atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 11

Найти: хВ, л'.С, с. 1. По теореме синусов ЬяпЛ !Ояп80' !О. 0,9848 0 6!55 вщВ = а 16 !6 70 Вл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника Отсюда получаем два значения для к'.В: кВ! = 37'59', кВа = = 142'1'. Так как кА + лВа > 180', то к'.В =- кВ! - -37'59'. 2. 'С = 180' — .'А — кВ = 62'1'. ая!пС 1бя|п62'!' 16 0,8830 = 14,35. |йп А яш 80" 0,9848 г) Дано: 'В =-45', л'.С =- 70', а =-24,6.

Найти: х.'А, Ь, с. ! . АА = 180' — '. — кС = 65'. а я!п В 24,6 я!п 45' 24,6 О,?071 я!п А я|п 65' 0,9063 аяшС 24,6яш70' 24,6 0,9397 я|п А |йп 65' 0,9063 д) Дано: к'.А = 60', а =- !О, Ь = 7. Найти; к'В, к'С, с. Ья!пА 7я!п60' 7 0,8660 !. |йпВ =- = = ' = 0,6, откуда получаем два а 1О !О значения для к'В: л'В! = 37'19', к'.Вз = 142'41'.

Так как к'А + кВа > > 180', то ЛВ = лВ! = 37'19'. 2. кС = 180' — хА — кВ = 82'41'. аяшС 10яш82'41' 10 0,9919 яш А яш 60' 0,8660 е) Дано: а =- 6,3, 6 = 6,3, к'С =- 54'. Найти; с, кА, кВ. 1. Так как а = Ь. то ЛА = ЛВ = = 63'. 180' — кС 2 2 — ая|пс 63я|п54' 63 0,8090 572 яш А я!и 63' 0.8910 ж) Дано: 6 = 32, с = 45, кА = 87'. Найти: а, л'В, к'С.

!. По теореме косинусоы находим а: аз = ЬЯ + сл — 26с соя А = 32а + + 45з — 2 . 32 45 соя87' = 1024 + 2025 — 2 32 45 . 0,0523 = 3049— — 150,624 = 2898,38, а = т?2898,38 = 53,84. !пВ 6я!пА 32я!и 87' 32 0,9986 О 5935 лВ 36и !8| а 53,84 53,84 к'.Вз = ! 43'42'. Так как к'.А + кВа > 180', то к'.В = кВ! = 36'18'. 3.

~С = 180' — ~А — ~В = 56'42'. з) Дано: а = — 14, Ь = 18, с = 20. Найти; лА, к'.В, лС. По теореме косинусов находим соя А, соя В. 6 у с — а 18 |- 20 — 14 324 + 400 — 196 528 2Ьс 2 18 20 720 720 = 0,7333. кА = 42'50'. |оя В а + с — 6' 14' + 20' - !8 272 0 48г? ~В 2ас 2 14 20 560 = 60'57'.

3. к'С = 180' — лА — кВ = 76'13'. и) Дано: а, = 6, 6 = 7,3, с = 4,8. Найти: л'.А, кВ, л'.С. у 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 7! 7,3'+ 4,8' — бе 40 ЗЗ 0,5755, ~А 2 7,3 4,8 70,08 6 ес — а е е е 1. созА =. 26с = 54'52'. а -ьс — 6 з 2. совВ =. 2ас 2648 576 — ' — = — ' — = 0,0998, г'.В = 1026. В треугольнике АВС. ЛС = 12 см, л.4 = 75', г'.С = 60'. Найдите АВ и Влво.

Р е ш е н и е. По теореме о сумме углов треугольника найдем сначала г'.В: л'.В = 180' — г'.А — ЛС = 45'. Затем по теореме синусов найдем АВ: АС сйпС 12 см е!п60' !2 см 0,8660 14 7 ейп В ып 45' 0,70? 1 1 . ! Вднс = — АВ АС з!п А = — 14,7 см 12 см вш 75 2 2 = 14,7 б 0,9659 смз = 85,19 сь!з.

