конспект лекций (Экономика аэрокосмической (авиакосмической) промышленности), страница 7

Матрица Р – ступенчатая, и первый шаг алгоритма Гаусса закончился. Вернемся теперь к той системе уравнений, которая соответствует матрице Р:

(5)

Мы отбросили последнее уравнение, коэффициенты которого равны нулю. Заметим, что угловые элементы матрицы Р являются коэффициентами при х₁, х₂, х₃ в системе (5). Коэффициенты при х₄ и х₅ не являются угловыми. Переходим ко второму этапу метода Гаусса – отысканию решения нашей системы. Заметим, что число переменных нашей системы n=5, независимых уравнений осталось только m=3. Назовем переменные х₄ и х₅ , не связанные с угловыми коэффициентами, свободными, а переменные х₁, х_2, х₃ – зависимыми. Зависимыми или несвободными , всегда объявляются переменные, коэффициенты при которых оказались угловыми. Заметим, что при другом способе приведения матрицы к ступенчатому виду свободными переменными могли оказаться переменные с другими номерами.

Однако, число свободных переменных всегда равно (n-r), где n – число переменных в системе уравнений (в нашем случае n=5), а r – ранг матрицы, равный числу угловых элементов ( в нашем случае r=3).

Второй этап метода Гаусса называют обратным ходом. Мы будем находить вектор-решение, причем сначала будем рассматривать последнее уравнение системы, а затем будем «подниматься наверх» по системе к первому уравнению (отсюда и название «обратный ход»).

Вернемся к системе (5) Перенесем слагаемые, содержащие свободные переменные х₄, х₅ правую часть системы:

(6)

Из последнего уравнения выразим несвободную переменную х₃ через свободные х₄, х₅. При этом важно, что коэффициент при х₃ – это угловой коэффициент, а значит, отличен от нуля: х₃ = -½ х₄+х₅. (7)

Полученное выражение для х₃ подставим в предпоследнее уравнение системы (6) и выразим из него несвободную переменную х₂ через свободные х₄, х₅:

Теперь подставляем в первое уравнение системы (6) выражения (7) и (8) для переменных х₃ и х₂, получим: х₁ = -2/9х₄ + 3х₅.

Окончательно формулы, выражающие зависимые (несвободные) переменные через свободны, имеют вид:

(9)

Эту запись можно рассматривать как запись общего решения системы (3). Давая свободным переменным х₄, х₅ произвольные значения, находим по формулам (9) значения зависимых переменных и получаем решение системы. Ясно, что в записи (9) содержится бесчисленное множество решений исходной системы, т.к. переменным х₄ и х₅ можно давать любые значения.

Например: , пусть х₄ = 0, х₅ = 1, тогда вектор х = (3, -3, 0 , 1) будет решением системы. Или если х₄ = 1, х₅ = 0, тогда векторy = (-9/2, 3, -1/2, 1, 0) – другое решение системы; при х₄ = х₅ = 1 получим: z = (-3/2, 0, 1/2, 1, 1) – тоже решение.

Векторы x,y,z называют частными решениями системы. Они получаются из общих формул (9), если подставлять в них конкретные значения свободных переменных. Особую роль играют системы уравнений, которые имеют единственное решение. В случае такой системы нет свободных переменных, т.е. ступенчатая форма матрицы имеет верхнетреугольный вид.

Пример:

Преобразованная система имеет вид: .

Из последнего уравнения х₃ = 0, подставляя х₃ во второе уравнение, получим х₂ = 0, а затем и х₁ = 0. Мы нашли единственное решение системы х (0,0,0) =0.

Таким образом, если число угловых элементов оказалось в ступенчатой форме равным числу переменных, n=3, то система имеет единственное решение, таким решением однородной системы является 0 = (0,0,0) – нуль-вектор. Нулевое решение однородной системы называют тривиальным.

МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА ЛЕОНТЬЕВА.

Заканчивая изложение метода Гаусса для решения систем линейных урав­нений, подчеркнем, что именно этот метод и его различные модификации являются самыми распространенными и «экономными» методами решения систем линейных уравнений.

В математическом обеспечении каждого вычислительного центра обяза­тельно есть программы для решения систем. Эти стандартные программы реализуют метод Гаусса, именно метод Гаусса требует минимальных затрат машинного времени. Мы изложили метод Гаусса применительно к ручному счету. Чтобы уменьшить ошибки округления при решении систем линейных уравнений высокого порядка на компьютере, используют метод Гаусса с выбором «ведущего» элемента. Как правило, таким элементом является максимальный по модулю коэффициент в матрице системы.

Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов яв­ляется задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта на­зывается моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно использу­ется для управления народным хозяйством. Пусть в национальной экономике взаимодействует n отраслей. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, причем для его производства используется продукция других отраслей. Обозначим объем продукции i-й отрасли, необходимый для производства единицы продукции j-й отрасли a_ij (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n). Составим из числа a_ij квадратную матрицу. Ее называют матрицей коэффициентов затрат:

Среди элементов матрицы могут быть нулевые. Например, если a₃₆ = 0, то это значит, что для производства продукции 3-й отрасли продукция 6-й отрасли не используется.

Рассмотрим некоторый промежуток времени, например, год или месяц.

Пусть вектор-план валового выпуска продукции за этот промежуток времени , где х₁ – единиц продукции выпускает 1-я отрасль, 2-я отрасль за это время выпустит х₂ единиц продукции, и, вообще, j-я отрасль выпустит x_j своего продукта (j = 1, 2, …, n). Выпускаемая продукция потребляется другими отраслями, т.е. часть выпуска каждой отрасли затрачивается для производства. Подсчитаем, например, сколько единиц продукта i-й отрасли затрачивается на выпуск плана х: a_i1x₁ столько единиц продукции i-й отрасли пойдет на выпуск х₁ единиц 1-й отрасли, а : a_i2x₂ столько единиц продукции i-й отрасли пойдет на выпуск х₂ единиц 2-й отрасли, … …, : a_inx_n - столько заберет из выпуска х_i n-я отрасль.

Полные затраты i-й отрасли составят величину:

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n , (i = 1, 2, …, n).

Из выпуска х_j на потребление и накопление остается разность:

х_j – (a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n), которая называется конечным спросом i-го продукта.(конечный продукт)

Подсчитаем затраты на воспроизводство для всех отраслей i = 1, 2, …, n и составим из них вектор затрат: .

Используя правила умножения матрицы на вектор, видим, что вектор затрат является произведением матрицы затрат А на вектор планового выпусках.

Обозначим вектор конечного спроса , где, например,

y₃ = х₃ – a₃₁x₁ - a₃₂x₂ - … + a_3nx_n, - величина, определяющая количество продукта 3-й отрасли, которая идет на удовлетворение спроса.

Вектор спросаy на практике бывает известен. Задача межотраслевого баланса ставится так: требуется составить такой план выпуска продукции х, чтобы удовлетворить спросy. По смыслу задачи все х_i  0, i = 1, 2, …, n. математическая модель этой задачи выглядит следующим образом: найти вектор-решениех системы уравнений: , (**), где вектор-столбец свободных членов задан и матрица системы - матрица затрат – тоже задана.

Модель Леонтьева называется продуктивной, если решение системы (**) существует для любого неотрицательно вектораy.

Составление и исследование системы (**) является сложной и трудоемкой задачей. Во-первых, определение чисел требует практического умения и экспериментального исследования; во-вторых, потому, для хорошего описания сложной экономической системы приходится иметь дело с матрицами очень большой размерности (американская экономика в настоящее время использует матрицу А размером 450*450), В.В. Леонтьев (родился в 1906 году в Петербурге) жил с 1925 года за границей (в США), получил в 1973 году Нобелевскую премию за вклад в решение экономических проблем.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И СПОСОБЫ ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Дадим определение квадратной матрицы: пусть А – квадратная матрица порядка n. Матрица В называется обратной матрицей для матрицы А, если выполняется условие: АВ=ВА=Е.

Обратную матрицу для матрицы А обозначаютА^-1 (аналогично числом, обратным к числу а  0, называют число а^-1 такое, что а*а^-1 = 1). Возникают два вопроса: любая ли квадратная матрица имеет обратную и как найти матрицу, если обратная матрица А^-1 существует.

На первый вопрос отвечает следующее утверждение:

Матрица А имеет обратную матрицу А^-1 тогда и только тогда, когда А – невырожденная, т.е. когда определитель det A  0.

Действительно, т.к. АА^-1 = Е, det А*det A^-1 = det E = 1, и если существует матрица А^-1, то det A  0 и det A^-1  0. С другой стороны, если det A  0, можно определить правила для построения матрицы А^-1.

Покажем, в чем состоит правило построения обратной матрицы, на примере матрицы второго порядка:

Пусть матрица .

Вычислим для каждого элемента матрицы его алгебраическое дополнение : .

Составим матрицу из алгебраических дополнений: .