atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 12

Ре шеи не. 1. По свойству пересекающихся хорд АЕ ВЕ = СЕ х х РЕ (рис.40). Пусть ВЕ .= х. Так как АВ = !3 см, то АЕ = ! 3 см— — х. Запишем уравнение (13 см — х)х = 9 4 см~, х~ †. !Зх см е 36 см = О, откуда х! = 4 см,хз = 9 см. Следовательно, ВЕ =. 4 см или ВЕ =- 9 см. 2. По теореме косинусов из треугольника С А ВРЕ находим сова, где сх = г'.ВЕР: ВЕ" ж РŠ— ВРг соз а— а) Если ВЕ = 4, то сова = !6-Ь 16 — 48 2 4.4 1 — — а = 120'. Отсюда следует, что иско- 2' мым является угол ВЕС, смежный с углом а: г'.ВЕС =- 180' — 120' =- 60'. б) Если ВЕ =- 9 см, то по формуле (1) имеем: сова = ' = — = 0,6806, а = 47'07'. 81 -! '16 - 48 49 2.9.4 72 В этом случае угол а является искомым. Ответ. 60' или = 47'07'. 1036.

Наблюдатель находится на расстоянии 50 и от башни, высоту которой хочет определить (рис. 41, а). Основание башни он видит под у~лом 2' к горизонту, а вершину — под углом 45' к горизонту. Какова высота башни? Решение. Воспользуемся рисунком 41, б, который является схематичным изображением рисунка 41, а, т. е. рисунка 298 учебника. По условиям задачи АС = 50 м, г'.ЕРА = 2', г'.ЕРВ = 45', л'.РЕВ = = 90'. Требуется найти длину отрезка АВ. Из треугольника АРЕ находим АЕ: АЕ = РЕ 182' = 50 м !82' = 50 м 0,035 = 2 м. у 2.

Соотношения между сторонами и углами треугольники 77 Рис. 41 Треугольник РЕВ прямоугольный и равнобедренный, так как л'.ллВЕ = 180' — 90' — 45' = 45' = АВВЕ. Следовательно, ВЕ = =7?Е=АС= 50 м. Таким образом, АВ = АЕ+ ВЕ = 52 м. Ответ. = 52 м. 1037. Для определения ширины реки отметили два пункта Л и В на берегу реки иа расстояния 70 м друг от друга и измерили углы СЛВ и АВС, где С вЂ” дерево, стоящее иа другом берегу у кромки воды. Оказалось, о 3 что ~САВ =-!2'30', лЛВС =?2'42'. Найди- Н те ширину реки.

Р е ш е н и е. На рисунке 42 схематично Рис. 42 изображены условия задачи. Пусть ЛА = = о, л'.В = 13, л'.С = Т, 6 = СН вЂ” высота треугольника АВС. Так как углы ы и  — острые, то точка Н лежит на стороне АВ. 1Пирина реки равна длине отрезка 6. 6 В треугольнике ВНС: —, = яш13, откуда 6 = ВС шп 76 По теореме ' ВС синусов для треугольника АВС имеем: а!и о АВ ЛВ яшо яш , поэтому 6 = в!и / шп 7 Так как 3 = 180' — ст — В, то я!и 7 = я!п(ст+,д).

Таким образом, АВ сйпо шпд 70 м яп12'30' сйп72'42' я!п!о +,д) в! и 85' 12' 78 Дл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника По таблицам определяем: вш 12'30' = 0,2164, в!и 72'42' = 0,9548, з!п85'12' = 0,9965. Следовательно, 70 м 0,2164 0,9548 0,9965 Ответ. = 14,5 м.

1038. На горе находится башня, высота которой равна !00 м (рис. 43, а). Некоторый предмет А у подножия горы ваблюдают сначала с вершины В башни под углом 60' к горизонту, а потом с ее основания С под у~лом 30'. Найдите высоту Ь горы. Решение. Воспользуемся рисунком 43, б, который является схематичным изображением рисунка 43, а, т. е. рисунка 299 учебника. По условиям задачи углы СРА, ВСЕ и СВŠ— прямые, ВС = 100 м, аАСЕ = 30', к'.АВЕ = 60'. Требуется найти й = СР.

Так как аСВŠ— прямой, то в треугольнике АВР аАВР = = 30' н к'РАВ = 60'. В треугольнике АВС г'ВСА = 120', к'В = 30', поэтому к'САВ = 30', т. е. этот треугольник — равнобедренный, следовательно, СА = ВС = 100 м. В треугольнике АСР к'РСА = 180' — 120' =- 60', поэтому аСАР = 30'. Отсюда следует, что )ь = СР = — АС = 50 м. 1 2 Ответ. 50 м. ф 3. Скалярное произведение векторов 1039. Диагонали квадрата АВСР пересекаются в точке О.