Ответ. = 14,7 см и = 85,19 смз. 1027. Найдите стороны треугольника АВС, если аЛ =. 45', лС =- 30', а высота АР равна 3 м. Р е ш е н и е. В прямоугольном треугольнике АРС ЛС = 30', поэтому ЛР = — ЛС, ЛС .= б м. ! 2 Пользуясь теоремой о сумме углов треугольника, найдем сначала г'В: с'.В = 180' — ЛА — ЛС = 105'.

Найдем теперь стороны АВ и ВС треугольника, пользуясь теоремой синусов: ЛС сйпС 6 м сйп30' 6 0,5 = — -- — --;-- = — — -'- м = 3,1 м. вш В зш 105' 0,9659 АС ешА б и з!п45' 6 0,7071 вш В е!и 105' 0,9659 Ответ. =31 м, =44 м, б м. 84 о 16! 3. л'.С =- 180' — ЛА — л'.В = 40'52'. О т в е т. а) г'.С =. 80', а = 12,31, 6 = 9,14; б) '.В = 75', а = 2,33, с = 4,5; в) ЛВ = 37'59', ЛС = 62'1', с = 14,35; г) ЛА = 65', 6 = 19,19, с = 25,5; д) ЛВ = 37'19', ЛС = 82'41', с = 11,45; е) г'.Л = 63', аВ = =- 63', с = 5,72; ж) л'В = 36'18', ЛС = 56'42', а = 53,84; з) с'А = = 42'50', 'В = 60'57', .'.С = 76'13', и) 'А = 54'52', г'В = 84'1б', ЛС = 40'52'. 72 Вл. 2.

Соотношения между сторонами и углами треугольника 1028. В параллелограмме АВСВ; АВ = 7 — и, ВВ = 4,4 м, АА = 22'30'. 3 Найдите ОВВС и А1)ВС. Решение. Пусть АВРС = ст, АРВС =,'3 (рис.37). Тогда ААВР = о, так как АВРС и ПУАВР— накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и РС секущей ВР. Применим теорему синусов к треугольнику АВР: з!по япЛ АВ ВВ' АВ япА 22 ьш 22'30' 22 0,3827 0 8378 ВВ 3 4,4 13,2 Возможны два значения для аи 1) сг = 39'38', 22'30' + сг +,'д =- 180', 22'30' + 39'38' + д =- 180', ,3 = 117'52' (на рисунке 37 параллелограмм АВС1)). 2) ст =- 180' — 39'38' = !40'22', 22'30' + о + В =- 180', 22'30' 4- .+ 140'22' + Д = 180', ,В = 17'8' (на рисунке 37 параллелограмм АВ,С,Р).

Ответ. Два решения: 1) = 39'38' и = 117'52', 2) = !40'22' и — 17'8'. з1п 13 а о, япд а япд 1— з!и (180' — — — Ц) з!и (д 4 — ) 2 ' 2 2) Найдем длину ВВы применив теорему синусов к треугольнику АВВ: ВаС~ С А В с, Рис. 38 А в в Рис. 37 1029. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна и, а прилежащие к этой стороне углы равны о и 8. Решение. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, ЛА = о, г'В = 71, АВ = а, ААп ВВ! и СС~ биссектрисы треугольника (рис. 38). !) Найдем длину ААы применив теорему синусов к треугольнику АВАН ф 2.

Соотношения между сторонами и углами треугольника 73 япа а о япа о япа ВВ!— яп (180' — а — — ) яп (а -Ь вЂ” ) Определим япАС!С и АС. 180' /АС!С = 180' — а — — = 180' — а — = 90'— 2 2 2 — !3 а — !3 2 ) . Если а > 13, то > О, 2 а — дк а(!3, то яп(90' — — ) = 2 ) Поэтому вшАС!С вЂ” — яп (90'— а — д' а — 13 вгп (90' — ) = сов — -. Если 2 ) 2 д — а = вш (90' + ' л! = сов 2 ) 2 По теореме синусов находим АС из треугольника АВС: АС = яп(а+ !3) ' Следовательно, СС! =, если а > !3, и аяпа яп!3 а — Д' яп(а 3- д) совояпа яп,'3 ,еслиа<нй ,3 — а ' яп(а г 13) сов а. япд и в!па О т в е т. ьзп (д+ 2) вш (а+ — ' 2,/ паша япд 'а — ф яп(а+ 8) сов ' 2 1030.

