atnasyan-gdz-9-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 13

Ответ. (а+ Ь)с =-3. 1052. Вычислите скалярное произведение векторов ~р =- о — Ь вЂ” сс и7у= а — Ь Ч-сс,если а~=5.~Ь,=2, с)=4и а д Ь. Решение. Воспользуемся распределительным законом скалярного умножения векторов; +Ь вЂ” Ь с — с а+с Ь вЂ” с =а +Ь вЂ” с — 2аЬ. З вЂ” ь — ь — ь — > — ья э~я 2 — ья По условиям задачи Ь =-(Ь)~=-4, с =- с(~.=-16, а Ь =-О, '(з = 25, поэтому Ответ, р д = 13. 1053. Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если а = = 3 р — 2 д и Ь .= ~я + 4~у, где ~р и ~у — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Решение.

Задача решается так же, как и задача 1052. и Ь = (3 р — 2 ц )( р + 4Щ .= 3 р Я + 12 р г1 — 2 у р — 8 у ~. Так как р ~ = ~ д =. 1, р 1 |~, то р з = ц з = 1, р <~ = ц р = О, поэтому а Ь =3 — 8=- — 5. Ответ. а, Ь = — 5. 1051. Известно,что а с = Ь с =60', )а(=1, Ь~=)с =2. Вычислите (а ч- Ь) с. Р е ш е н и е. 85 Дополнительные задачи Применение скалярного произведения векторов к решению задач 1056.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Решен и е. Пусть АВСР— произвольный ромб, АС и ВР— его диагонали. Рассмотрим векторы а = АВ, 6 = АР (рис.48). Тогда АС = и + 6, ВР = 6 — а,, поэтому АС ВР = (аа, + 6 )( б — а ) = = б з — а з. Так как АВСР— ромб, то АВ = ЛР, т, е. а = ~ Ь и а з = Ь з. Следовательно. АС . ВР = О, откуда следует, что АС д. ВР. Дополнительные задачи 1057.

В равнобедренном треугольнике АВС: АВ = .4С = 6, ЛЛ = 30'. Найдите высоты ВЕ и АР, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС. Ре ш ен не. 1. Найдем сначала сторону ВС данного треугольника АВС (рис.49). Для этого воспользуемся теоремой косинусов: ВСа = ба+ба — 2Ь б соз30' = 26а 1 — ) = ба(2 — ъ'3), 2 / ВС = 6|/2 — ъ'3 . 2. Найдем высоту ВЕ. В прямоугольном треугольнике АВЕ лА = ! 1 = 30', поэтому ВЕ =.

— АВ = — 6. 2 2 ' 3. Для нахождения высоты АР воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АВР: Вб а 2 б~ — ( ) = — (2Ь + Ь чг3) = — (2+ ъгЗ), 4 4 ' 4 АР =- — т„2+ тУЗ . У в с Рис 49 Рис 48 86 Дл. 2. Соо пношения между сторонами и углами треугольника 4. Найдем отрезок АЕ, пользуясь теоремой Пифагора для треугольника АВЕ: АЕз = АВЯ вЂ” ВЕз = Ьз — — Ьз = — Ьз, 4 4 АЕ = — ъ'3. 5. ЕС = АС вЂ” АЕ = Ь вЂ” — хГЗ = — (2 — АЗ). О т в . —, — хгп2+ ~ З, — Л, — !2 — Л), Ь й — гсЗ . 1058.

Найдите площадь треугольника ЛВС, если: а) ВС вЂ” — 4,125 м, аВ =- = 44', кС = 72'. б) ВС = 4100 м, ЛА = 32', .'С = 120'. Решение. а) Г1о теореме о сумме углов треугольника найдем г'.А: ЛА = 180' — а — лС = 64'. Пользуясь теоремой синусов, найдем АВ: ВС в|и С 4,125 и з1п72' 4,125 и -0,9511 в!и А з!п64' 0,8988 Найдем теперь площадь Я треугольника АВС: Я = — АВ ВС. в)пВ = — 4,365 м. 4,125 м в)п44' = 1 . 1 2 2 = †. 4,365 м.4,!25 м 0,6947 = 6,254 м~.

2 б) Задача решается точно так же, как и задача а: г'В =- 180' — аА — аС =- 28', 120' ьап А ьш 32' 0,5299 В = — АВ ВС гйпВ = †. 6700,5 м.4!00 м в)п28' = 1 . 1 2 2 — 6700,5 м 4100 м . 0,4695 = 6449063,5 мз. 2 Ответ. а) = 6,254 мз; б) = 6449063,5 мз. 1059. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей иа синус угла между ними. Р е ш е н и е. Пусть АВСО выпуклый четырехугольник. Согласно задаче 814 его диагонали пересекаются в некоторой точке О и поэтому разделяют четырехугольник на четыре треугольника: ОАВ, ОВС, 87 Дополнительные зада ш ОСР и ОРА (рис. 50). Если  — площадь четырехугольника, то Я = Яаолн + Японо + + Вьосо + Ваоол. Обозначим буквой а один из углов между диагоналями четырехугольника. Тогда остальные три угла равны 180' — а, а, 180' — о.