Найдите угол между векторами: а) ЛВ и ЛС; б) ЛЙ и )лЛ, в) ОА и Обй г) ЛЗ и ОВ; д) ОЛ и ОС; е),4С и ВР; ж) АР и РВ; з) АО и ОС Рис 43 р 3. Скалярное произведение аекаороа 79 Ре ш е н не. На рисунке 44 изображен данный квадрат, точка Р~ лежит на продолжении луча АР, а точка Ра на продолжении луча РА. Для решения задачи воспользуемся свойствами квад- рата, которые сформулированы в п.46 учебника.

а) Так как угол ВАР— прямой, а АС вЂ” бис- сектриса этого угла, то АВ АС =- 'САВ = 45', б) АВ РА = АВ АВ~ = АВАР, = 90', в) так как диагонали квадрата взаимно пер- пендикулярны, то ОА АВ =- ЛАОВ =. 90', г) О 4 ОВ = ОС ОВ = л'.СОВ = 90', д) ОА ОС =- х'АОС = 180', е) АС ВР = ССОР = л'СОР =- 90', ж) АР РВ = РРз РВ = с'РвРВ = 135', з) АООС=АОАО=О'. О т в е т. а) 45', б) 90', в) 90', г) 90', д) 180', е) Р2 Рис.

44 90', ж) 135', з) 0'. 1040. Диагонали ромба АВСР пересекаются в точке О, и диагональ ВР равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) ЛВ и ЛР; б) ЛВ и У!7; в) В71 н ЛР; г) Од и ОР; д) АВ и РС; е) ЛВ и СР. Решение. По условию задачи треугольники АВР и ВСР равносторонние (рис. 45), поэтому л'ВАР = 60'. Далее, а'.ВАС = -л'ВАР = 1 2 = 30', а'АРС = ААВС = л'АВР 4 л'РВС = 120'. Учитывая эти равенства, находим все искомые углы: а) АВ АР = АВАР = 60', В б) АВ Р71 = РС РА = ~АРС = 120', в) ВА АР = ВА ВС = л'.АВС = 120', — > А 0 г) ОС ОР = л'СОР = 90', так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны; д) АВ РС = 0', так как АВ )7 РС; Рис.

45 е) АВ СР =- 180', так как АВ Ц СР. От в ет. а) 60', б) 120', в) 120', г) 90'; д) 0', е) 180'. 80 Вл. 2. Соотношения между егноронами и углами треугольника 1041. Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если ~ а = 2, ) Ь ( = 3, а угол между ними равен: а) 45', б) 90'1 в) 135'. Р е ш е н и е. Скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле (1) 23: — кг2 а) а Ь =-2 3 сов45'=2 3 — =Зъ2; 2 б) а Ь =-2 3 соз90' =0; в) а Ь = 2 3 сов 135' = — 2.

3 соз45' = — Зтг2. Ответ. а) Зтг2; б) 0; в) — Зт72. 1042. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота ВВ Вычислите скалярное произведение векторов а) АВ АС; б) АС СВ; в) АС ВУ; г) АС АС. Р е ш е н и е. На рисунке 46 изображен данный равносторонний треугольник, точка С~ лежит на продолжении луча СА. а) АВ . АС = и асозВАС = о, х Рис. 46 х асов60' = — '; 2' б) АС . СВ = а . а сов ВСС~ = аз соз 120' = аз ( — соз 60') в) так как АС д ВВ, то АС. ВО = 0; г) АС АС аз гоз Оа аз Ответ. а) —; б) -а; в) 0; г) аз. 2' 2' а 2' 1043.

К одной и той же точке приложены А С вЂ” > — Ф две силы Р и О, действуюшие под углом 11 120' друг к другу, причем Р~ = 8, )ф = 15. Р Найдите величину равнодействуюшей силы В. 0 Решение. Величину равнодействуюРис 47 щей силы Л, находим, построив паралле- лограмм на векторах Р и Я (рис.47), Так как кАОВ = 120', то л'.ОАС = 60'. По теореме косинусов для треугольника ОАС имеем: ОСз = ОАз + АСв — 2ОА АС сов А, 8! р 3. Скалярное произведение векторов ОС = 82 и 15 --2 8 15соз60' = 64 225 — 2 120 — = 169; 2 ! Л) =- ОС = 13. Ответ. !3. 1044. Вычислите скалярное произведение векторов а и 6, если: а) а ( —; — !), 6(2;3); б) а( — 5;6), 6 (6;5); в) а (1,5;2), 6(4; — 05). Р е ш е н и е. Скалярное произведение данных векторов вычисляем, используя формулу, выражающую скалярное произведение через координаты векторов (п.

