atnasyan-gdz-7-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 7

Отсюда следует, что л'.0ОЕ = лЛХКХ. 132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках Л1 и Х. Докажите, что треугольник АМХ равнобедренный. Р е ш е н и е. Пусть Π— точка пересечения биссектрисы угла А и прямой ЛХХ, перпендикулярной к АО (рис.67). Лг г."зАОЛХ =. Д АОХ по второму признаку равенства треугольников (АΠ— общая сторона, Рис 67 л'.САМ = л'.ОАХ, л'АОЛТ = л'.АОХ = 90'). Отсюда следует, что АМ = АХ, т.

е. треугольник АЛ1Х -- равнобедренный. 42 ул 2 Треугольники 133. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный. Решение. Пусть АР— биссектриса и высота треугольника .4ВС (рис. 68). Тогда г5АВР = ЬАСР по второму признаку равенства треугольников (АР— общая сторона, дВАР = г'.САР, г'.АРВ = = ЕАРС = 90"). Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. треугольник АВС равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника. Решение. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Поэтому, если основание и прилежащий к нему угол одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого равнобедренного треугольника, то равны также два других угла, прилежащих к этим основаниям, и, следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. 135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны. Ре ше н не. Так как треугольники равносторонние, то из равенства двух сторон этих треугольников следует, что все стороны этих треугольников равны друг другу и, следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

136. На рисунке 69 (рис. 52 учебника) АВ = АС, ВР = РС и г'.ВАС = = 50'. Найдите г'САР. В Р С Рис. 68 Рис. 69 Ре ше н не. ЬАВР = г'ьАСР по третьему признаку равенства треугольников (АВ = АС, ВР = РС, АР— общая сторона), поэтому г'1 = г'2. По условию г'.ВАС = г'1 -1- г'2 = 50'. Отсюда следует, что ~С АР .= Л2 = 25'. Ответ. 25' Э 3. Второй и третий признаки равенства треугольников 43 137. На рисунке 70 (рис 53 учебника) ВС = АР, ЛВ =- СР Докажите, что хВ = а0.

Решение. ХтАВС = ХтСРА по третьему признаку равенства треугольников (АВ = СР, ВС = АР, АС вЂ” общая сторона), поэтому дВ = с'Р. 138. На рисунке 7! (рис. 75 учебника) ЛВ = СР и ВР = АС. Докажите, что, а) лСЛР = дЛОВ; б) г ВЛС = кС!лВ. Рис. 7! Рис. 70 Решение. а) ХзАВР = ХхАСР по третьему признаку равенства треугольников (АВ = СР, ВР = ЛС, АР— общая сторона).

Отсюда следует, что ~АРВ = л'.САР. б) ХхАВС = ЬРСВ по третьему признаку равенства треугольников (АВ = СР, АС = ВР, ВС общая сторона). Отсюда следует, что ~ВАС = ~СРВ. 139. На рисунке 72 (рис 76 учебника) ЛВ =- СР, АР = ВС, ВЕ— биссектриса угла ЛВС, РŠ— биссектриса угла ЛРС. Докажите, что: а) ~ЛВХВ= ~Л1>Г; б) Хз,4ВЕ=- ХзСРХе. Решение. а) ХзАВС = ССРА по третьему признаку равенства треугольни- В С ков (АВ = СР, ВС = АР, АС вЂ” общая г сторона). Отсюда следует, что л'.В = лР. Отрезки ВЕ и Рà — биссектрисы в рав- Е ных треугольниках, проведенные к равным сторонам, поэтому ВЕ = РЕ (задача !28) и ЛАВЕ = г'АРЕ, ЛАВЕ =- Рис. 72 = г'.СРЕ. б) ХзАВЕ = ССРЕ по первому признаку равенства треугольников (АВ = СР, ВЕ = РГ, ХАРЕ = л'СРЕ).

140. В треугольниках ЛВС и А~ В~ С~ медианы ВЛХ и В~ ЛХ~ равны; Л В = = Л~Вь АС = Л~Сь Докажите, что 1хЛВС =- ХзЛ~В~(Л. Решение. Так как АС = А!С!, а точки ЛХ и ЛХ! — середины сторон АС и .4!С!, то АМ = Л!ЛХ! (рис. 73). азАВЛХ = г'зА!В!ЛХ! по третьему признаку равенства треугольников (ЛВ = А!В!, ВМ = В!М!, АЛХ = А!ЛХ!). Отсюда следует, что дА = л'.А!. 44 ?л. 2. ?реугольники А М С А, М, С, Рис. 73 ЬАВС = Е~А~В~С~ по первому признаку равенства треугольников (АВ = А~Вы АС = А~Си х'.А = ~А~).