По теореме о плогцади треугольника (и. 96) имеем: Рис. 50 1 заоди = †. ОА ОВ в!пгл. 2 Ваонс — ' — ОВ ОС. яп(180' — о) =- — ОВ. ОС з!па, и 2 2 1 Яаосо =- -ОС ОР.в!пег, 2 ! Засол = — ОР ОА в!псь, 2 поэтому В = — япо(ОА ОВ+ОВ ОС+ОС.ОР+ ОР.ОА) = 2 = — зш а(ОА(ОВ + ОР) + ОС(ОВ + ОР)) = ! ! 2 =- — з!вы(ОА+ ОС) ВР = — АС ВР япо. 2 Итак, Я = — АС .

ВР зш а, что и требовалось доказать. 1 2 л'.С =!80' — х'.А — 'В = 105'. По теореме синусов находим а и Ь: с япА 8 см яп30' 8 см 0,5 8 см 0,5 4 вп С зш 105' зш 75' 0.9659 с впВ 8 см.вп45' 8 см О,?071 = 6 см. вп С яп 105' 0.9659 б) Дано: ЛВ = 45', л'.С = 60', с = 5 см. 1060. Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если: а) л1В = 8 см, л'А = 30', лВ .= 45'! б) АВ .= о см, лВ = 45', лС = 60'! в) АВ = 3 см, ВС = 3,3 см, л'.А = 48'30'; г) ЛС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, ~В = 62'48'. Р е ш е н и е.

Пусть в треугольнике АВС: ВС = а. СА = 5, АВ = с. а) Дано: ЛА = 30', л'.В = 45', с = 8 см, Найти: аС, а, 5. 1. По теореме о сумме углов треугольника находим ''С: 88 Вл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника Найти: аА, а, Ь. 1. аА = 180' — к' — г'.С =- 75'. с гйпА 5 см япт75' 5 см 0,9659 я!п С я!п 60" 0,8660 с впВ 5 см в!п45' 5 см 0,707! 3.

Ь = — -'- — - = — — -' —,— = — — — ' — — = 4 см. в!п С я1п 60' 0,8660 в) Дано; аА = 48'30', с = 3 см, а = 3,3 см. Найти: аВ, кС, Ь. с.я!пА 3 см яш48'30' 3 см 0,7490 0 6809 а З,З З,З = 42'55'. 2. аВ = 180' — аА — аС = 180' — 48'30' — 42'55' = 88'35'. с сйп В 3 яш 88'35' 3 0,9997 — сйпС вЂ” яп42.55 - 06809 -44™ г) Дано: ЛВ = 62'48', Ь =- 10,4 см, а = 5,2 см. Найти: г'А, л'С, с. а яш В 5,2 я!п 62'48' 5,2 0,8890 0 4445 Ь 10,4 10,4 = 26'22'.

2. г'.С = 180' — кА — аВ = 180' — 26'22' — 62'48' = 90'50'. а я!пС 5,2 см.я!п90'50' 5,2 см 0,9999 я!п А 0,4445 0,4445 Ответ. а) ЛС = 105', а = 4 см, Ь = 6 см; б) ''А = 75', а = б см, Ь = 4 см; в) аВ = 88'35', аС = 42'55', Ь = 44 см; г) аА = 26'22', г'С = 90'50', с = 11,7 см. 1061. Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если: а) А — — 5см, АС=-7,5 см, сА=-!35',б) АВ=2ъ2 дм, ВС=-3дм, кВ=- АЗ = 45*, в) АС = 06 и, ВС = .— дм, кС = 150'. Решение.

Пусть в треугольнике АВС: ВС = а, СА = Ь, АВ = с. а) Дано: кА= 135', с=5 см, Ь=7,5 ем. Найти: В, 'С, а. 1. По теореме косинусов находим а: а~ =. ЬЯ+ сз — 2Ь с совА, сояА = сов!35' = — соя45' = — 0,7071, аз = (7,5 см)Я + 15 см)з + 2 5 см 7,5 см 0,7071 = 134,28 смз, о, = у'!34,28 см = 12 см. Ь я!пА 7,5 гйп !35' 7,5 0,70?! и 12 12 = 26'1!'. 89 Дополнительные зада ш 3. ЛС = 180' — лА — ЛВ = 18'46'. б) Дано: лВ = 45', с = 2у'2 дм, а, = 3 дм. Найти: аА, сС, 6. 1. По теореме косинусов находим 6: Ьз = аз + св — 2 а с сов В = = 9 дмз + 8 дмв — 2.

