Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 33

314 Через точку, не лежащую на данной прямой, мож- но провести прямую, параллельную данной, и при- том только одну. Две прямые, параллельные третьей прямой, парал- лельны. Прямая и плоскость в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются. Прямая параллельна плоскости, если она парал- лельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой пло- скости (рис.

314). Рис. 315 Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны (рис. 315). Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести параллельную плоскость, и притом только одну. Рис.

316 ( 9(у а ииисс Доказательство. Пусть а — данная плоскость и А, В— точки прямой, принадлежащие плоскости а (рис. 312). Отметим точку С, не лежащую в плоскости а (аксиома С,). Проведем через точки А, В, С плоскость р. Плоскости а и р пересекаются по прямой, содержащей точки А и В, а эта прямая един- Рис 312 ственная (аксиома 1). Итак, прямая АВ принадлежит плоскости а. Теорема доказана. Для возможности решения простейших задач стереометрии мы дадим определения основных понятий стереометрии и приведем основные теоремы (без доказательства).

Рис. 313 Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны (рис. 316). Задачи Точки А, В, С и В не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АВ и СВ не пересекаются. Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ. Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли какие- нибудь три из них лежать на одной прямой? Объясните ответ. Докажите, что если прямые АВ и СВ скрещивающиеся, то прямые АС и ВЮ тоже скрещивающиеся. Через концы отрезка АВ н его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие некоторую плоскость в точках А„Вг и М,.

Найдите длину отрезка ММ„если отрезок АВ не пересекает плоскость и если: 1) АА, = 5 м, ВВ, = 7 м; 2) АА, = 3,6 дм, ВВ, = 4,8 дм; 3) АА,= 8,3 см, ВВ, = 4,1 см; 4) АА, = а, ВВ, = Ь. Прямые а и Ь не лежат в одной плоскости. Можно ли провести прямую с, параллельную прямым а и Ь7 Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника в точке А„ а сторону ВС вЂ” в точке В,. Найдите длину отрезка А,В, если: 1) АВ = 15 см, АА1: АС = 2: 3; 2) АВ = 8 см, АА,: А,С = 5: 3; 3) В,С = 10 см, АВ: ВС = 4: 5; 4) АА, = а, АВ = Ь, А,С = с. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают плоскость а в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную а и не проходящую через точку А, тоже в вершинах параллелограмма.

Даны три параллельные плоскости а„а,, аг Пусть Х,, Х, Хз — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков Х,Х: Х Х не зависит от прямой, т. е. одинаково для любых двух прямых. 1 32. Перпенднкулярность прямых н плоскостей в пространстве Прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом, Если прямые а и Ь перпендикулярны и а„Ь, — пересекающиеся прямые, параллельные прямым а и Ь, то они тоже перпендикулярны. 3 >~.~~е нп~ч ст~в~ ил< три~~ Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку их пересечения (рнс. 317). Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного нз этой точки на плоскость (см. рис. 318). Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, называется проекцией наклонной (рис. 320). На рисунке А — перпендикуляр, АС вЂ” наклонная, ВС вЂ” проекция наклонной. Рис. 318 Рис. 319 Теорема (о трех перпендикулярах) Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной (рис. 321). Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если плоскость, перпендикулярная прямой их пересечения, пересекает данные плоскости по перпендикулярным прямым (рис. 322). ) 98 э клисс Прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым в плоскости, проходящим через точку их пересечения (рис. 318).

ЧеРез кажДУю точкУ плоскости можно Ряс. 317 провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Все прямые, перпендикулярные данной плоскости, параллельны (рис. 319). Рис. 322 Рис. 321 Рис. 320 Если прямая а перпендикулярна плоскости а, а пло- скость р проходит через прямую а, то плоскости а и р перпендикулярны (рис. 323).

10. 12. 13. 16. Задачи Прямые АВ, АС и АЮ попарно перпендикулярны. Найдите отрезок СВ, если: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, А0 = 1 б см; 2) ВЮ = 9 см, ВС = 16 см, АЮ = б см; 3) АВ = Ь, ВС= а, АВ=д; 4) ВВ = с, ВС=а,АЮ =И. Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника. Через вершину А прямоугольника АВСР проведена прямая АХ, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м н 9 м. Найдите отрезок АК. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные плоскости а, пересекающие ее в точках С и В соответственно. Найдите расстояние между точками А и В, если АС = 3 м, ВВ = 2 м, СВ = 2,4 м и отрезок АВ не пересекает плоскость а.

Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 3,4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5,8 м, а другого — 3,9 м. Найдите длину перекладины. Точка А находится на расстоянии а от вершин равностороннего треугольника со стороной а. Найдите расстояние от точки А до плоскости треугольника. Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а. Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна Ь. усеченной пирамиды называется расстояние между плоскостями оснований. Б стереометрии вводится понятие объема для геометрических тел. Сначала рассматриваются простые тела, тела, допускающие разбиение на конечное число треугольных пирамид. Объемы таких тел определяются следующими требованиями: 1) равные тела имеют равные объемы, 2) если тело представлено как объединение двух простых тел, то объем всего тела равен сумме объемов его частей, 3) объем куба с линейными размерами, равными единице, равен, единице.

Из этих свойств объема простых тел получаются следующие формулы: 1. Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами а, Ь, с: У = аЬс. 2. Объем любой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы. 3. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды. 4. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной пирамиды и отсекаемой от нее подобной пирамиды. б. Объемы подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.

Задачи 17. Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА, и ВВ~ на ребро угла. Найдите: 1) отрезок АВ, если АА = а, ВВ, = Ь, А,В~ = с и двугранный угол равен а; 2) двугранный угол а, если АА„= 3, ВВ, = 4, А~В~=6,АВ = 7. 18. Б прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания. 19. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 ем~, а высота 14 см.

Найдите диагональ призмы. 20. В прямой треугольной призме все ребра равны. Боковая поверхность равна 12 м~. Найдите высоту. 21. По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной. 22. У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м~, 2 м и 3 м~. Чему равна полная поверхность параллелепипеда7 202 23.

В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60'. 24. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно а, а угол основания равен 60'. 25. Найдите поверхность прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см. 26. Диагонали трех граней прямоугольного параллелепипеда, схо- дящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с.

Найдите линейные размеры параллелепипеда. 27. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды. 28. Основание пирамиды — параллелограмм, у которого стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды. 29. У четырехугольной усеченной пирамиды стороны одного основания равны 6, 7, 8, 9 см, а меньшая сторона другого основания равна 5 см. Найдите остальные стороны этого основания.