Учебник для 7-9 кл_Погорелов А.В_2001 2-е изд -224с (Ответы ко всем упражнениям Погорелова по геометрии от седьмого до одиннадцатого класса (Погорелов)), страница 32

307). Площадь сегмента, не равного полукру- гу, вычисляется по формуле я' Я= — а+Яд, 360 где а — градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а Я площадь треугольника с вершинами в центре круга и в концах радиусов, ограничивающих соответству- ющий сектор. Знак «-» надо брать, когда а ( 180', а знак «+» надо брать, когда а > 180'. Рвс. 307 1. 2. 8. 8. 1 90 Э класс Контрольные вопросы Сформулируйте свойства площади для простых фигур. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Докажите, что площадь треугольника равна половине произве- дения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Докажите, что площадь треугольника равна половине произве- дения двух любых его сторон на синус угла между ними. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полу- суммы оснований на высоту. Как относятся площади подобных фигур7 Выведите формулу площади круга. По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента7 Задачи Пункт 122 Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе (рис. 308). Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 м и 150 м.

Найдите стоРонУ кваДРатного Участка, Равновели- Гио Зва кого им. Найдите площадь квадрата Я по его диагонали а. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружнос- ти, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность? Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза? Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз? Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4; 9, а его площадь 144 м? Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м? 3.

4. 10. 12. 13. 14. Пункт 124 Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину, Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника парал- лелограмм. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м? Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуголь- ника с гипотенузой а. 15.

17. 18. г 9 г Площади фигур Пункт 123 Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его рав- на половине площади прямоугольника. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фи- гур имеет большую площадь? Объясните ответ. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30'. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая ди- агональ 13 см.

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей. Найдите стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1: 2, а площадь ромба равна 12 см~. 16. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см.

Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см? 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональ- 1 1 1 ны его высотам, т. е. а: Ь: с = —: —: —. Ьа Ьа ~с 21. Найдите площадь равностороннего треугольника со сторо- ной а. 22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного в круг радиуса В. 23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его вы- сота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.

24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его ги потенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см~? 25. У треугольника АВС АС = а, ВС = Ь. При каком угле С пло- щадь треугольника будет наибольшей? 26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70'. 27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 м и 3 м, а один из углов равен 70'.

28. Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам а и ~). Пункт 125 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника: , где а, Ь, с — длины сторон треуголь- ника, а р — полупериметр. 30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 1) 13, 14, 0 4 1 44 6) 212, 375, 1,83. 31. Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.

32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см. ЗЗ. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания.

Найдите высоту треугольника„опущенную на боковую сторону. 34. Найдите высоты треугольника, у которого стороны равны 13 см, 14 см и 15 см. 1 44 35. Найдите высоту треугольника со сторонами 2 —, 375 1,83, 1 проведенную к стороне 2— 12. 192 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42 193 о о роо,о-Око.

43 44 45 46 47 48 49 Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 — и наибольшую высоту треугольника 25 22 12 1 со сторонами: 3) б, б, 6; 4) 13, 3712, 4712. Пункт 126 Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боко- вая сторона 25 см.

Найдите площадь трапеции. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боко- вая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите площадь трапе- ции. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекают- ся, то площадь четырехугольника равна половине произведе- ния его диагоналей на синус угла между ними. Докажите, что среди всех параллелограммов с данными диаго- налями наибольшую площадь имеет ромб. Пункт 127 Выведите следующие формулы для радиусов описанной (В) и вписанной (г) окружностей треугольника: аЬс 28 В= —, г= 48 а+Ь+е где а, Ь, с — стороны треугольника, а Я вЂ” его площадь.

Найдите радиусы описанной (В) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности. Найдите радиусы окружностей, описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной Ь и вписанной в него. Найдите радиус г вписанной и радиус В описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.

Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности. Элементы стереометрии 1 30. Аксиомы стереометрии Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. В стереометрии так же, как и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанавливаются путем доказательства соответствующих теорем. Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии 1 — 1Х и трех пространственных аксиом: Аксиомы С,.

Какова бы ни была плоскость, существуют точ- ки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Сэ. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. С . Если две различные прямые имеют общую точ- ку, то через них можно провести плоскость, и при- том только одну. Приведем в качестве примера доказательства двух теорем из стереометрии с использованием аксиом С,, См Сз.

Теорема Доказательство. Пусть А, В, С вЂ” данные три точки (рис. 311). Проведем прямые АВ и АС (аксиома 1). Прямые АВ и АС различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через прямые АВ и АС плоскость (аксиома Сз). Эта плоскость проходит через точки А, В, С, так как содержит прямые АВ и АС. Теорема доказана.

Рис. 311 Элементы стереометрии 195 Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость. Теорема ПЕИ Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости. 1 31. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 313). Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися. Рис.