atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 10

ГЗ ' 1 2 1013. Найдите я!по, если; а) сова = —; б) сова = — —; в) сова = — 1. 2' 3' Решение. Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: яш сь+ сов о = — 1. 2 2 .2 — — — Г ! згЗ а) я)п т = ъ~1 — соя гх = )/1 — — =-— 4 2 63 ф 1. Синус, косинус и тангенс угла б) япо= 1 — ( — — ) 2 Л о г . =, Г- ~- Чо = о. Ответ, а) —; б) —; в) О. хо 3 Л 2 ' 3 ххЗ 1014. Найдите сова, если: а) япа = —: б) япа = —; в) вша = О.

2' 4' Р е ш е н и е. Для решения задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. а)сова=3- ! — зш а =-~ 1— 2 ~ 2' о) — от ~ — Я в) сова = ~уТ вЂ” 0 = ~1. Ответ. а) я —; б) ~; в) я1. 1 ъ~15 ъ'3 . хх2 1015. Найдите хяа, если; а) сова = 1; б) сова = — —: з) япа =— 2 ' 2 3 и 0' < а < 90', г) яп а = — и 90' < о < 180'.

5 Решение. Для решения задачи воспользуемся определением таняпо генса угла: ой а = сова Со..=от:тг, ~ =о.о..=-=о; 0 1 1' 3'! ! ! / 3'х 3 б) вша = 1 — — — = —, тяо = —: 2 / 2' 2 ~ 2) 3 в) так как 0' < сх < 90', то сова = 1 — вш о = о11 — — = —, Г 2 ъ~2 4 2 кх2 г2 !Ко= —: — =1; 2 ' 2 г) так как 90' < о < 180', то сова = — 1 — з1п а = — г 1 — —, 25 4 3 / 4х 3 5' 5'1, 5) 4' Ответ.

а) 0; б) — —,; в) 1; г) — —. хг3 3 3 ' ' 4 64 Гл. 2. Соотношения между егаоронами и углами треугольника 1016. Вычислите синусы, косинусы и тангенсы углов !20', 135', 150'. Решение. 1. яш 120' =- яш 1180' — 60') =- вш 60' = — —, 2 соя120' = соя (!80' — 60') = — соя60' = — —, 2' !а !20а ь1п 120' У3 / 1') ту3 соя 120' 2 1, 2! ъ'2 2 ьХ2 2 1,. 135а ьш 135 аг 2 ( аХ2 сов!35' 2 ' 1, 2 ( Р50„в1п 150' соя 150' ,~3 Ответ. —, — — и 2 ' 2 — Я; —, — — и— ьГ2 ьГ2 2 ' 2 2 3 2 1017. Постройте АА, если: а) яшА = —; б) сояА = —; в) совА =. — —.

3' 4' 5' Решен не. а) Для построения угла А воспользуемся определением синуса. На единичной полуокружности построим точку ЛХ так, чтобы 2 2 ее ордината была равна —. На рисунке 32, а: АЛХя = — АС, аЛХ!АЛХ 3' 3 искомый. б) Аналогично, на единичной полуокружности построим точку ЛХ 3 3 так, чтобы ее абсцисса была равна —. На рисунке 32, б; АЛХ! = -АХд, 4 4 АМ!АМ - . искомый.

2 в) На рисунке 32, в: АЛХ! =. — АЕ, аХ)АЛХ вЂ” искомый. 5 Л~, А Рис. 32 2. я!и 135' =- вш (180' — 45') =- яш 45' =- соя 135' — — соя (180' — 45') = — соя45' =- 3. я1п 150' = я1п (180' — 30') = яш30' = сов 150' = соя (180' — 30') = — сов 30' = 1 2' ьГ3 2 ьу3 3 Х3и 3 1'2' 2 3 9 А Синус, косинус и тангенс угла 65 1018. Угол между лучом ОЛ, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен си Найдите координаты точки А, если: а) ОА =- 3, о = 45', б) ОА = 1,5, о = 90', в) ОА = 5, о = ! 50', г) ОА = 1, о = 180', д) ОА = 2, о = 30'.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулами для вычисления координат точки (см, п,95): Л (нч у) Рис. ЗЗ х = ОАсово, у = ОАз1псг, где (х; у) — координаты точки А (рис. 33). кг2 нг2 а) ОА =. 3, о = 45', яп ст =.- —, соз ст = —; 2 ' 2 3 2 3.2 3 '2 3 2.А/'3 2.Ы 2 2 ' 2 2 ' \ 2 ' 2 /' б) ОА = 1,5, сг =- 90', яп 90' =- 1, сов 90' = 0; х = 1,5 . 0 = О, у = 1,5 . 1 = 1,5; А(0; 1,5). в) ОА =- 5, о = 150', яп 150' = —, соз!50' = —— ,Гз 2' 2 чу!016)'х=5 нс 1 бнсЗ 5 ! 5 А( 2 / 2 ' 2 2' ! 2 г) ОА = 1, о =- 180', яп 180' = О, сов 180' =- — 1; х = 1 у=1 0=0;А( — 1;О). (см. зада ( — 1) = — 1, д) ОА = 2, о = 30', яп30' = —, соз30' = —; Л 2' 2 х = 2 — = у'3, у =- 2 — =- 1; А( нгЗ; 1). исЗ 2 ' 2 Ответ.

