atnasyan-gdz-7-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 9

На рисунке 93 (рис. 95 учебника) ОС = ОР, ОВ = ОЕ. Докажите, что ЛВ = ЕР. Объясните способ измерения ширины озсра (отрезка ЛВ на рисунке 93), основанный на этой задаче. Решение. злВОС = ЛРОЕ Озеро л по двум сторонам и углу между ними, поэтому г'.Р = г'.С и ВС = = РЕ. Е,АСС =- з'ьЕОР по стороне О и двум прилежащим к ней углам (ОС = ОР по условию; ЛС = = л'.Р; г'.АСС = г'.е ОР, так как этн углы вертикальные). ОтсюЕ да следует, что АС = РЕ, а так как ВС = РЕ, то АВ = ЕК что Рис. 93 и требовалось доказать. 53 Дополнительные задачи 171.

В треугольниках АВС и АРС стороны ВС и АР равны н пересекаются в точке О, аОЛС = аОСЛ Докажите, что треугольники АВО и СРО равны. Р е ш е н и е. Обратимся к рисунку 95. ч"зАВС = ч'зАРС по двум сторонам и углу между ними (АС вЂ” общая сторона, СВ = АР, ПАСВ = = аСАР). Отсюда следует, что АВ = СР, аВ = аР и л'ВАС = .— — л'АСР. Из последнего равенства получаем, что л'1 =- л'2 (рис. 95). 7хАВО = ЬС РО по стороне и двум прилежащим углам (АВ = СР, ЛВ = кР, л'.1 = л2). 172. На рисунке 96 (рис.

96 учебника) ЛС = ЛР, ЛВ д СР. Докажите, что ВС = ВР н аЛСВ = ЛЛРВ. Решение. Так как треугольник АСР— равнобедренный, то высота, проведенная к основанию СР, является биссектрисой, и поэтому л'САВ = ЛРАВ. ьзАСВ = — МАРВ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что ВС вЂ” — ВР и ПАСВ = л'АРВ. Рнс. 96 Рис.

95 173*. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого нз двух других углов треугольника. Решение. Пусть угол ВАР смежный с углом А треугольника АВС (рис. 97). Докажем, например, что л'.ВАР > аВ. Отметим середину О стороны АВ и на продолжении отрезка СО отложим от- В Е резок ОЕ, равный СО. Тогда ьзВОС = = АЛОЕ по двум сторонам и углу меж- О ду ними. Отсюда следует, что х'В = 1.

Но ЛВАР > л'.1 и, следовательно, аВАР > аВ. Рис. 97 174*. Докажите, что дзЛВС = дьЛ~В~Сь если аЛ = аЛь ЛВ = аВь ВС =- В~Со Решен не. Наложим треугольник АВС на треугольник А~В~С~ так, чтобы сторона ВС совместилась с В~Си а сторона ВА наложилась 54 Гл. 2 Треугольники на луч В~Ам Это можно сделать, так как ВС =- В1С~ и г'.В = г'.Вы Если допустить, что точки А и А~ не совместятся (рис.98), то получится треугольник СААП у которого один из углов, прилежагцих к стороне ААП равен углу, смежному с другим углом треугольника САА~ (на рисунке 98 г'.А = = г'.ВА1С).

Но этого не может быть (см. задачу !73). Следовательно, точка А совместится с точкой Аы а поэтому и весь треугольник АВС совместится с треугольником А~В1СП т. е. эти треугольники равны. в(в,) С(С,) Рис. 98 176*. Докажите, что треугольники АВС и А1В|С~ равны, если АВ = = А|Вн АС = А~Си АМ =,41ЛХн где АМ и А|М1 — медианы треугольников. Решение. На продолжениях отрезков АМ и А1ЛХ1 отложим отрезки МР и ЛХ1Х)ы равные АМ и А1Л1~ (рис.

!00). ХгАЛХС = ХлВЛХР по двум сторонам и углу между ними (АЛХ =- МР по построению; ВМ = ЛХС, так как АЛХ вЂ” медиана; УАЛХС = УВЛХР, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что ВР = АС. Аналогично, из равенства треугольников А!ЛХ1С! и В|М1Р1 следует, что В1Р1 = А|Си а так как АС = А1С1 (по условию), то ВР = = В!Рн 178'. На сторонах угла ХОУ отмечены точки А, В, С и Р так, что ОА = ОВ, АС = ВР (рис.99). Прямые АР и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОŠ— биссектриса угла ХОУ.

