atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 2

е. существует такое число й, что ха = йхн ра = йдн Действительно, так как а и Ь коллинеарны и а ф О, то по лемме — > о коллинеарных векторах существует такое число й, что 6 = йа. Отсюда следуют равенства (1). 2) Докажем обратное утверждение: если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны. В самом деле, пусть координаты вектора Ь (хз., дз) пропорциональны координатам вектора а (хб у1), т. е. существует число й, такое, что выполнены равенства (1). Но тогда Ь = йа, и, следовательно, векторы а и Ь коллинеарны. Э 2.

Простейшие задачи е координатах 9 2. Простейшие задачи в координатах 929. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка  — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если: а) ОА=5, ОВ=3; б) ОА=а, ОВ=6. Решение. а) А(5;0), В(0; 3), 0(0;0); б) А(а; 0), В(0; 6), О(0;0). Ответ.

а) (5; 0), (О; 3), (О; 0); б) (а; 0), (О; Ь), (О; 0). 930. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка  — иа поло жительной полуоси Он Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ если: а) ОА=.6,5, ОВ=3; б) ОА=а, ОВ=6. Решение. а) 0(0;0), А(6,5;0), С(6,5;3), В(0;3); б) 0(0;0), А(а; 0), С(ой Ь), В(0; 6). Ответ. а) (О; 0), (6,5;0), (6,5; 3), (О; 3); б) (О;0), (а; 0), (а; Ь), (О; Ь). 931. Начертите квадрат ХсХМРб) так, чтобы вершина Р имела координаты ( — 3;3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат Найдите координаты точек ЛХ, Дги С).

Р е ш е н и е. Задача имеет два решения. На рисунке 5 изображен квадрат ЛХАгРб7, у которого ЛХ(3; — 3), Аг(3;3), Я( — 3; — 3). Второе решение получается из первого, если обозначения точек Аг и б,) поменять местами. В этом случае ЛХ(З; — 3), Аг( †3;— — 3), без(3; 3). Ответ. (3; — 3), (3 3), ( — 3; — 3) или (3; -3), (-3; -3), (3; 3). 3) Рис. 5 928. Даны векторы а(З;7), 6( — 2;1), с(6;14), И(2,— 1), е(2,4). Укажите среди этих векторов пары коллииеарных векторов. Решение. Координаты вектора а пропорциональны координатам ! 1 — т вектора с: 3 = — 6, 7 = — 14, поэтому векторы а и с коллинеарны 2 ' 2 (см.

обратное утверждение в задаче 927). Аналогично. координаты вектора 6 пропорциональны координатам — > вектора д, поэтол|у векторы 6 и д коллинеарны. Других пар коллинеарных векторов нет, так как для любой другой пары векторов не выполнено условие пропорциональности координат одного вектора координатам другого вектора. Ответ. аи с, 6 ид. !2 Гл. й Метод координат 932. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника АВС, изображенного на рисунке 6 (рис.281 учебника), если АВ = 2а, а высота СО равна Ь. Р е ш е н и е. Высота СО является также медианой треугольника АВС, поэтому ОА = ОВ = а и, следовательно, А( — ой О), В(ой 0), С(0; Ь).

Ответ. ( — а; 0), (а; 0), (О; Ь) . Рис. 6 933. Найдите координаты вершины Р параллелограмма АВСР, если: А(0;О), В(5; О), С(!2; — 3). Решен и е. Обозначим координаты вершины Р буквами ш и у. Так как сторона АВ лежит на оси абсцисс, то сторона СР параллельна оси абсцисс и, следовательно, ордината точки Р равна ординате точки С, т.

е. у = — 3. Далее, АВ = 5, поэтому СР = 5 и ш = 12 — СР = 7. Ответ. (7; — 3). 934. Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А(2; 7), В( — '2; 7); б) А( — 5; 1), В( — 5; 27); в) А( — 3; О), В(О;4); г) А(О; 3), В(-4; 0). Решен не. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Поэтому имеем: а) АВ( — 4; О), б) АВ(0; 26), в) АВ(3;4), г) Аг)( — 4; — 3).

Ответ. а) ( — 4; О); б) (О; 26); в) (3; 4); г) ( — 4; — 3). 935. Неречертите таолицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите х и у. ( — 3; — — ) ! 2 (5 у) (О, О) Решение. 1) Заполняем пустые клетки таблицы слева направо АВ = (1- 0; ! - О) = (!'1); А = (З - (- 3); ! - ( 2)) (6; 1-'); В = = (а, + с; Ь + г)); В = (1 + 0; 2 + О) = (1; 2). 2) 2 — т =- 5, — 7 — ( — 3) =- у, откуда ш = — 3, у = — — 4.

— !з Ответ. Слева направо: АВ = (1; 1); ж = — 3, у = — 4; А = (6; 1 — ); 2)' В = (а+ с; Ь + г)); В = (1; 2). р 2. Простейшие задави в координатах 13 Р е ш е н и е. Заполняем таблицу слева направо: лх= +( 3) 3+ =( — 05 — 1). 2 ' 2 А =- (2 ( — 3) — 4; 2 ( — 2) — 7) =- ( — 10; — 11); В = (2. 3 — 0; 2 ( — 5) — 1) =. (6; — 11); ЛХ =- ( ); =- ( — 1,5;3,5); 2 ' 2 / В = (2а — с; 2Ь вЂ” с(); ЛХ=( '; ' ) =(365); зХ (Зз+ 5) + (г+ 7) 7+ (-7) (21+ 6 О) 2 ' 2 В =- (2 .

