atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна)

УДК 373.167.1:514 ББК 22.15! я.721 Г36 Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. 9 класс. -- М.. ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 160 с. !ЯВ)т) 5-9221-05?4-4. Настоящее издание является третьей частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7 — 9а Л С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.

Б. Кадомцева, Э Г. Позняка, И. И Юдиной 1Мг Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 9 классу. Ос ФИЗМАТЛИТ, 2005 50 Л.С Атанасян, В Ф Бутузов, С Б Кадомпев, И. И Юдина, 2005 !БВ)х) 5-9221-0574-4 ОГЛАВЛЕНИЕ при решении задач Глава 1. Метод координат 3 1 Координаты вектора ф2. Простейшие задачи в координатах...

Применение метода координат к решению задач 3 3. Уравиеиия окружности и прямой. Использование уравнений окружиасти и прямой Дополнительные задачи Применение метода координат к решению задач Задачи повышенной трудности Глава 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника Скалярное произведение векторов .. 3 1.

Синус, косинус и тангенс угла ф2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 3 3. Скалярное произведение векторов Применение скалярного произведения векторов к решению задач... Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности Г л а в а 3. Длина окружности и площадь круга . й 1. Правильные многоугольники $ 2 Длина окружности и площадь круга . Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности 5 5 !1 !9 22 36 35 ф~ 49 6! б! 66 78 85 85 97 10? 107 !15 126 135 Оглавление Глава 4. Движения. ф1.

Понятие движения . ф'2. Параллельный перенос и поворот Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности . !41 14! !45 147 152 Глава 1 МЕТОД КООРДИНАТ ф 1. Координаты вектора 911. Найдите такое число й, чтобы выполнялась равенство лп = йгп, если известно, что; а) векторы т и и противоположно направлены и )гп = 0,5 см, ! и" ( = 2 см; б) векторы т и й сонаправлены и )т) = 12 см, ( и'! = 24 дм; в) векторы и) и и противоположно направлены и )т) =- 400 мм, (и~) = 4 дм; г) векторы т и и" сонаправлены и !т,! = ъ'2 см, ( п ) = зХ50 см. Решение.

Пусть ти ф О. Тогда если и 11 т, то и = йт, при й = —, а если и 11 т, то п = йт при й = — —. Исходя из этом! — — — — !гг~ (йз( )и! 2 п~ 240 го, получаем: а) й = — = — = — 4; б) й = = = 20; )га' 0 5 ' (т) 12 в)й= — = — = — 1;г)й=- = =5. ! а ( 400 )У! ъ'50 )т( 400 ' )т! Я Ответ. а) — 4; б) 20; в) — 1; г) 5. 912. Диагонали параллелограмма АВСР пересекаются в точке О, ЛХ— середина отрезка АО. Найдите, если это возможно, такое число й, чтобы выполнялось равенство: а) ЛС = йЛО; б) ВО = йВР; в) ОС' = йСЛ; г) ЛВ = = йРС: д) ВС =. йРЪ! е) АЛХ = йСА; ж) ЛХС = йАЛХ; з) АС = йСЛХ; и) А. — йЖ; «) Лд — й)з.б.

Решение. а) Так как (ЛС( =- 2!АО) и АС )Т АО (рис. 1), то АС = 2.40, т. е. й = 2. Аналогично получаем: б) ВО = О ! — ч 1 — ' 1 — г 2 ' 2' 2 .= — ВР, т. е. й = —; в) ОС = — — СЛ, т. е. М й= — —;г)АВ=-РС,т.е,й=1;д)ВС= Л '2' Р = -РА, т. е. й =- — 1; е) АЛХ = — — СА, Рис. 1 4 Гл. !.

Метод координат — ', 4 —,— — ' т, е. 6 = — —; ж) МС = 3А61, т. е. 6 = 3; з) АС' = — гСЛХ, т. е. 4' ' ' ' ' 3 4 6 = — —; и) так как векторы АВ и ВС не коллинеарны, то не суще- 3' ствует такого числа 6, для которого АВ = ЬВС; к) так как векторы АО и ВВ не коллинеарны, то не существует числа 6, такого, что АО =- ЬВР.

Ответ. а) 2; б) —; в) — —; г) 1; д) — 1; е) — —; ж) 3; з) 1 1 ! 4 2' 2* ' ' 4' ' 3' и) решения нет; к) решения нет. 913. Векторы а и б коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а 4-3 б и а; б) 6 — 2 а и а? Ответ обоснуйте. Решение. а) Так как векторы Ь и 3 Ь коллинеарны, а векторы а и Ь коллинеарны по условию, то векторы а и 3 Ь коллинеарны. Сумма двух коллинеарных векторов есть вектор, им коллинеарный, поэтому векторы а + 3 6 и а коллинеарны.