Используя эту задачу, опишите способ построения биссектрисы угла. Решение. ГОАР = ХхОВС по двум сторонам и углу между ними (ОА = ОВ, ОР = ОС, угол Π— общий). Отсюда следует, что г'.ОРА = г'.ОСВ. Сравним треугольники ВРЕ и АСЕ. В этих треугольниках ВР = = АС, УВРЕ = г'АСЕ и углы с вершиной Е равны как вертикальные. Поэтому ХлВРЕ = ХхАСЕ (см. задачу !74), и, следовательно, ВЕ = АЕ. хз В ХьОАЕ =- ХьОВЕ по трем сторонам. Отсюда следует, что г'.АОЕ =- г'.ВОЕ, т. е. луч ОЕ биссектриса угла ХОУ. А Биссектрису данного угла с вершиной О С можно построить следующим образом. На сторонах угла откладываем равные отрезки ОА и ОВ, АС и ВР, как показано на рисунке 99. Затем Рис. 99 проводим отрезки АР и ВС.

Они пересекаются в некоторой точке Е. Остается провести луч ОŠ— это и есть биссектриса данного угла. 55 Дополнительньче задачи В В, С А( Рис. 100 ХзАВР = ХзА~В~Рз по трем сторонам (АВ = А~Вы ВР = В~РИ АР = А~Рн так как АР = 2АЛХ, А~ Р~ = 2А~ЛХ~ и АМ = А~ЛХ~). Отсюда следует, что медианы ВМ и В~ЛХ~ в этих треугольниках равны (см. задачу 114). Поэтому ВС =- 2ВМ =-2В~ ЛХ~ =- В~С~ и ХзАВС = — -- ьзА~В~ С~ по трем сторонам.

177*. Даны два треугольника: АВС и .4~В~Со Известно, что А —— = Л~Ви ЛС = А~Си АЛ = АЛн На сторонах ЛС и ВС треугольника ЛВС взяты соответственно точки К и Х, а на сторонах Л~С~ и ХЗ~С~ треугольника А~В~С~ — точки К~ и Хо так, что АК = Л~Ки ХС = ХоС~ Докажите, что: а) КХ. = К~ Х.и б) ЛХ = Л~ Х,ь Решение. ХзАВС = ХзА~В~С~ по двум сторонам и углу между ними, поэтому л'.С = ~С~ (рис, 101).

Рис. 101 Так как АС = А~С~ и АК = А~Кы то КС = К~Си а) ХзКСХ, = — ч'ьК~С~Хч по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что КВ = К~Вы б) Аналогично, из равенства треугольников АСХ и А~С~Х~ следует, что АХ = А~Хо. 178*. Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка Р, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков ЛР, ВР и СР не равны друг другу. Ре ш е н не. Пусть точка В лежит между А и С. Предположим, что АР = ВР = = СР (рис. 102).

Тогда треугольники АРВ, ВРС и АРС -- равнобедренные, откуда следует, что А1 = А2, АЗ = А4 и А1 = А4, А В С Рис. 102 56 ?л 2. ?реугольники 179. На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и С2 так, что кРХВ =. ~С)ХС, где Х вЂ” середина основания ВС.

Докажите, что В(,? = СР. Решение. Так как треугольник АВС— равнобедренный с основанием ВС, то 'В = = л'.С (рис. 103). Р г5ВРХ = йСЯХ по стороне и двум прилежащим углам (ВХ = СХ и ЕРХВ = ~ЯХС по условию, к'В =- ЛС). Отсюда следует, что ВР = СЯ. ЬВРС = ЛСь,)В по двум сторонам и углу между ними (ВР =- Сс;), ВС вЂ” общая сторона, Рнс. !03 ХВ =. ЛС), поэтому СР = ВЯ, что и требовалось доказать. 8 Х 180. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.

Р е ш е н и е. Проведем окружность данного радиуса с центром в данной точке Л? (рис. 104). Пусть Π— общая точка этой окружности и данной прямой и. Проведем теперь окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность является искомой. 181. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки. Р е ш е н и е.

