atnasyan-gdz-7-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна)

УДК 373.167.1:514 ББК 22.15!я.721 Г36 Атанасян Л. С., Бутузов В Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. 7 класс. — Мз ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 120 с. 15Вуч 5-9221-0572-8. Настоящее издание является первой частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7 — 9» Л. С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э Г Позняка, И.

И. Юдиной (М. Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 7 классу. Ос ФИЗМАТЛИТ, 2005 Ос Л.С Атанасян, В Ф. Бутузов, С. Б Кадомцев, И. И Юдина. 2005 13В1т1 5-9221-0572-8 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 61 61 63 69 Г л а в а 1. Начальные геометрические сведения. 91. Прямая и отрезок. 32. Луч и угол 9 3. Сравнение отрезков и углов . 94. Измерение отрезков . 9 5. Измерение углов.

3 6. Перпендикулярные прямые. Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности к главе 1 Глава 2. Треугольники . 3 1. Первый признак равенства треугольников....... 32. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника 3 3. Второй и третий признаки равенства треугольников . 94. Задачи на построение . Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности к главе 2 .......... Глава 3.

Параллельные прямые. 31. Признаки параллельности двух прямых 32. Аксиома параллельных прямых. Дополнительные задачи Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника $ 1. Сумма углов треугольника. 9 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника 9 3. Прямоугольные треугольники .

$ 4. Построение треугольника по трем элементам Задачи на построение . Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности к главам 3 и 4.............. 5 5 6 7 8 12 14 19 26 30 30 33 38 45 48 58 73 73 77 82 88 91 95 105 Предисловие Настоящее издание является первой частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7 — 9» Л.С.

Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б, Кадомцева, Э.Г. Позняка, И. И. Юдиной (Мз Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 7 классу; в последующих двух выпусках будут представлены решения задач, относящихся к 8 и 9 классам. Нумерация задач в пособии такая же, как в учебнике издания 2000 года и последующих изданиях, Вслед за формулировкой задачи дается ее решение. В каждой главе приведены решения всех задач к параграфам (за исключением большинства практических заданий), затем — решения дополнительных задач и после этого — решения задач повышенной трудности. Приведенные решения не следует рассматривать как образец, которого нужно придерживаться при оформлении решений задач.

Так, например, мы не разбиваем решение задачи на отдельные занумерованные пункты, хотя вполне допускаем, что учитель в своей практике может это делать, акцентируя тем самым внимание учащихся на последовательных шагах в решении задачи. Болыпинство решений снабжено рисунками. Это относится в первую очередь к задачам первой и второй глав. В дальнейшем, в особенности при решении задач четвертой главы, рисунки даются не всегда. Для простых задач решения часто приведены без рисунка. Это также не следует рассматривать как обязательное правило. Читатель по своему усмотрению может снабдить рисунками решения и таких задач. Остановимся особо на задачах первой главы, в которых отрабатываются основные понятия и свойства простейших геометрических фигур — точек, прямых, отрезков, лучей, углов.

На наш взгляд, при решении этих задач следует опираться прежде всего на наглядные представления основных понятий. Отметим в связи с этим, что в первой главе учебника «Геометрия 7 — 9» не вводится понятие аксиомы и сами аксиомы не формулируются, а необходимые определения и исходные положения приведены в описательной форме на основе наглядных представлений. Этим и следует руководствоваться при решении задач первой главы. Авторьс Глава 1 НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ф 1. Прямая и отрезок 3. Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались.

Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи. Решен не, Проведем сначала две прямые а и 6, обозначим буквой О точку их пересечения. Проведем теперь третью прямую с. Возможны два случая: а) прямая с не проходит через точку О. Тогда она пересекает прямые а и 6 в точках А и В.

Таким образом, получилось три точки: О, А, В (рис.1); б) прямая с проходит через точку О. Получилась всего одна точка О (рис. 2). Рис. 2 Рис 1 Ответ. Возможны два случая: три точки и одна точка. 6. Проведите прямую и отметьте на ней три точки Сколько отрезков получилось на прямой? Решение.

Па рисунке 3 проведена прямая и на ней отмечены три точки А, В и С. Каждые две из этих точек определяют отрезок с концами в этих точках. Поэтому 1 В С р. Ы ° ьь -*р *р-: ЛВ. АС и ВС. О т в е т. Три отрезка. Рл. 6 На ~алиные геометрические сведения ф 2. Луч и угол 8. Проведите прямую, отметьте на ией точки А и В и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей АВ, ВС, СА, АС и ВА найдите пары совпадающих лучеи; б) назовите луч, который является продолжением луча С,4. Решение. На рисунке 4 изображен отрезок АВ и на этом отрезке — точка С. а) Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой, А С имеют общее начало и ни один из них не является продолжением другого луча.

Лучи АВ и АС удовлетворяют этим условиям, поэтому они совпадают. Точно так же совпадают лучи ВС и ВА. б) Луч СВ является продолжением луча СА, так как лучи СВ и СА лежат на одной прямой, имеют общее начало и не совпадают. Ответ. а) Лучи АВ и АС, а также ВС и ВА; б) луч СВ. 11. Начертите три луча 6, й, и ) с общим началом. Назовите все углы, образованные этими лучами. Р е ш е н и е. На рисунке 5 изображены три луча 6, й и 1 с общим началом О.

Эти лучи образуют три угла: айй, а61 и айй Ответ. айй, ай) и айй 14. Начертите неразвернутый угол АОВ и проведите; а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч 01т, который не дели~ угол АОС иа два угла. Р е ш е н не. На рисунке б изображен угол АОВ. а) Проведем какой- нибудь луч ОС, который исходит из вершины О угла АОВ и проходит внутри этого угла. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. б) Луч ОО на рисунке б не делит угол АСС на два угла, так как он не проходит внутри этого угла, 15. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых? Р е ш е н и е.