б) Так как векторы а и 6 коллинеарны, то векторы 6 — 2а и а коллинеарны. Это доказывается так же, как в п, а). Ответ. а) Да; б) да. 914. Докажите, что если векторы а и б не коллинеарны, то; а) векторы а -ь б и а — б не коллинеарны, б) векторы 2 а — б и а + 6 не коллинеарны; в) векторы а -ь Ь и а -)-3 б не коллинеарны. Решение. а) Так как векторы а и Ь не коллинеарны, то а + — — ) + б у'= О. Допустим, что векторы а + 6 и о, .

б коллинеарны. Тогда, согласно лемме о коллинеарных векторах, существует такое число 6, что а — Ь = к( а + Ь ). Отсюда получаем: (1 — к) а = (1+ 6) 6. При любом 6 хотя бы одно из чисел !1 — 6) и (1+ й) не равно нулю. Пусть, например, 1+ 6 у! О. Тогда, умножив на число 1 — ! — 6 —, получим Ь = — а. Отсюда следует, что векторы Ь и а 1-Ьк' !46 коллинеарны, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно и, значит, векторы а + 6 и а — б не коллинеарны. б), в) Доказательство проводится так же, как в п. а). р 1.

Координаты вектора 915. Точка ЛХ лежит на диагонали АС параллелограмма АВСХ1, причем АМ: МС = 4: 1. Разложите вектор АМ по векторам а = Аь н 6=А0. Решение. Так как АЛХ; МС = 4; 1, 4 то АЛХ = — АС (рис. 2), а поскольку 5 Рис. 2 АЛХ (! АС, то АЛ| = —.АС. Но АС = АВ+ — 4 — ' + АХ) (по правилу параллелограмма), поэтому АМ = — (АВ + АР), 5 т.

е. АЛХ = — а -' — Ь. 5 5 — 4 4 — ч Ответ. АЛХ = — а + — 6. 5 ' 5 (4 — х) о, + (5+ у) Ь = 0 = 0 а + О. Ь . Отсюда следует, что 4 — х = О, 5+ у =- О, т. е. х =- 4, у = — 5. Аналогично получаем: в) х = О, у = 3; г) х=- — 1, у=- —. 1 3' Ответ. а) — 1 и 3; б) 4 и — 5; в) О и 3; 1 г) — 1 и —.

3' 917. Начертите прямоугольную систему координат Оху и координатные векторы 1 и Постройте векторы с началом в точке О, заданные координатами а (3;О), Ь (2; — 1), с (О; — 3), а (1; 1), е (2; кг2). Решение. См. рисунок 3. Рис. 3 916. Векторы а и Ь не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству; а) За — х Ь = уа + Ь; б) 4а — ха 4 5 Ь + у Ь = 0; в) х а + 3 Ь вЂ” у Ь = 0; г) а + Ь вЂ” Зу а + х 6 = 0.

Ре ш е н не. а) Коэффициенты разложения данного вектора по двум данным неколлинеарным векторам а и Ь определяются единственным образом, поэтому из равенства 3 а — х Ь = у а + 6 следует, что у = 3, — з = 1, т. е. х = — 1, б) Запишем данное равенство в виде Гл. Д Метод координат 918.

Разложите векторы о, Ь, с, д, е и у', изображенные на рисунке 4 (рис. 276, а, б, в учебника), по координатным векторам г и у и найдите их координаты. Р е ш е н и е. а) а =.2г +Зу, а(2;3); б) Ь =- — 2 г +3 у, Ь( — 2;3); с = 2 г, с'(2;О); — — — г в) г1 = — Зг — 4у, ог( — 3; — 4); е = 2г — 21, е(2; — 2); 7= -4г — 5у, у( — 4;--5). Ответ. а(2;3), Ь( — 2;3), с(2;О), сХ( — 3; — 4), е(2; — 2), 7( — 4; — 5). — — 1 — л 919. Выпишите координаты векторов а' = 2 г -Н 3 1, Ь = — — г — 22, 2 — — — — Ф > с =-8 г, д = г — г', е = — 22, ~' = — г.'.

