atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 7

г) Запишем данное уравнение в виде (т — 1)~ + (у + 2)" = 25. Дополнительные зада ш 4! Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты (1; — 2), а радиус равен 5. д) Запишем данное уравнение в виде (х — 2)' + (у — 1)' = 4. Это уравнение является уравнением окружности, центр которой имеет координаты (2;1), а радиус равен 2. Ответ. а) (1; — 2) и 5; б) (О; — 7) и 1; в) уравнение не является уравнением окружности; г) (1; -2) и 5; д) (2; 1) н 2.

1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки Л(3;0) и В( — 1; 2), если центр ее лежит на прямой и =- х сь '2. Р е ш е н и е. Абсциссу центра искомой окружности обозначим через хо, тогда ордината центра равна хо+ 2, а уравнение окружности можно записать в виде (: — о)'+ Ь вЂ” о — ~)з = " (1) Так как точки А(3; 0) и В( — 1; 2) лежат на искомой окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению (1), т. е. (3 — хо)з + (Π— то — 2)~ = гз, ( — 1 — хо)з + (2 — хо — 2)з = гз. Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными хо и г.

Вычитая из первого уравнения второе и приводя подобные члены, приходим к уравнению 12 — 4з:о = О, откуда хо = 3. После этого из первого уравнения находим гз = 25. Таким образом, уравнение (1) искомой окружности принимает вид (х — 3)а + (у — 5)~ = 25. Ответ. (х — 3)з+ (у — 5)з =. 25. 1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через трн данные точки: а) Л(1, -4), В(4; 5), С(3; — 2), б) Л(З; — 7), В(3; — 2), С(6, 2). Р е ш е н и е.

Напишем уравнение искомой окружности в виде (х -- хо) + (у — уо) а) Так как точки А, В, С лежат на искомой окружности, то их координаты удовлетворяют этому уравнению, т. е. (1 — хо) + (-4 — уо) = г, (4 — хю) + (5 — уо) = г, (3 — хо) + (-2 — уо) = г . Дополнитальныа зада ш б) Уравнения прямых АВ, ВС и СА, каждая из которых проходит через две заданные точки, находятся таким же способом, как в задаче 972. В результате получаются следующие уравнения: АВ: Згг + 5у — 4 = 0; ВС: 2х — у — 7 =- 0; СА: х+ бу — 23 = О.

в) Пусть точки ЛХ~(хбу~), ЛХз(ха,уз), ЛХз(хз,'уз) — середины соответственно сторон АВ, ВС и СА. Координаты этих точек находим по формулам координат середины отрезка; 3 =1; хз =- Средние линии треугольника АВС лежат на прямых ЛХ~ЛХз, ЛХзЛХз н ЛХзЛХО каждая из которых проходит через две заданные точки. Поэтому уравнения этих прямых находятся таким же способом, как в задаче 972. В результате получаются следующие уравнения: М~ЛХз. х+ бу — 10 = 0; ЛХзЛХз: Зх+5у — 17 = 0; Л1зМР 2х — у + 6 = О. Ответ. а) 5а — Зу + 16 = О, х ь 2у — 6 = О, бх — у + 1О = 0; б) Зх + + 5у — 4 =- О, 2х — у — 7 = О, х + бу — 23 =- 0; в) х + бу — 10 =- О, Зх + + 5у -- 17 = О, 2х — у + 6 = О.

1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями Зх — 1,5р+ ! =. О н 2х — у — 3 = О, параллельны. Р е ш е н и е. Допустим, что данные прямые не параллельны. Тогда они либо пересекаются, либо совпадают. В любом случае существует точка ЛХ(хо, уо), лежащая на обеих прямых, и, следовательно, координаты точки М удовлетворяют уравнениям этих прямых, т. е. Зхо — 1,5уо + 1 = 0 и 2хо — уо — 3 — 0 Умножнм второе равенство на 1,5 и вычтем из первого равенства. Получим (Зхо — 1,5уо + 1) — 1,5(2хо — уо — 3) = О, т.

