atnasyan-gdz-7-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 10

330. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравиымио Решение. Приведем пример неравных треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = = ВС у'- АВ (рис. 111). В этом треугольнике кА = аВ. Пусть АН вЂ” высота треугольника АВС. На продолжении луча НВ отложим отрезок НР, равный НВ, и рассмотрим треугольники АНВ и АНР. Они равны по двум сторонам (НВ = НР, АН вЂ” общая сторона) и углу между С ними (г'АНВ =- ЖАНР =. 90'). Отсюда следует, что 1з АВ = АР и г'В = л'АРН.

Так как АВ ф ЛС, то точка Р не совпадает с точ- Н кой С. Поэтому треугольники АВС и ЛВР не равны, Вместе с тем эти треугольники имеют общую сторону АВ, общий угол В и равные углы САВ и АРВ, т. е. эти неравные треугольники удовлетворяют условиям р„с задачи. Ответ. Да. 331. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника Могут ли эти треугольники быть неравиымий Решение. Приведем пример неравных треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую- нибудь точку Р на продолжении стороны АВ (рис. 1!2). Треугольники АРС и ВРС удовлетворяют условиям задачи (они имеют равные стороны АС и ВС, общую сторону СР и общий угол Р), но не являются равными. Рис. 112 Ответ.

Да. 332. Отрезки АВ и СР пересекаются в точке О. Докажите, что ОС = = ОР, если ЛС =- ЛО =- ВО =- ВР. 60 Ул. 2. ?ргугольиики Р е ш е н и е. Треугольники АОС и ВОР— равнобедренные, поэтому г'.С =- = ~1 и ~2 = ~Р (рис. 113). Но углы 1 и 2 равны как вертикальные. Поэтому г'.С =- 'Р. ЛАОС = ЬВОР по стороне (АО = А = ВО), прилежащему к этой стороне углу (г'.1 = г'.2) и противолежащему угрис. ! 13 лу (г.'С = г'.Р). Этот признак равенства треугольников содержится в задаче 174. Из равенства треугольников АОС и ВОР следует, что ОС =- ОР. Глава 3 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ ф 1. Признаки параллельности двух прямых 186.

На рисунке ! !4 !рис. 106 учебника) прямые а и Ь пересечены прямой с. Докажите, что о, ~~ Ь, если; а) к! = 3?", к? =- 143'! 6) к! =- к6; в) к! = 45', а угол ? в три раза больше угла 3. Решение. а) Так как к'.7 и к8 — смежные углы, то по свойству смежных углов л?+ А8 = 180'. По условию л? = 143', поэтому к'8 = =- 180' — 143' = 37'. Итак, к'! = к'8 =- 37', а углы 1 и 8 — соответственные углы при пересечении прямых а и Ь секущей с, следовательно, а, ~ Ь. о) Л1 = к'6 по условию, к'6 = к'8, так как углы 6 и 8 — вертикальные, поэтому к! = к'.8, а значит, как и в задаче а), а ~ Ь. в) По условию А? = Зк'.3, к! =- 45'.

Ио к'.1 —.— к'.3, так как углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому к'7 = Зк'.1 = 135". Так как к'.7 и к8— смежные углы, то по свойству смежных углов к'.7 ч- к'.8 =- 180'. Отсюда следует, что к'8 = 180' — 135' = 45', т. е. к'1 = к'8. Тем самым, как и в задаче а), а з Ь. 187. По данным рисунка 115 !рис. 10? учебника) докажите, что АВ (( РЕ.

Р е ш е н и е. к'.1 = к'.2, к'.3 = л4. так как углы 1 и 2, 3 и 4 — углы при основании равнобедренных треугольников АВС и СВЕ соответственно, к'.2 =- к'.3, так как углы 2 и 3 — вертикальные, поэтому к'! =. /4. Углы 1 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и ВЕ секущей АЕ, следовательно, АВ ~~ ВЕ. Рис. 114 Рис.

! 15 62 Хл. 3. Параллельные прямые 188. Отрезки АВ и СР пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и ВР параллельны (рис. 116). Р е ш е н и е. Треугольники АОС и ВОР равны по двум сторонам и углу между ними (АО = ОВ, СО = ОР, так как точка Π— общая середина отрезков АВ и СР, з'! = з'2, так как углы 1 и 2 — вертикальные).

Из равенства этих треугольников следует, что з'3 = с'.4. Углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении прямых АС и ВР секущей АВ, следовательно, АС ~ ВР. 189. Используя данные рисунка 117 (рис.108 учебника), докажите, что ХЗС я' АР. Рис. ! 17 Рис. 116 Р е ш е н и е. По условию треугольник АВС равнобедренный (АВ = ВС), поэтому з.'1 = д3, так как д! и д3 — углы при его основании. з'1 = з'2 по условию, а значит, з'2 = з'3. Углы 2 и 3— накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и АР секущей АС, следовательно, ВС 1~ АР.

190. На рисунке 118 (рис. 109 учебника) АВ = ВС, АР = РЕ, дС = 70', сЕ.4С = 35'. Докажите, что РЕ 11 АС. Решение. По условию треугольник АВС— В равнобедренный (АВ = ВС), поэтому его углы при основании равны: дА = з'.С = 70'. дА = з'.1+ + 35', поэтому з'! = 35'. Треугольник АРЕ также равнобедренный (по условию АР =. РЕ), поэтому его углы при основании равны: з'.! = 1 Лб..д1" — — к2 = 35'. С Итак, з'ЕАС = з'2, а эти углы — накрест лежа- щие при пересечении прямых РЕ и АС секущей Рис. 1!8 АЕ. Следовательно, РЕ 11 АС. 191. Отрезок ВК вЂ” биссектриса треугольника АВС.

Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке ЛХ так, что ВЛХ = ЛХК. Докажите, что КЛХ 11 АВ. Р е ш е н и е. По условию треугольник ВЛХК вЂ” равнобедренный (ЛХВ = ЛХК, поэтому его углы при основании рав- Э 2. Аксиома параллельных прямых 63 ны: с'.2 = с'.3 (рис. 119). Так как отрезок ВК вЂ” биссектриса треугольника АВС, то с'2 =- л1. Следовательно, с'.1 = с'.3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и КЛХ секущей ВК, поэтому КМ ~~ АВ. 192. В треугольнике АВС угол А равен 40', а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен 80'. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.

Р е ш е н и е. Пусть луч СŠ— биссектриса угла ВСЕ, равного 80' (рис.120). Тогда л'1 =- с'2 =- 40', поэтому '2 = 'А. Но углы А и 2 — соответственные при пересечении прямых СЕ и АВ секущей АС, следовательно, СЕ ~ АВ. 193. В треугольнике АВС кА = 40', лВ =. 70'. Через вершину В проведена прямая ВР так, что луч ВС вЂ” биссектриса утла АВР.

Докажите, что АС )! ВР. Р е ш е н и е. По условию луч ВС вЂ” биссектриса угла АВР (рис. 121), поэтому ~АВР = 2~АВС = 140'. Углы .4 и АВР— односторонние углы при пересечении прямых АС и ВР секущей АВ, а так как с'А+ л'АВР = 40' + 140' = 180', то АС ~ ВР. ф 2. Аксиома параллельных прямых 196. Дан треугольник АВС.

Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С) Р е ш е н и е. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Поэтому через точку С можно провести только одну прямую, параллельную стороне АВ. Ответ. Одну прямую. 197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые.

Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите возможные случаи. Решение. Пусть А данная точка. Возможны два случая: Рис. !2! Рис. 1!9 Рис. 120 ?л. 3. Параллельные прямые 64 а) все четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают прямую р; б) одна из прямых параллельна прямой р.

Тогда остальные три прямые пересекают ее, так как через точку А, не лежащую на данной прямой р, проходит только одна прямая, параллельная прямой р. Ответ. Четыре или три прямые. 198. Прямые а и Ь перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а Пересекает ли прямая с прямую Ь? Р еще н не. По условию прямые а и Ь перпендикулярны к прямой р, поэтому они не пересекаются (см. п. 12 учебника), т.

е. а 5 Ь. По условию прямая с пересекает одну из параллельных прямых (прямую а), поэтому, согласно следствию 1' из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую Ь Ответ. Да. 199. Прямая р параллельна стороне ЛВ треугольника .4ВС. Докажите, что прямые ВС и ЛС пересекают прямую р. Решение. Прямая ВС пересекает прямую АВ, параллельную прямой р, а значит, согласно следствию 1' из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую р.

По той же причине прямая АС пересекает прямую р. 200. На рисунке 122 (рис. !15 учебника) ЛВ 'З р. Докажите, что прямая р пересекает Р прямые ЛВ, ЛЕ, ЛС, ВС и РГ2. Регпенне. Прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую АР, а по условию АВ '5 р. Согласно следствию 1' из аксиомы параллельных прямых, прямые АВ, ЛЕ и ЛС пересекают прямую р. Аналогично, прямые ВС и РЯ пересекают прямую АР, поэтому они пересекают и параллельную ей прямую р. Рис. !22 201. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210'. Найдите эти углы. Решение.

Пусть Л1 и Л2 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и Ь секущей с (рис. 123). По условию Л1 ? Л2 = 210', а по теореме о накрест лежащих углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, л! = л2. Следовательно, Л! = л2 = 105'. Ответ.

105', 105'. а 2. Аксиома параллельных прямых 65 202. На рисунке !24 (рис. 116 учебника) прямые а, Ь и с пересечены секущей с(, л1 = 42', л2 = 140', '3 = 138'. Какие нз прямых а, 6 и с параллельны? Решение. 1о. Рассмотрим прямые а, и 6. л! и л'.2 — односторонние углы при пересечении прямых а и 6 секурдей с( и л1+ л2 = 42' + + 140' = 182'. Следовательно, прямые а и 6 не параллельны. В самом деле, если предположить, что а ~ Ь, то по свойству односторонних углов (третья теорема п.29 учебника) л1 + л'.2 = 180', что противоречит условию задачи.

2о. Рассмотрим прямые а и с. л1 и лЗ вЂ” односторонние углы при пересечении прямых а и с секущей д и Л1+ лЗ = 42' + 138' = 180'. Следовательно, по признаку параллельности двух прямых а , 'с. Зо. Рассмотрим прямые 6 и с. Углы 2 и 3 -- соответственные углы при пересечении прямых Ь и с секущей г( и л2 ф л'.3. Следовательно, прямые Ь и с не параллельны. Ответ. а ~ с. 203. Найдите все углы, образованные прн пересечении двух параллельных прямых а и Ь секущей с, если: а) один из углов равен 150', б) один нз углов на 70' болыпе другого.