Пусть прямые АВ и СО пересекаются в точке О (рис. 7). Образуются четыре неразвернутых угла: АСС, АОР, ВОС и ВОО. Ответ. Четыре угла. Рис. 7 Рис. 6 Рис, б Э 3. Сравнение отрезков и углов 1 7. Какие из лучей, изображенных на рисунке 8 (рис 18 учебника), делят угол ЛОВ на два угла? Решение. Лучи 6, й, 6 тп и и исходят из вершины О угла АОВ, но только два из них— лучи 6 и 1 — проходят внутри этого угла, поэтому только лучи 6 и 1 делят угол АОВ на два угла.

Ответ. Лучи 6 и 6 Рис. 8 ф 3. Сравнение отрезков и углов 19. Точка О является серединой отрезка ЛВ. Можно ли совместить наложением отрезки: а) ОЛ и ОВ, б) ОЛ и ЛВ? Р е ш е н и е. а) По условию задачи точка Π— середина отрезка АВ. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны и поэтому их можно совместить наложением, б) Отрезок ОА наложен на отрезок АВ так, что они имеют общий конец А, но два других конца этих отрезков — точки О и  — не совмещены.

Отсюда следует, что отрезки ОА и АВ не равны н поэтому их нельзя совместить наложением. Ответ. а) Да; б) нет. 21. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС Р е ш е н и е. Так как луч ОС делит угол АОВ на два угла, то угол АОС составляет часть угла АОВ. Отсюда следует, что угол АСС меньше угла АОВ. Ответ. г'.АОС < г'.АОВ. 22. Луч 1 — биссектриса угла йй. Можно ли наложением совместить углы: а) 61 и 68 б) 61 и йй? 18. На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С.

Сравните отрезки ОВ и ОЛ, ОС и ОЛ, ОВ и ОС. Решен не. 1. Сравним отрезки ОВ и ОА. По условию задачи точка В лежит между точками О 8 А С и А (рис. 9). Значит, отрезок ОВ составляет часть отрезка ОА, поэтому ОВ < ОА. Рис. 9 2. Сравним отрезки ОС и ОА. Точка А лежит между точками О и С. Значит, отрезок ОА составляет часть отрезка ОС, поэтому ОА < ОС и, следовательно, ОС ) ОА. 3. Сравним отрезки ОВ и ОС. По доказанному ОВ < ОА, а ОА < ОС, следовательно, ОВ < ОС. Ответ.

ОВ < ОА, ОС ) ОА, ОВ < ОС. Гл. К Начальные геометрические сведения Решение. а) По условию задачи луч 1 — биссектриса угла Ьк. Отсюда следует, что углы И и 1)с равны и поэтому их можно совместить наложением. б) Так как луч 1 — биссектриса угла Ьк, то он делит угол йк на два угла. Согласно задаче 21 с'.Ы < с'.М.

Таким образом, углы И и Ы не равны и поэтому их нельзя совместить наложением. Ответ. а) Да; б) нет. ф 4. Измерение отрезков 26. Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке !О (рис. 31 учебника), если за единицу измерения принят отрезок: а) Ктл б) ЛВ. К б Рис. 1О Решение. а) Так как КŠ— единица измерения, то КЬ = 1. В отрезке АВ отрезок КХ, укладывается два раза, поэтому АВ = 2.

Аналогично, РС~ = 3, ЕР = 5, СР = 6. б) Так как А — единица измерения, то АВ = 1. Половина отрезка 1 АВ укладывается в отрезке КЕ один раз, поэтому КЕ = —,. В отрезке 2 РЯ отрезок АВ укладывается один раз, и в остатке половина отрезка 1 1 АВ укладывается также один раз, поэтому РЧ = 1+ — = 1 —. Анало- 2 2' гично, ЕР = 2 —, СР = 3.

2' Ответ. а) КŠ— -- 1, АВ =. 2, РЯ = — 3, ЕР =- 5, СТ) = 6; б) КХ, =- —, АВ=-1, РЯ= 1 —, ЕР=.2 —, СВ=-3. 2' 2' 29. Начертите прямую ЛВ. С помопгью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой ЛВ1 Р еще н и е.

На прямой АВ из точки А исходят два луча — луч АВ и луч АВН являющийся продолжением луча АВ. На каждом из этих лучей можно отметить только одну точку — точку С на луче АВ и точку С1 на луче АВ! — так, чтобы АС = 2 см и АС1 = 2 см. Следовательно, на прямой АВ можно отметить две такие точки. О т в е т. Две точки. 30. Точка В делит отрезок ЛС на два отрезка. Найдите длину отрезка ЛС, если ЛВ = 7,8 см, ВС.= 25 мм. б Х Измерение отрезков Решение.

Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. По условию АВ =?,8 см, ВС = 25 мм = = 2,5 см, поэтому АС = 7,8 ем + 2,5 см = 10,3 см. Ответ. 10,3 см. 31. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см, б) АВ = 4 мм, АС = 4 см. Р е ш е н и е, Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка; АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. Отсюда следует, что ВС = АС вЂ” АВ. а) По условию АС = 7,2 см, АВ = 3,7 см, поэтому ВС = 7,2 см— — 3,7 см = 3,5 см. б) По условию АС = 4 см = 40 мм, А — -- 4 мм, поэтому ВС = = 40 мм — 4 мм = 36 мм.