а) ( —; — ~; б) (О;1,5); в) ( — —; — ~; г) ( — 1;О); / Зьс2 Знг2 'Г / ЗьгЗ 5 г 2 ' 2 ~' ' ' ' ~ 2 '2~' д) (й3; !). 1019. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты: а) (2; 2); б) (О; 3); в) ( — ъ'3; !); г) ( — 2ъ'2; 2ъ'2). Р е ш е н и е. Пусть о — угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох (см. рис. 33).

По формулам (1) задачи 1018 т = — ОАсозсл, у =- ОА ягтсг. сова = сов(90' — м), ст = 90' — ст, о = 45'. 3 Л.С Атанесян и лр. а) А(2; 2); 2 = ОАсозо, 2 = — ОАзшо, поэтому созсг = ьшсг. Отсюда следует, что 66 Вл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника б) А(0; 3); 0 = ОА сов о, 3 = ОА яп о, сов ел = О, о = 90'. в) А( — Я; 1); — х 3 = ОАсозо, 1 = ОА зшо. Отсюда следует, что ашо 1 ! о = ' = — —; о = 150' (ели задачу 10!6). 3 г) А(-2зГ2;2ъ2); — 2ъ2 = ОАсозо, 2хГ2 = ОА з!по. Отсюда 2ьГ2 следует, что !во = = — 1, о = 135' (см. задачу 10!6).

— 2ъ'2 От в ет. а) 45', б) 90"; в) 150'! г) 135'. 9 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 1020. Найдите площадь треугольника АВС, если; а) АВ = 6~8 см, АС=4 см, ~А=60'! 6) ВС=З си, АВ= !8ъ'2 см, кВ=45', з) АС= = !4 см, СВ = 7 см, кС = 48'. Решение. По теореме п.96 площадь Я треугольника АВС равна: Я = — АВ АС япА.

1 2 а) Я = ! †. 6хг8 .4з!п60') смз = ЗхГ8 4 — смз = — 12ь(б смз. г! .,х з ъЗ ~,2 ) 2 б) В = — ВС ВА. япВ = ~ — . 3. 18ъ'2 ) смз = 27 смз. Г! .2~ 2 ~х2 2) в) Я =- — СА СВ япС =- — 14 7яп48' смз. ! . 1 2 2 По таблицам тригонометрических функций находим: вш48' = = 0,743!. Следовательно, В = 49 0,7431 смз = 36,4! смг. Ответ.

а) 12ьГ6 смз; б) 27 смз; в) = 36,4! смз. 1021. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данный параллелограмм, в котором аА = о (рис.34). Докажем, что его площадь Я вычисляется по формуле: В = АВ АР зшоп Возможны три случая: сь = 90', сл < 90', о ) 90'.

В первом случае эта формула очевидна. Рассмотрим два других случая. Для этого проведем высоту ВН параллелограмма. Если о < < 90', то точка Н лежит на луче АР (рис.34, а), поэтому в тре- ф 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 67 С В Н и Н А б Рнс 34 1022. Площадь треугольника АВС равна 60 см-'. Найдите сторону АВ, если АС = 15 см, АА = 30'.

Р е ш е н и е. Пусть Я вЂ” плошадь треугольника АВС. По теореме п. 96 Я = — АВ. АС вшА; 1 2 60 см = — АВ . 15 см в!п 30' = — . 15 см . — АВ = — см . АВ. я ! ° ь 2 2 ' 2 4 Отсюда находим АВ: АВ = — — см = 16 см. 60 4 !5 Ответ, 16 см. 1023. Найдите плошадь прямоугольника, диагональ которого равна !О см, а угол между диагоналями 30'. Решение.