0 — 1; 2 . 0 — 3) =- (-1; -3). О т в е т. Слева направо: ЛХ = ( — 0,5; — 1); А = ( — 10; — 11); В = (6; — 1!); ЛХ = ( — 1,5;3,5); В = (2а -- с;2Ь вЂ” Д); ЛХ = (3;6,5); ЛХ = (21 + 6; 0); В = ( — 1; — 3). 937. Даны точки А(0, 1) и В(5; — 3). Найдите координаты точек С и В, если известно, что точка ХЗ вЂ” середина отрезка АС, а точка 0 — середина отрезка ВС Решение.

Обозначим координаты точки С буквами х и р. Тогда по формулам координат середины отрезка имеем: х ч- 0 — =Э, 2 3 2 откуда х = 10, у = -7. Итак, С(10; — 7), поэтому Р (; ), т. е. Х1(7,5; — 5). '5 + 1Π— 3 — 7т 2 ' 2 Ответ. С(10; — 7), ХХ(7,5; — 5), 936. Неречертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины ЛХ отрезка АВ, заполните пустые клетки. 14 Гж 1. Метод коордьнат 938.

Найдите длины векторов: а) а (5;9); б) б ( — 3,4); в) с ( — 10; — 1О); г) д (10,17); д) е (11: — 11); е) Х(10)0). Решение. Используя формулу для вычисления длины вектора по его координатам, находим: а) (53( = ъ'5з+9~ = ту)06) б) Ь( = =-Д вЂ” 3) 44' =5; ) А =Д вЂ” ТО) 4-) — )0) =40'2; ) — Е)0 4т77 — 353, ) т) — ОТ7'4) 47)' — 4) 2, ) 7)— = ь/10а + ОХ = 10. Ответ. а) ъТ06; б) 5; в) 1Оъ)2) г) ч)389; д) 11т72; е) 10.

939. Найдите расстояние от точки Л1(3; — 2); а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат. Решен и е. а) Расстояние от точки ЛХ(3; — 2) до оси абсцисс равно абсолютной величине ординаты точки ЛХ, т. е. равно 2; б) расстояние от точки ЛХ до оси ординат равно 3; в) расстояние 8( от точки ЛХ до начала координат находим по формуле расстояния между двумя точками: Ответ. а) 2; б) 3; в) ДЗ. 940. Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А(2;7), В(— — 2; 7); б) А( — 5; 1), В( — 5; — 7); в) А( — 3; 0), В(0;4); г) А(0; 3), В( — 4; 0) Р е ш е н и е. Используя формулу расстояния между двумя точками, )А — )-2 — 2) 4)7 — 7) — 4:5)А — 370 8)--8) =8; )АВ= 3'44 =5; )АВ=-Д 4);-) — 3) =5.

О т в е т. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5. 941. Найдите периметр треугольника Л175 Р, если ЛХ(4;0), Л)(12. — 2), Р(5; — 9) Решен = ъ)68 = 2т)АГ7 1Л7Р =- ВАР= 07)4 — 5) 4-)04 3) = 82. ЛХХ + 13(Р + РМ = 2577(7 + 7 372 + ь)82 О т в е т. 2Д 7 + 7ь)2 + ьг82. 942. Найдите медиану АЛ1 треугольника АВС, вершины которого имеют коордиваты: А(0; 1), В(1; — 4), С(5;2). 15 р 2. Простейшие задачи и координатах Р е ш е н и е. Сначала находим координаты ш и у середины ЛХ отрезка ВС:ш= =3;у= = — 1.

1 -Ь 5, — 4 Ч- 2 2 ' 2 Медиану АЛЬ вычисляем по формуле расстояния между двумя точками: О т в е т, ь'ГЗ . 943. Точки В и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох н Оу, а точка Л лежит на отрицательной полуоси Ох, причем ОА = а, ОВ = = Ь, ОС = 6. Найдите стороны АС и ВС треугольника АВС. Решение. Точки А, В, С имеют следую)цие координаты: А(-а)0), В16)0), С(0; 6). По формуле расстояния между двумя точками находим: АС = т)) аа + 6з, ВС =- ~4~ + 62 О т в е т.

т))ав + 6~ и т)гЬт + 6з . 944. Вершина А параллелограмма О,4СВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты гЬ) с), а ОА = а. Найдите а) координаты вершины С; б) сторону ЛС и диагональ СО. Р е ш е н и е. а) Так как сторона ОА лежит на оси абсцисс, то сторона СВ параллельна оси абсцисс и поэтому ордината у точки С равна ординате точки В, т. е. у = с. Абсцисса и точки С больше абсциссы точки В на длину стороны СВ, т. е.

ш = Ь+ СВ, а так как СВ = ОА = = а, то х = а + Ь. Итак, С(а+ 6;с). б) Точка А имеет координаты (а;О), точка О координаты (0)0). Сторону АС и диагональ СО находим по формуле расстояния между двумя точками: = тгйз+с', СО = О .. - . ) ) б; .); б) ,б б Е ° ббе), ~5 )) б, 945. Найдите сторону ЛС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА = о н ВС = д, если точка Л лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты гу) с).

Р е ш е н и е. Точка А имеет координаты (а; О). Основание ОА лежит на оси абсцисс, поэтому основание ВС параллельно оси абсцисс и, следовательно, ордината у точки С равна ординате точки В, т. е. у = с. !6 Гл. Г Метод координат Абсцисса х точки С больше абсциссы точки В на длину основания ВС, т. е. х = 6+ д. Итак, С(6+ у);с). Сторону АС и диагональ ОС находим по формуле расстояния между двумя точками: Аа=тр)брб-,)'РА, СС=))))РАГУВ. с,....