141. В треугольниках АВС и А~ В~С~ отрезки ЛР и Л~ 0~ -- биссектрисы, ЛВ = Л~Вн ВР = 0~ 0~ и ЛР = А~ Рь Докажите, что схАВС = Г А~В~Си Решение. 7хАВР = 7зА~В~Р~ по третьему признаку равенства треугольников (рис. 74). Отсюда следует, что х'.! = х'.2 и АВ = АВь Рис. 74 Так как АР и А~0~ — биссектрисы и А! = Л2, то х'А = ЛАы ЬАВС = ЬА~В~С~ по второму признаку равенства треугольников (АВ = А~Вы х'А = х'.Ан х'.В = АВ!). 142. Равнобедренные треугольники ЛРС и СВР имеют общее основание РС. Прямая АВ пересекает отрезок С!Э в точке О.

Докажите, что; а) МАРВ = ПАСВ; б) РО = ОС. Решение, а) По условию АС= АР и ВС= А = ВР. Отрезок АВ общая сторона треугольников АВС и АВР (рис. 75, на этом рисунке точка В лежит на луче АО; случай, когда точка В лежит на продолжении луча АО, рассматри- С 0 вается аналогично). Поэтому ЬАВС = ЬАВР по третьему признаку равенства треугольников.

Отсюда следует, что МАРВ = х'.АСВ. б) Из равенства треугольников АВС и АВР следует также, что г'САВ = х'.РАВ. Это ознаРис. 75 чает, что АΠ— биссектриса равнобедренного треугольника АСР. Следовательно, АΠ†. также медиана треугольника АСР, т. е. РО = ОС.

ф 4 Задачи на построение ф 4. Задачи на построение 144. Отрезки АВ и СР— диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды ВР и АС равны; б) хорды АР и ВС равны; в) аВАР =- ДАВОР. Решение. а) ЛАОС =- 7ЛВОР по двум сторонам и углу между ними: ОА = ОВ и ОС = ОР, так как эти отрезки -- радиусы окружности; ХАОС = ХВОР, так как эти углы — вертикальные (рис.76). Отсюда следует, что АС = ВР. б) Аналогично, из равенства треугольников АОР и ВОС следует, что АР = ВС. в) ЛАВР = гЛСРВ по трем сторонам: АВ = СР, так как эти отрезки диаметры окружности; АР = ВС' (п.б); ВР— общая сторона.

Отсюда следует, что аВАР = ЕВСР. 145. Отрезок Л1К вЂ” диаметр окружности с центром О, а ЛТР и РК— равные хорды этой окружности. Найдите аРОЛ1. Р е ш е н и е. Отрезок РΠ— медиана равнобедренного треугольника МРК (рис.77). Поэтому РО также и высота этого треугольника, т. е. х'.РОМ = 90'. Ответ. 90'.

146. Отрезки АВ и СР— диаметры окружности с центром О Найдите периметр треугольника АО!Э, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см. Р еще н и е. Обратимся к рисунку 76. В задаче 144 б) доказано, что АР = ВС, поэтому АР = 13 см. 1 Так как ОА и ОР— радиусы окружности, то ОА = ОР =- — АВ = 2 =-8 см.

Следовательно, Ряб = АР+ ОА+ ОР = 29 см. О т в е т. 29 ем. 147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АО — прямой. Отрезок ВС вЂ” диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны. Решение. т'чАОВ = ЛАОС (рис,78) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АВ = АС. Рис. 77 Рис. 78 Рис. 76 46 Хл 2. ?реугольники 148. На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ. Решение.

Проведем окружность радиуса ВА с центром в точке В. Она пересекает прямую АВ в точках А и Х) (рис. 79). Далее проведем окружность радиуса ОВ с центром в точке В. Она пересекает прямую АВ в точках В и С. Отрезок ВС вЂ” искомый, поскольку АВ = ВР = ХЗС, и поэтому ВС = 2АВ. 149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок РСХ.

Постройте точку ЛХ на прямой а так, чтобы ВЛХ = РЯ. Всегда ли задача имеет решениеэ Р е ш е н и е. Построим окружность с центром В, радиус которой равен Рб) (рис. 80). Если эта окружность имеет общую точку ЛХ с прямой Рис. 80 Рис 79 а, то М искомая точка, поскольку ВЛХ = Р(~. Если же построенная окружность не имеет общих точек с прямой а, то задача не имеет решения. Ответ. Не всегда.

150. Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок РЦ. Постройте точку И на окружности так, чтобы АМ =. РСг. Всегда ли задача имеет решенне1 Р е ш е н и е. Построим окружность с центром А, радиус которой равен РЯ (рис.81). Если эта окружность имеет общую точку М с данной окружностью, то ЛХ искомая точка, поскольку АЛХ = РО. Если же построенная окружность не имеет общих точек с данной окружностью, то задача не имеет решения. 151. Даны острый угол ВАС и луч ХУ.