Проведем окружности данного радиуса с центрами в данных точках А и В (рис. 105). Пусть эти окружности имеют общую точку О. Проведем окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность — искомая. Рис. 105 Рнс 104 т. е, углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Но углы 2 и 3 — смежные, поэтому к'2 + к'.3 =- 2Л2 = 180', откуда Л2 = 90'. Итак, Л! =- к'2 =- =- к3 = к4 = Х90', т.

е. из точки Р проведены три перпендикуляра к прямой АС, чего не может быть. Следовательно, наше предположение о равенстве отрезков А??, В?? и С1Э неверно. Поэтому хотя бы два из этих отрезков не равны друг другу. 5? Дополнительные задачи 182. Даны прямая а, точки А, В и отрезок Рь). Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и АС = РЦ.

Р еще н не. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным РЦ (рис. 106). Пусть С вЂ” общая точка этой окружности и прямой а. Проведем отрезки АВ, ВС и СА. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника АВС. 188. Даны окружность, точки А, В и отрезок РЯ Постройте треугольник АВС' так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и АС =- РС). Р е ш е н и е. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным РЯ (рис. 107). Пусть С вЂ” общая точка проведенной и данной Рис. 107 Рис. 106 окружностей. Проведем отрезки АВ, ВС и СА. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника АВС.

184. На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудаленную от вершин А и С. Решение. Построим середину отрезка АС (точка В на рисунке 108) и прямую, проходящую через точку В и перпендикулярную к прямой АС (как это сделать, описано в п.23 учебника). Точка ЛХ пересечения построенной прямой и прямой ВС является искомой точкой, так как МА = 11ХС (см. задачу 160). 186. С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.

Решен не. Построим середину данного отрезка (как это сделать, описано в п. 23 учебника), а затем построим середины каждого из двух получившихся отрезков. Построенные три точки разделяют данный отрезок на четыре равные части. 58 Ул. 2. Треугольники Задачи повышенной трудности к главе 2 328. Точки С! и Сз лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что ЛС~ = Все и г'ВЛС~ = г'АВС„. Докажите, что прямая С|Се проходит через середину отрезка АВ Решение. Пусть точка Π— середина отрезка АВ (рис.109). Докажем, что точки С!, О и Сз лежат на одной прямой.

Отсюда последует, что прямая С!Сз проходит через 1 середину О отрезка АВ. ЛАОС! =. г.'ьвссз по двум сторонам !! и углу между ними, поэтому сАОС! = ЛВОС,. Пусть луч ОС вЂ” продолжение луча ОС!. С С Тогда углы АОС! и ВОС вЂ” вертикальные и поэтому г'.АОС! — г'ВОС, Отсюда и из Рис. 109 равенства углов АОС! и ВОсз следует, что г'ВОС = г'ВОса. Эти равные углы отложены по одну сторону от луча ОВ, поэтому лучи ОС и Оса совпадают, т. е. луч Оса является продолжением луча ОС!, а значит, точки С!, О и Сз лежат на одной прямой.

329. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственна равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны. Решение. Пусть в треугольниках АВС и А!В!С!, гА = гА!, АС = Л!С! и АВ + ВС = А!В! + В!С!. Докажем, что г'гЛВС = = г'ьА В С . Продолжим сторону АВ на отрезок ВР, равный ВС, а сторону А!В! — на отрезок В!Р!, равный В!С! (рис. 110). Тогда АР = АВ + ВР = АВ+ ВС, А!Р! = А!В!+В!Р! =А!В!+В!С!, откуда следует, что А.Р = А!Р!. Рис. ! !О 59 Задави поввааенной трудности к главе г гзАРС = Е~А1Р|С~ по двум сторонам и углу между ними, поэтому РС = Р1 С1 и г'.Р = ЕРп Равнобедренные треугольники ВСР и В1С1 Р1 равны по основанию и прилежащему углу, и, следовательно, ВР— — В1Ры а так как АР =- =- А|Ры то АВ = А~Вы ЬАВС = глА|В1С1 по двум сторонам (АВ = А|Вы АС = = А|С1) и углу между ними (г'.А = лА1).