103): а) а 6 = —.2 — ! 3=-25; 4 б) а 6 = — 5 б-ьб.5=0; в) а 6 = 1,5 4 — 2 . 0,5 = 5. О т в е т, а) — 2,5; б) 0; в) 5. 1045. Докажите, что ненулевые векторы а (х,у) и Ь ( — у,'х) перпендикулярны. Р е ш е н и е. Вычислим скалярное произведение данных векторов: а 6 =х( — у)+ух=О. Так как а ф О и Ь ф О, то а 3 Ь. 1046. Докажите, что векторы 1 ж у н 1 — З перпендикулярны, если и у — координатные векторы. Решение. Пусть а = ~, + 1, 6 = т — т'.

Вычислим скалярное — > произведение векторов а и 6: а Ь =(1+ д)(г — !)= 1 1 — з 1+ ! з — ! 1. Так как 1 1 = ! ! =1, 1 ! = 1 з =О, то а 6 =О. Векторы а и Ь ненулевые, поэтому о, д 6. 1047. При каком значении х векторы а и 6 перпендикулярны, если; а) а(4;5), 6(х,— 6); б) а(х; — 1), 6(3;2); в) а(0; — 3), 6(5;х)з Р е ш е н и е. Векторы а и 6 — ненулевые, поэтому они перпенди— 1 кулярны тогда и только тогда, когда а 6 = О.

— > а) а Ь = 4х — 5. 6 = О. Отсюда следует, что х = 7,5, т. е. при х = = 7,5 данные векторы перпендикулярны; 82 Гл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника б) а' 5 = х 3+ (-1) 2 = О, х = —; в) а Ь =О 5+(-3).х=О,х=О. О т в е т. а) 7,5; б) †; в) О. 2 3' соз(АВ АС) = — — АВ АС, ЛВ ~АС соз(ВА Вд) = ~ВА, ~ВС ' соз!СА СВ) = — '— —— ~сХ ~св~ сокА = созВ = созС = Так как А(2;8), В( — 1;5), С(З; 1), то АВ( — 3; — 3), АС(1; — 7), ВС(4; — 4), В.А(3; 3), СА( — 1; 7), СВ( — 4; 4). Поэтому АВ) = (ВА = ъ'9+ 9 = Зу'2; ,'Аб)) = С ~( = ъТ+ 49 = 5ъ'2; )ВС( — — СВ) — — Д б + 16 = 4 ч'2; АА.АС = ( — 3) 1+ ( — 3) (-7) = 18, 18 8 созА = Вг( ВС = 3 . 4+ 3 . ( — 4) = О, соз В = 0; Сг(.

СВ = — ( — !) ( — 4) + 7. 4 =- 32, 32 4 созС = Ответ. совА = —, созВ = О, созС = —. 3 4 5' ' 5' 1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А(2; 8), В( — 1; 5), С(3; 1). Решение. В треугольнике АВС г'.А =. АВ АС~, кВ = ВЛ ВС, г'.С = С.4 СВ. Для нахождения косинусов углов треугольника АВС воспользуемся скалярным произведением соответствующих векторов. Э 3. Скалярное произведение векторов 1049.

Найдите углы треугольника с вершинами А(-1; АЗ), В(1; — тГЗ) С(-; 3). Решение. Воспользуемся формулами (1) задачи 1048. Сначала найдем координаты векторов АВ, АС, ВС и их длины: АВ(2; — 2Л ~, АС( —; О), ВС( — —; 2ъ'3 ), поэтому ~АВ~ =- ~ВА~ =- тг4+ 12 =-4, )АС! = (СА~ = —, 2' (ВС) = )СВ! = — + 12 = —. 3 1 АВ . АС = 3, соз А = = —, к'.А = 60'. 3 2' 2 ВА.ВС = ( — 2) ( — — ) +2ъ'3 2ъ'3 = 13, 2/ соаВ = = — = 0,9286, л'В = 21'47'. 13 13 47 14 2 Угол С находим по теореме о сумме углов треугольника: и.'С = =- 180" — ЛА — и'.В = 180' — 60' — 21'47' =- 98'13'. О т в е т. л'А = 60 к'В = 21'47', к'С = 98'13'. 1050.Вычислите)а+ Ь|и)а — Ьбесли(а)=5,)Ь(=8, а Ь =60'.

Решен не. Воспользуемся утверждением; скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (п. 102). а+ Ь|~=(а+ Ь)(а+ Ь)= а +2а Ь+ Ь~= а ~а+ 2~ а // б / соз а Ь + / Ь /~ = 25+ 2 5. 8 сов 60' + 64 = — 129, /а+ Ь/=Л29; /а — Ь/~=-(а — Ь)(а — б)= а — 2а Ь+ Ь = (а)а — 2 аиЬ)сова Ь +( б(~ =25 — 2 5.8 соз60'+64=49, ( а, — Ь ( = тг49 = 7. Ответ. ~а + Ь(= Д29.!а — Ь(=7. 84 Гл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника и с =~а~~с~сов(а с)=1 2 созбО'=1, Ь с =2 2 сов60'=2, поэтому 1а'+ Ь ) с = 3.