е. 5,5 = О. Так как полученное равенство не имеет места, то наше предположение неверно и, следовательно, данные прямые не имеют общих точек, т. е. они параллельны. — 7 ч-3 2 3 -~- 5 2 5 — 7 2 = — 1; 5 — 1 у~ 2 — 1 -~- уз 3 л-5 2 Гж 1. Метод координат 1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если: а) А( — 2;О), В(3;2 — ), С(5,4), б) А(3;1О), В(3,12), С(3,— 6), в) Л(1;2), В(2; 5), С( — 10; — 31).

Решение. а) Найдем координаты векторов АВ и АС: АВ(5; 2 — ), 2 1 АС(8;4). Очевидно, 8: 5 = 4; 2 —, т. е. координаты вектора АС про- 2' порциональны координатам вектора АВ, поэтому векторы АВ и АС коллинеарны (см. задачу 927), а так как они имеют общее начало (точку А), то точки А, В и С лежат на одной прямой. б), в) Задача решается так же, как в п. а). Применение метода координат к решению задач 1006. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника. Р е ш е н и е.

Пусть в треугольнике АВС: АВ = 17 см, АС = 28 см, высота ВН = 15 см. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 21 (точка С лежит на положительной полуоси абсцисс, точка В имеет положительную ординату). Тогда вершины треугольника АВС имеют следующие координаты: А(О; 0), С(28;0), В(х; 15), где х — пока неизвестное число, причем возможны два случая: а) точка Н лежит на стороне АС (рис.

21, а), в этом случае х ) 0; б) точка Н лежит на продолжении стороны АС (рис. 21, б), в этом случае х < О. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем: АВ = тума т 15з = 17, откуда следует, что хз = 64, х = 8 либо х =- — 8. Таким образом, точка В имеет координаты (8;15) (рис.21, а) либо ( — 8;15) (см. рис.21, б). ПУсть точки А~(хи у~), В1(хз.,ка) и С1(тз,Уз) — соответственно середины сторон ВС, СА и АВ. Координаты этих точек находим по формулам координат середины отрезка.

В случае а) получаем: Рис 2! 45 Применение метода координат к решению задан у~ = =7,5; !5+0 2 О+О уз =. =0; 2 О+ 15 'уз = = 7,5. 2 х~ = =18, 8+ 28 2 О+ 28 хз = = 14, 2 0+8 ха= =4, 2 В случае б) получаем: — 8+ 28 10 2 О -г 28 2 Π— 8 2 16 =- =75; 15 4 О 2 О ч- О уа = 2 =0; Ое 15 уз = =- 7,5. 2 Медианы ААО ВВП СС~ двумя точками.

В случае а) получаем: АА~ = ВВ, =- находим по формуле расстояния между см =!9,5 см, см = Зъ'29 9см, см = -'ъ'281 см. 3 '2 СС = В случае б) получаем; АА~ = см =-12,5 см, ВВ,= см = чч709 см, СС~ = ( — 4 — 28)з + (7,5 — 0)з см = — чч'4321 см. 2 Ответ. 19,5 см, Зчг29 см, — у'281 см; или 12,5 см, у'709 см, 3 2 -ч'4321 см 1 2 1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований. Решение.

Введем прямоугольную систему координат, связанную с трапецией АВСР так, как показано на рисунке 22. Тогда вершины трапеции имеют следующие координаты: А(0; 0), В(с; 6), С1с+ Ь; 6), Р(а;О), где а =- АР, Ь =- ВС, с— некоторое число, 6 — высота трапеции. Пусть АР ) ВС, т. е. и ) Ь, и пусть точки ЛХ(хм у~) и Ж(ха,уз) — середины диагоналейАС и ВР. Гл. Д Меаод координаж сьЬ Ь ачс 6 Тогда х! =,, у! = —, хз =, !Хз = —,. По формуле расстояния 2 ' 2' 2 '' 2 между двумя точками получаем. ЛХЛг = а —.

Ь 2 АР— ВС Таким образом, ЛХЛг = , что и требовалось доказать. 2 1008. Даи параллелограмм АВСР. Докажите, что для всех точек М величина (АЛХ + СЛХв) — (ВМ~+ РМ ) имеет одно и то же значение Решение. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 23. Тогда вершины параллелограмма имеют следующие координаты: А(0;О), В(Ь;с), С(а+ Ь;с), Р(а;О), где а = = ВС = АР, Ь вЂ” некоторое число, с — высота параллелограмма.

