Баскаков С.И. Основы электродинамики (1973), страница 34

Эта задача была решена в начале нашего века известным физиком А. Зоммерфельдом, который показал, что всякое решение уравнения Гельмгольца, обладающее свойством волны, уходящей на бесконечность, должно при г — +ос удовлетворять предельному условию вида !нп г ! — + !уф) = О. г' д4 ( дг (15.5) Формула (15.5) в электродинамике носит название условия излучения или условия Зоммерфельда. В качестве упражнения читателю предлагается показать, что уходящая сферическая волна (15.3) удовлетворяет, а приходящая волна вида (15.4) не удовлетворяет условию излучения. Изложенные положения позволяют сделать важный вывод относительно той роли, которую играют комплексные решения уравнения Гельмгольца при рассмотрении электромагнитных волн в свободном пространстве.

Действительно, наряду с комплексными можно образовать и вещественные решения уравнения (15.2) путем суперпозиции функций (15.3) и (15.4). Форма их записи такова „- соз тг —, мп тг (15.6) 2 Несмотря иа то, что как ф„так и ф, тождественно удовлетворяют уравнению Гельмгольца, ни одна из этих функций не удовлетворяет условию излучения на бесконечности.

По физическому смыслу решения (15.6) отображают стоячие сферические волны, получающиеся при наложении двух бегущих волн с противоположными направлениями распространения, как в уже рассмотренных замкнутых объемных резонаторах. Понятно, что для возникновения таких стоячих волн обязательно существование на бесконечности некоторого подобия идеально проводящей сферической оболочки, что физически, безусловно, нереально.

Следует заметить, что даже предположение о наличии бесконечно удаленного сферического отражателя не ь(ожет обеспечить во всем пространстве стоячих волн, аз возбужденных конечной системой излучателей. Дело в том, что любая физическая среда, начиная от твердых тел и кончая космическим пространством, принципиально отличается от идеального вакуума наличием хоть очень малого, но все же конечного затухания для распространяющихся электромагнитных волн, обусловленного взаимодействием поля с веществом. Поэтому вся энергия, излученная источником, будет рассеяна в пространстве. Изложенные качественные соображения лежат в основе важной физической концепции электродинамики, называемой принципом предельного поглощен и я.

15.2. Принцип Гюйгенса — Френеля В практической электродинамике, в частности, при анализе и проектировании антенн СВЧ часто встает задача определения электромагнитного поля, возбуждаемого в свободном пространстве не элементарными излучателями, а специально созданной антенной системой, Рис. 1о.1, Рупорная антенна. обладающей конечной иот7нчниеи площадью нзлучаюп1ей Рнс. 1В.2. Фиктивные и истинные 'В качестве источники електроынтнитнык примера на рис. 15.! волн.

изображен эскиз часто используемой в технике СВЧ рупорной антенны. Эта антенна представляет собой прямоугольный волновод, сечение которого плавно увеличивается вдоль оси распространения волны. Электромагнитная энергия излучается из широкого отверстия рупора, называемого апертурой, или р а скрыв ом антенны.- Расчет подобных систем сводится к нахождению характеристик поля во всем пространстве при условии, что поле в раскрыве тем илн иным образом задано. Как будет видно из дальнейшего, такая постансвка задачи в большинстве случаев приводит лишь к приближенному решению, кое торое, однако, оказывается весьма полезнйм в ин!кенериых приложениях. Основой для решения задач о поле, возбуждаемом апертурной антенной, служит хорошо известный в физи'- ке принцип Гюйгенс а.

В соответствии с этим принципом каждая точка поверхности волнового фронта— это фиктивный источник сферической волны. В области, лежащей впереди волнового фронта по направлению распространения волны, полное поле есть результат интерференции полей сферических волн, излученных фиктивными источниками, обычно называемыми в т о р и чными в отличие от первичных, или истинных источников, которыми являются токи в проводниках или движущиеся заряды (рис. 15.2). Принцип Гюйгенса в Х1Х веке получил количественную формулировку в работах Френеля и Кирхгофа.

Упомянутые авторы проводили свой анализ применительно к скалярным волновым полям, описываемым единственной функцией ф, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца вида (15.1). Известно, что электромагнитное волновое поле подчиняется векторным уравнениям Гельмгольца у'Е+Т'Е=О, ~ Н+Т'Н=о. (!5.7) Поэтому приводимые далее выводы, строго говоря, относятся не ко всему векторному полю Е или Н, а лишь к одной из декартовых составляющих этих полей. Темпе менее, во многих интересных для практики случаях уже из геометрической постановки задачи становится очевидной возможность пренебрежения рядом составляющих полей из-за их малости. При этом векторная задача может трактоваться как скалярная, что значительно уменьшает вычислительные трудности.