Смежные стороны параллелограмма равны а и 6, а один из его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и угол между ними. Решение. Пусть АВСР данный параллелограмм, АВ = а, АР = 6, ЕВАР = а (рис. 39). Найдем сначала диагонали параллелограмма, применив теорему косинусов к треугольникам АВР и АСР. Рис. 39 3) Найдем теперь длину СС!, применив теорему синусов к треугольнику АСС!! СС ! Ас ! яп АС!С 74 Рл. 2.

Соотношения между сгпоронами и углами треугольника ВР— +Ь вЂ” 26, ЕР= 'РŠ— 26, АСз = аз + Ьз — 2аЬ соз(180' — о) = ав + Ьз + 2аЬ сов о, ге=гнев~2 6 Пусть Т = .лАОР, где Π— точка пересечения диагоналей параллелограмма. По теореме косинусов для треугольника АОР имеем: Ьз = АОз + ОРз — 2АО ОР соз у; АО'+ ОР' — Ье 2АО ОР АО = — АС = — ту аз + Ьв + 2аЬ сов о; 1 1 2 2 ОП= — ЕР= — Е +и — 2 6 1 ! 2 2 Подставив эти значения в предыдущее равенство, после преобразований получим: а — Ь сову = 0 . г сут21, глтв 25н: а -Ь 1031.

Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если его стороны равны: а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и !5; в) 9, 5 иб Решение. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, ВС =- а, СА = = 6, АВ = с, л'А = о. Воспользуемся теоремой косинусов: созо = 6 +с — пг ' . Предположим, что а > Ь, а > с.

Тогда, если сова > О, 26с то треугольник АВС вЂ” остроугольный, если сова = 0 — прямоугольный, а если саво < Π— тупоугольный. 16+ 16 — 25 а) а = 5, Ь = с = 4, сова = > 0; треугольник — остро- 2 !6 угольный. б) а = 17, Ь = 8, с = 15, соьо = — ' = 0; треугольник— 64 -1- 225 — 289 2 8.15 прямоугольный, у 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 75 25 + 36 — 81 в) а = 9, 5 = 5, с = 6, сояо = < 0; треугольник 256 тупоугольный. Ответ. а) Остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. 1032.

Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом 72' друг к дру~у. Найдите величины этих снл, если величина их равнодействующей равна !20. Решение. Пусть силы ОА и 03 приложены к точке О. По условию задачи ОА =- ОВ, л'АОВ =. 72'. Если ОС вЂ” равнодействующая этих сил, то ОАС — ромб и диагональ ОС делит угол О пополам.

Треугольник ОАС вЂ” равнобедренный; ЛАОС' = 36', г'ОАС = 180'— — 72' = 108'. По теореме косинусов ОС =-а~+а' — 2а о,сояОАС, где а = ОА = ОВ. Запишем: 120 = 2а~ — 2а соя 108'; 120 =- 2а (! + соя 72'), откуда ! 20 14400 5500 74 2 2(! Ч- 0,3090) 2,618 Ответ. = 74,2. 1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно !О см, а угол при основании равен 70'.

Найдите периметр трапеции. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данная равнобедренная трапеция с основаниями АР и ВС, АВ = ВС = СР, АР = 10 см, а р — периметр трапеции. Если АВ = х, то р = Зх+ АР = Зх+ 10. Найдем сначала х. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольников АВР и ВСР: ВРЯ = хэ+ !00 смэ — 2х. !О см соя 70', ВРз = 2хэ -1- 2хэ соя 70' Отсюда следует, что х" (1 + 2 соя 70') + 20 см х соя 70' — 100 с ма = О.

76 Рл. 2. Соо пношения между егпоронами и углами ьпреугольнини Так как сов 70' = 0,3420, то перепишем уравнение: 1,684х~ + 6,84х см — 100 сма = О. Из этого уравнения определяем х: х = 6 см; р = 28 см. Ответ. = 28 см. 1035. В окружности проведены хорды АВ и СР, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13 см, СЕ = 9 см, ЕР = 4 см и расстояние между точками В и Р равно 4т?3 см.