3 2ьг2 — дмз = 5 дмз, 2 6= т75 дм. 2. совА — ' ' — — — = 0,3162, хА = Ьз+г — аз 5+8 †4 хгГО 2Ьс 2 т75 . 2т72 4ЛО = 71'34'. 3, аС = 180' — аА — аВ = 63'26'. в) Дано: АС=!50', 6=0,6м=бдм,а= дм. тГ3 4 Найти; л'А, ЛВ, с. = (6дм) + — дм +2 6 — х 3, 3 16 4 1. св = ав + Ьв — 2абсовС х — дмв = 40,6875 дмз, с = 6,379 дм = 6,4 дм. 3 2 Ь + с — а' 36+ 40.6875 — 0,1875 76,5 4 2Ьс 2.

6 6,379 76,548 л'А = 2'. 3. л'.В = 180' — л'.А — аС = 28'. О т в е т, а) аВ = 26'14', лС = 18'46', а = 12 см; б) аА = 71'34', л'С = 63'26', б = у'5 дм; в) аА = 2', аВ = 28', с = 6,4 дм. 20,25 + 49 — 98,01 28,76 0 4565 63 63 аР = 180' — 62'50' = 117'10'. 2. Аналогично находим говЕ: ь'Е = 4,5 +9,9 — 7 69,26 0.7773, 2 4,5 9,9 89,1 аЕ = 39'. 1062. В треугольнике РЕГ: РЕ = 4,5 дм, ЕГ =- 9,9 дм, РГ = 70 см. Найдите углы треугольника. Р е ш е н и е.

1. По теореме косинусов находим сов Еч Рао и РЕз — ЕЕ 4,5~ Ч- 7 — 9,9л 2РЕРЕ24,57 90 Гл. 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 3. л'Е =- 180' — г Р— к'Е = 23'50'. Ответ. к'.Р = 117'1О', г'.Е = 39', г'.à — 23'50'. 1063. Найдите биссектрису А!д треугольника АВС, если кА=о, АВ=с, АС=6 Решение. Очевидно, Вгьлвс = Вгьлвр+ + Вгглрв !рис.51). Так как ! Всгтвс Ь с яшгг ! Вгглвв = с ' х яггг —, 2 2' ! .

о Вгьлср = -Ь х я!п —, 2 ' " 2' С р в Рис. 51 где х=АР, то 1 . 1 . и 1 . о 2 2 2 2' 2' — Ьс яш сь = — 6х яш — + — сх яш или Ьсгйпсь = х!6+ с) гйп —. 2 о а Учитывая, что гйпсь = 2гйп — соя —, получаем: 2 2' Ьс. 2 соя — = х(6+ с), 2 откуда сг 2Ьс соя— 2 Ь+с 26с соя— О т в е т. Ь -1- с АВа = АСт + СВз — 2 АС СВ соя С, или АВ= 'е+е 2 й 1064. Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны точки А и В. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, находят расстояние АВ.

Найдите АВ, если АС = 6, СВ .= а, кАСВ = о Решение. Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем ЛВ: 9! Дополнительные зада ш АВ = 27)7 — 3) 3)3 — О) = '22, ВР= ф2 — 7) 2)7 — 3) = Г7 Рл=фЗ вЂ” 2) 3)Π— 7) =22. Таким образом, АВ > ВС > СА, поэтому тупым может быть только угол, лежа)ций против стороны АВ, т. е. угол С. По теореме косинусов найдем сов С: ВС + АС — АВ 17+ 2 — 29 5э)34 2 ВС АС 2, 377)7 . 272 34 Так как совС ( О, то угол С вЂ” тупой. О 5ъ~34 34 1066. Найдите длину вектора а = 3 7 — 41, где 7, и У вЂ” координатные векторы. Р е ш е н и е. Вектор а в данной системе координат имеет координаты (3; -4), поэтому )В$ — ), 37 )-А)' — 3. Ответ.

5. 1067. Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векторах а = 5 р + 217~ И 77 = Рр — 3))~, ЕСЛИ )эр) = = 2~~2, 77~ ! -- 3 и р 71 =- 45'. Р е ш е н и е. Пусть АВС — параллелограмм, построенный на векторах а и 5, АВ = )т, АР =. 6 (рис.52). Тогда АС= а + Ь, ВП= — 5 — а, поэтому Рис. 52 Ас — )Ар) — )7)в А ь),вр — )вр) — )7) 3 — ) 1065. Докажите, что треугольник с вершинами А(3, 0), В(1; 5) и С(2; 1) — тупоугольный.