Принцип Гюйгенса находит математическое выражение в формуле, известной под названием формулы Кирхгофа. Рассмотрим произвольный конечный или бесконечный объем, ограниченный поверхностью Я. В каждой точке поверхности будем считать известным единичный вектор нормали 1„, направленный внутрь объема (рис. 15.3). Предположим, что искомая скалярная функция ф удовлетворяет всюду внутри объема однородному уравнению Гельмгольца (15.!), причем на поверхности Я известны- 225 ми являются как значения функции ф, так и ее нормальной производной дф)дп. Результат, полученный Кирхгофом, показывает, что в произвольной точке Р внутри объема значение поля ф равно следующей величине: 4 У ~ д т д ( У]сЮ, (15.8) где г — расстояния между текущими точками на поверхности о и выбранной точкой Р.

Доказательство формулы Кирхгофа основывается на известной из курса математики теореме Грина, которая утверждает, что для двух функций ф и ф пространственных координат, достаточно гладких в обычном смысле, справедливо следующее тождество: (27'Ф вЂ” фч'т) др = ~з ( р — -ф —, дз (15.9) дт дед дл дл ~ Предположим, что как искомая функция ф так и вспомогательная функция гр в области У удовлетворяют одному и тому же однородному уравнению Гельмгольца: тгц)+ т'Ф=о, ~ (15.10) т'т+ )лт = 0 Входящая в (15.10) постоянная распространения т однозначно определяется частотой возбуждающего поля.

При таком выборе функций ф н гр левая часть в формуле (15.9), очевидно, обратится в нуль, т. е. Рис. 15.3. К выводу форму лы Кирхгофа. — !гг(г (1 ос 12) Здесь под г подразумевается длина отрезка, соединяющего выбранную точку наблюдения Р с произвольной точкой внутри объема У. Поскольку функция гр имеет особенность в точке Р, исключим из области У объем шара с малым радиусом а н центром в точке Р. Если через 3' обозначить поверхность данной сферы, то на основании (15.11) можно записать ф(тд тд )до= — г~(т,! тд )НЯ. (15.13) 226 (15.11) В !дальнейшем будем полагать, что в качестве вспомогательной функции гр выбрано уже известное решение уравнения Гельмгольца, описывающее расходящуюся сферическую волну: Следующим этапом явится вычисление в явном виде подынтегрального выражения в левой части форлзулы (15.13).

Поскольку перемещение,па направлению нормали к поверхности 5' означает увеличение координаты г, будем иметь (15.14) откуда левая часть (15.13) представятся в виде (17 + 1 ) )тгф~ г(5. (15л5) щ Теперь устремим к йулю радиус вспомогательной сферы а; нри этом учтем, что искомая фуниция ф, по ~предположению, не имеет источников внутри )г и поэтому всюду ограничена и непрерывна. В подынтегральное выражение (15:15) входят слагаемые, обратно пропорциональные как первой степени, так и квадрату текущего радиуса. Легко видеть, что вклад от слагаемых первого рода будет равен нулю, поскольку 4 г(Я Нгп с)з — = О. а 0" а (15.16) В то же время г с(5 Ищ~> —, =4и, а-~0 ° (15.17) что вытекает из формулы для площади сферы.

На основании изложенного из формулы (15.131 получаем выражение для искомого поля в точке 75 4(Р) 1 ф ~ е )т~ дФ ~ с)'(Ре )т~)~ оо что совпадает с формулой Кирхгофа (158). 15.3. Применение формулы Кирхгофа к расчету излучения из отверстия Простейшей моделью апертурной антенны является бесконечная идеально проводящая плоскость, в которой имеется отверстие, через которое осуществляется электромагнитная связь между двумя полупространствами. Для конкретности будем предполагать, что отверстие имеет внд прямоугольника со сторонами а н Ь (рис. 15.4).

Предположим, что данное отверстие возбуждается одно- 227 родной плоской волной, движущейся в левом полупространстве по направлению к плоскости. Считая, что выполнены условия а))Л, Ь))Л, будем приближенно полагать поле в отверстии таким же, каким было бы поле возбужденной плоской волны в плоскости а=О при отсутствии препятствия. Иными словами: (15.18) Е„=Е,е что выполняется при — а/2(х<а/2; — Ы2<у(Ь/2. Данный подход характерен для метода Кирхгофа, при котором приходится задаваться возбуждающим полем из тех или иных интуитивных соображений. Предположение о том, что в качестве возбуждающего поля можно рассматривать невозмущенное поле плоской волны, оправдывается на практике с достаточной точностью тогда, когда размеры излучающего раскрыва существенно превосходят длину волны.

Если же это условие не выполняется, как, например, в случае малых щелей, то приходится прибегать к гораздо более сложным методам определения истинного распределения Рис. 15.4, излучение электро- возбуждающего поля в плоизгннтных волн из пряно- скости иэлучатсля. угольного отверстия. Обращаясь к рис. 15.4, видим, что здесь д(дп=д)да, откуда на основании формулы Кирхгофа величина усоставляющей ' напряженности электрического поля в произвольной точке наблюдения Р будет равна Ен(Р)= 4 ~~ — д —" — Ен — гз — ( — )~ Ю.