Пусть АВСР -- данный прямоугольник, Я вЂ” его плон!адь, Π— точка пересечения диагоналей АС и ВР, АС=ВР=-1О см, сАОВ= =- 30' !рис. 35). Найдем сначала площадь треугольника АВС: Рис. 35 алис' = — АС ВН, 1 2 угольнике АВН АВАЕЕ = сн Следовательно, ВН = АВ вш о. Так как Я = АР ВН, то В = ЛВ АР. в)псь. Если сь ) 90', то точка Н лежит на продолжении луча АР !рис. 34, б), поэтому в треугольнике АВН г'ВЛН = 180' — о, следовательно, ВН = АВ щпВАН = АВ в!п(180' — сь) = АВгйпо, и Я = АР ВЕЕ = АВ АР вш сь.

68 Гл. 2. Соотношения между егаоронами и углами треугольника ! где ВН вЂ” высота треугольника. В треугольнике ОВН: ВН = — ВО = 2 1 5 — 5 см = — см (см. п.34, 2'). Следовательно, 2 2 Влвя =- — 10 — см =- 12,5 см . 1 5 з г 2 2 Так как В = 5лвс+ Влвя = 2ЯАвс, то Я = 25 ем~. Ответ. 25 смз. 1024. Найдите площадь треугольника АВС, если: а) АА = а, а высоты, проведенные нз вершин В н С, соответственно равны !ьь и Ьа б) АА = а, АВ = д. а высота, проведенная нз вершины В, равна а. Решение.

а) На рисунке 36, а: АВС вЂ” данный треугольник, аА = а, ВВ! = йь, СС! = Ьь — высоты треугольника. По теореме и. 96 плогцадь В треугольника вычисляется по формуле Я = — АС АВ япА. ! 2 Найдем АС и АВ. В треугольнике АСС!. СС! =- АСяп А =- АС х х зша (это равенство верно при любом значении а: а < 90', а = 90' или а ) 90'). Отсюда имеем: АС = " . Аналогично, в треугольнике япа АВВ!. ВВ! = АВяпА, АВ = в!и а Таким образом, 1 , 1 5 йь Йьй Я =- -АС. АВ япа =- — — ' — зша =- 2 2 з!па япа 2зша б) На рисунке 36, б: АВС вЂ” данный треугольник, ЛА = а, аВ = — В, ВВ! = й — высо~а треугольника. А В В с, Рис.

36 р 2. Соотношения между сторонами и углами треугольники 69 Площадь В треугольника АВС вычисляется по формуле: В = 1 АС = — й АС. Выразим АС через Ь„а,,3. По теореме синусов 2 ешВ АВ в!П,д ,; г'С = 180' — а — 13, поэтому АС = АВ, ' ' . В треуголь- япС' вш!а+ В) Ь нике АВВ! — = япа, АВ = АВ ' япа' ЬяпД Таким образом, АС = япа в!п(а Ч- ))) Ье в!пу Следовательно, Я = 2в!па в!гг(а 4 В) Ответ ) ' ' б) 2япа' 2 вша ь!п(а т д) 1025. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник АВС, если: а) сЛ =- 60', лВ =- 40', с =- 14; б) сЛ = 30', лС =- 75', Ь =- 4,5; в) лЛ =- — — 80', а = !6, Ь =- 1О; г) г'.В =- 45', лС =- 70', а =- 24,6; д) ЛЛ = 60', а.=.

1О, Ь = 7; е) а = 6 3, Ь = 6 3, хС = 54', ж) Ь = 32, с = 45, хА = 8?', з) а = !4, Ь=18,с=20; и) а=б,Ь=7,3,с=4,8. Решение. Пусть в треугольнике АВС; ВС = а, СА = Ь, АВ = с. а) Дано: г'.А =. 60', л'.В = 40', с = 14. Найти: л'.С, а, Ь. 1. По теореме о сумме углов треугольника находим хС: хС = = 180' — л'.А — л'.В = 80'. 2. По теореме синусов находим о и Ь: свшЛ 14яп60' а= !п С ь111 80' Здесь и в дальнейшем значения синусов для данных углов определяем по таблицам: вш 60' = 0,8660, вш80' = 0,9848.

14 0,8660 0,9848 сяпВ 14 в!и 40' 14 0,6428 еш С вш 80' 0,9848 б) Дано: ЛА = 30', л'С = — 75', Ь = 4,5. Найти; хВ, а, с. !. г'.В = ! 80' — л'А — л'С = 75'. 2.а= —, -= — ',--= — ' — '- =2,33. ЬяпА 4,5яп 30' 4,5 0,5 вш В вш?5' 0,9659 3. Так как 'В = л'.С, то с = Ь, поэтому с = 4,5. в) Дано: л'.А = 80', и = 16, Ь = 10.