + A₂√2*e^-axSIN( ωt + ψ₀ - βx ) , а также

i = (A₁√2 / z_в )*e^axSIN( ωt + φ₀ + βx – ψ_B ) + (A₂√2 / z_B )*e^-axSIN( ωt + ψ_п - βx – ψ_В)

Падающей электромагнитной волной называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направле­нии увеличения координаты х. Электромагнитное состояние опре­деляется совокупностью электрического и магнитного полей, обус­ловливающих друг друга. Падающая волна, распространясь от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях.

Отраженной электромагнитной волной называют процесс пере­мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х.

Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения (второе слагаемое формулы 1 в рамочке ) и падающей волной тока ( второе слагаемое формулы 2 в рамочке ). Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряжения ( первое слагаемое формулы 1 в рамочке ) и отраженной волной тока ( первое слагаемое формулы 2 в рамочке ).