Решение. а(2;3), Ь ( — —; — 2), с (8;0), г1(1; — 1), е (О; — 2), 7(-1;О). Ответ. (2;3), ( — —; — 2), (8;0), (1; — 1), (О; — 2), ( — 1;О). 920. Запишите разложение по координатным векторам г и у вектора: а) тм( — 3; — );б) д( — 2; — 3);в) з( — 1;О);т) й(0;3);д) ю(0;1).

'5 Рис. 4 Э 1. Координагаы векслера Решение, а) х = — 3! + — 1; б) у = — 21 —. 3 з; 5 г) й = Зд; д) и = д . Ответ, а) — 31 + — З; б) — 21 — 31; в) — 1; г) 37' 5 в) -= — 1; д) ~''. 922. Найдите координаты вектора а + Ь, если а) а(З;2), Ь (2;5), б) а(З; — 4), Ь(1;5); в) а ( — 4; — 2), Ь(5;3); г) а(2;7), Ь( — 3; — 7).

Ре ш е н не. При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются, поэтому для координат вектора а + Ь получаются следующие значения: а) (5; 7); б) (4; 1); в) (1; 1); г) ( — 1; 0). Ответ, а) (5; 7); б) (4; 1); в) (1; 1); г) ( — 1;0). 923. Найдите координаты вектора а — Ь, если а) а (5; 3), Ь (2; 1); б) а (3;2), Ь (3;2); в) а (3;6), Ь (4; -3); г) а (-5; -6), Ь (2; -4). Р е ш е н и е. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Поэтому для координат вектора а — Ь получаются следующие значения: а) (3;2); б) (6;0); в) ( — 1;9); г) ( — 7; — 2). Ответ. а) (3;2); б) (6;О); в) ( — 1;9); г) ( — 7; — 2). 924. Найдите координаты векторов 2 а", За, — а, — За, если а, (3;2). Решение. При умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число, поэтому для искомых координат векторов получаются следующие значения: 2 а (6;4); 3 а (9;6); — а ( — 3; — 2); — За ( — 9; — 6). Ответ. (6; 4), (9; 6), ( — 3; — 2), ( — 9; — 6). 921. Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию; а) х 1 + уд =5з — 2);б) — 31 +уд =хт +73;в) х1+у) = — 41,г)х1+уд = О.

Решение. а) Коэффициенты разложения данного вектора по координатным векторам 1 и з' определяются единственным образом, поэтому из равенства х 1 + у 1 = 5 г — 2 7 следует, что х = 5, у = — 2. Аналогично получаем: б) х = — 3, у = 7; в) х = — 4, у = 0; г) х = О, у=О.

Ответ. а) 5 и — 2; б) — 3 и 7; в) — 4 и 0; г) 0 и О. 1О йк й Мемед координаги 925. Даны векторы а (2, 4), Ь ( — 2, О), с (О, О), д (-2, -3), с (2, -3), 7 (О;5). Найдите координаты векторов, противоположных данным. Р е ш е н и е. Так как — р = (-1) р, то для координат векторов, противоположных данным, получаются следующие значения: — а (-2; -4), — 6 (2;0), — с (О;0), — д (2;3), — е ( — 2;3), — 7'(О; -5). Ответ. ( — 2; — 4), (2; О), (О; 0), (2; 3), ( — 2; 3), (О; — 5). 926. Найдите координаты вектора и, если; а) ~и = — 3 а — 3 Ь, а (2; — 5), 6( — 5:2); б) й = 2а — 36 44с, а(4,1), 6(1;2), с(2,?), в) и =За — 2Ь вЂ” — с, а( — 7; — 1), 6( — 1?), с(4; — 6) г) и = а — 6 — с, 2 а (7; -2), Ь (2; 5), с (-3, 3).

Решение. а) п(3 2 — 3( — 5);3( — 5) — 3 2), т. е. и(21; — 2!); б) о(2 4 — 3 1+4 22 1 — 3 2+4 7) т е. п(1324). Аналогично находим: в) и'( — 21; — 14); г) 17(8; — 10). Ответ. а) (21; — 21); б) (13; 24); в) ( — 21; — !4); г) (8; — !0). 927. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого.

Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Решение: 1) Пусть векторы а'(х~.,ри) и Ь (хт,рз) коллинеарны. Если оба вектора нулевые, то их координаты равны нулю и мы считаем такие координаты пропорциональными. Пусть хотя бы один из векторов ненулевой, например, а ~ 0 . Докажем, что в этом случае координаты вектора 6 пропорциональны координатам вектора а, т.