Для любой точки ЛХ(х; у) имеем: АЛХ~ = х~+ у~,ВЛХ = (х — Ь)~+ (у — с)~, СЛХ~ = (х — а — Ь)а + (у — с)з, РЛХ = <х — а) + у~. Используя эти выражения и раскрывая скобки, получаем; (АЛХ~ + СМ~) — (ВМ~ + РЛХ~) = 2аЬ. Таким образом, величина (АЛХа+ СЛХз) — (ВЛХ2+ РЛХз) имеет одно н то же значение для всех точек ЛХ(х; у). 1009. Докажите, что медиану АА~ треугольника ЛВС можно вычислить ! по формуле АА| = — 2АСа+ 2АВ' — ВС'. Используя эту формулу, дока- 2 жите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник — равнобедренный.

с) Рнс. 23 47 Применение метода координат к решение задач Р е ш е н и е. 1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке В так, как показано на рисунке 24. Тогда вершины треугольника имеют следующие координаты: А(Ь; с), В(0;О), С(а;О), где а =. .-- ВС, 6 и с — некоторые числа, а середина А~ стороны ВС имеет коорга динаты ~~ †;О) (,2 По формуле расстояния между двумя точками находим: Рис. 24 АА~~ = (Ь вЂ” — ) + с~, АСз = (Ь вЂ” а)з -и сз, АВз = Ьз + сз. Используя эти формулы, а также равенство ВС = а~, получаем: 2АСз + 2АВз — ВСа = 2((6 — а)з + сз) + 2(Ьз + сз) — аз = — ч((Š— .~ч )ч Р) — 4((Б — — ) чз). откуда следует, что АА~ = — 2АСз + 2А — ВСз, ! 2 доказать. 2) Пусть в треугольнике АВС медианы АА~ и ВВ~ равны.

Медиана АА~ выражается доказанной в п. 1) формулой что и требовалось 1 АА~ =— 2 а медиана ВВ~ выражается аналогичной формулой 1 ВВ, =— 2 Из равенства АА~ = ВВ~ следует; После возведения в квадрат и приведения подобных членов приходим к равенству ЗАСз = ЗВСз, откуда получаем АС = ВС. Таким образом, мы доказали, что если две медианы треугольника равны, то треуголь- ник — равнобедренный. Сопоставляя это выражение с выражением для ААн приходим к равенству ААз, = — (2АСз + 2АВз — ВСз) 4 Гль й Метод координат 1010.

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых: а) 2АЛХЯ вЂ” ИЛХ' = 2АВ', б) АЛХ ч- 2ВМ' = 6АВ'. Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке 25. Тогда точки А и В имеют координаты: А(0; 0), В(а; О), где а =- АВ. Пусть ЛХ(х; у) — произвольная точка.

Тогда АЛХз = ха + уз, ВЛХ~ = (х — а)а + у~. а) Условие 2АЛХа — ВЛХа = 2АВз, записанное в координатах, дает уравнение искомого множества точек: 2(х + у~) — ((х — а) а + у~) = 2а . Раскрывая скобки, приводим уравнение к виду (х + а)з 3 у2 (2а)2 Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2а, т. е. радиуса 2АВ, с центром в точке В'( — а; 0), т. е. в точке, симметричной точке В относительно точки А (рис.25, а). б) Условие АЛХз+ 2ВЛХз =- 6АВ~, записанное в координатах, дает уравнение искомого множества точек: (х~ + у~) + 2((х — а) + у~) = ба . Это уравнение приводится к виду ( — -,'а) +уз= ® . Таким образом, искомое множество точек представляет собой 4 4 Г2 окружность радиуса — а, т.

е. -АВ, с центром в точке С ( -а; О), т. е. 3'''3 (,3 ' 2 в точке С, лежащей на отрезке АВ, причем АС = — АВ (рис. 25, б). 3 Рис. 25 Задачи оовышвпной трудности 49 О т в е т. а) Окружность радиуса АВ с пентром в точке, симметричной В относительно А; б) окружность радиуса -АВ с пентром в точке, 3 2 лежащей на отрезке АВ на расстоянии — АВ от А. 3 Задачи повышенной трудности х! Ч хз =- хг + хз у! + !У! =- У' + Уз. Ре ш е н и е. Четырехугольник АВС.Р является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали АС и ВР пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, т. е.