конспект лекций (Экономика аэрокосмической (авиакосмической) промышленности), страница 8

Теперь транспонируем полученную матрицу, поменяв ролями ее строки и столбцы: .

Поделим теперь каждый элемент последние матрицы на определитель матрицы А, т.е. на det A = 4: .

Эта последняя матрица и есть обратная для А. Ее еще можно записать, вынеся за знак матрицы ¼ : .

Убедимся, что построенная матрица – искомая, для чего умножим А^-1 на исходную матрицу А: .

Конечно, как правило, такой способ не применяют для вычисления обратной матрицы более высокого порядка, чем 2 или 3. Способ этот слишком громоздкий, требует много операций при вычислении определителей, даже на современных компьютерах потребуется много машинного времени и накопятся большие ошибки в вычислениях.

Так как АА^-1=Е, то вычислять матрицу А^-1 можно последовательно, находя каждый столбец. Если обозначим первый столбец матрицы А^-1 вектором , а первый столбец единичной матрицы Е обозначить , то первый столбец матрицы А^-1 можно получить, решая систему уравнений .

Затем ищется второй столбец матрицы А^-1, снова решается система уравнений , но вектор х – неизвестный второй столбец обратной матрицы, а в правой части стоит второй столбец матрицы Е, который имеет вид: .

Так, последовательно, на компьютере по стандартным программам, реализующим метод гаусса, решаются n линейных систем уравнений с одной и той же матрицей А, но разными правыми частями b.

Мы дадим способ, как вычислить обратную матрицу в ручную. Будем применять метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому виду.

Несколько расширим набор элементарных преобразований, разрешим еще одну операцию над строками, а именно, разрешим умножать (делить) строку матрицы на действительное число. Напомним, к элементарным преобразованиям над строками относятся следующие два преобразования: прибавление одной строки матрицы, умноженной на число, к другой строке и перестановка двух строк Идея метода состоит в следующем:

Припишем к ней за вертикальной чертой единичную матрицу Е того же порядка (А|Е).

Будем приводить матрицу А сначала к ступенчатому виду, причем преобразования будем совершать с «длинной» строкой, т.е. по тем же правилам будем преобразовывать соответствующие строки матрицы Е. Проделав конечное число шагов по методу Гаусса, приведем А к ступенчатому виду Р. Матрица Р в нашем случае будет треугольной с угловыми элементами, отличными от нуля, т.к. исходная матрица А – невырожденная.

Получим промежуточный результат (Р|В), где В – матрица, которая получается из Е после преобразований. Продолжая преобразования над Р, добьемся того, матрица Р «перешла» в Е, тогда те же преобразования, которые переведут Р в единичную матрицу Е, переведут матрицу В в матрицу, обратную к А, т.е. в матрицу А^-1: (A|E)…(P|B)…(E|A^-1).

Пример:

.

Итак, , проверкой убедимся, что АА^-1=Е.

Рассмотрим неоднородную систему уравнений с числом переменных, равных числу уравнений, причем с невырожденной матрицей. Такая система имеет единственное решение. Запишем систему в векторно-матричной форме: Ax =b, det A  0.

Тогда ля матрицы А существует обратная А^-1. предположим, что мы нашли эту обратную матрицу А^-1. умножим нашу систему слева на А^-1:

.

Последнее векторное равенство показывает, что неизвестный вектор х можно вычислить, умножив обратную матрицу А^-1 слева на векторы правых частей.

Проверим это на примере системы уравнений: .

Будем находить решение и строить обратную матрицу методом гаусса, причем обе задачи будем решать одновременно.

Запишем расширенную матрицу А (с приписанным столбцом правых частей) и отделив ее вертикальной чертой, рядом еще припишем единичную матрицу: .

Применяем элементарные преобразования 1-го и 2-го типа, заботясь о том, чтобы привести систему уравнений у ступенчатому виду и найти ее решение. На первую часть «широкой» матрицы, где стоит матрица Е, не обращаем внимания, проделываем с ней те же преобразования, что и с левой частью:

.

Матрица системы приведена к ступенчатому виду; r(A) = r(A) = 3. из ступенчатой системы находим единственное решение: из последнего уравнения х₃ = -1, затем х₂ = х₃ = 1 и х₁ = х₂ =0 и вектор-решение -х = (0, 1, -1). Можно попутно вычислить определитель исходной матрицы, равный произведению диагональных элементов, взятому с противоположным знаком (один раз меняли строки местами), det A = 1. Продолжим наши преобразования, исключим из них столбец свободных членов. Разрешаем теперь умножение матричной строки на число, отличное от нуля. Теперь нашей задачей будет «превратить» матрицу, стоящую слева, в единичную матрицу Е.

Эта же серия элементарных преобразований превращает правую матрицу в А^-1:

Для проверки умножим А^-1 на b справа, полученный вектор-столбец совпадает с вектором-решением системы:

.

12