atnasyan-gdz-7-2005 (Ответы ко всем упражнениям из 3-х учебников Атанасяна), страница 2

Ответ. а) 3,5 см; б) 36 мм. 32. Точки .4, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ .= 12 см, ВС = !3,5 см. Какой может быть длина отрезка АС1 Решение, Возможны два случая. а) Точка С лежит на луче ВА (рис. 11, а). В этом случае АС = ВС вЂ” ВА = 13,5 см — 12 см = 1,5 см, б) Точка С лежит на продолжении луча АВ (рис.11, б). В этом случае АС = АВ + ВС = ! 2 см + 13,5 см = 25,5 см. Ответ. 1,5 см или 25,5 см. 12 см С А В А В С 12 см 13,5 см б 13,5 см Рис. 11 1б см б Рис.

12 33. Точки В, Х2 и ЛХ лежат на одной прямой. Известно, что ВХе = 7 см, ЛХХХ = 16 см. Каким может быть расстояние ВЛХ1 Решение. Возможны два случая. а) Лучи РВ и Х)ЛХ совпадают (рис. 12, а). В этом случае ВЛХ = = Х)ЛХ вЂ” Х)В .=- 16 см — 7 см = 9 см. ул ! Начильньге геомеягрические сведения !О б) Лучи РВ и РЛХ не совпадают, и, следовательно, точка ЛХ лежит на продолжении луча РВ !рис.!2, б). В этом случае ВЛХ =- В.Р+ + РЛХ =- 7 см + 16 см = — 23 см. Ответ. 9 см или 23 см.

34. Точка С вЂ” середина отрезка,4В, равного 64 см. На луче СА отмечена точка Р так, что СР = 15 см. Найдите длины отрезков ВР и РА. Решен не. Так как точка С вЂ” середина отрезка АВ и АВ = = 64 см, то СА = СВ = 32 см. По условию точка Р лежит на луче СА, А 71 С и так как СР=15 см, СА=32 см, то СР ( СА, и поэтому точка Р делит отрезок АС на два отрезка: СР и РА (рис.13). Следовательно, РА =- СА — СР =. 32 см — 15 см =- 17 см; ВР = — СР+ СВ = 15 см+ 32 см = 47 см. Ответ. ВР = 47 см, РА = 17 см.

35. Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой. Решение. Пусть ЛХ вЂ” Москва, Т вЂ” Тверь, Р— С.-Петербург. По условию задачи точка Т лежит между точками Ы и Р, поэтому ЛХТ + ТР =- Л|Р.

Так как ЫР =- 650 км, ЛХТ = 170 км, то ТР = =- ЛХР— ЛХТ =- 480 км. Ответ. 480 км. а) Так как точка С вЂ” середина отрезка АВ и АВ =- 2 см, то АС =- СВ =- 1 см. Точка О середина отрезка АС, 1 поэтому АО = ОС = — АС = 0,5 см. 2 А С О Рис. 14 ОВ = ОС -ь СВ = 1,5 см. б) СВ = 3,2 м, поэтому АВ = 2 СВ = 6,4 м, АС = СВ = 3,2 м, ОС = АО = -АС = 1,6 м, ОВ = ОС+ СВ = 1,6 м + 3,2 м = 4,8 м. 1 2 Ответ. а) АС = 1 см, СВ = 1 см, АО = 0,5 см, ОВ = 1,5 см; б) АВ=6,4 м, АС=3,2 м, АО=!,бм, ОВ=4,8 м. 37.

Точка С вЂ” середина отрезка АВ, точка Π— середина отрезка АС а) Найдите АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см; б) найдите АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м. Решение. На рисунке 14 изображены данный отрезок АВ и данные точки С и О. Э А Измерение отрезков 38. На прямой отмечены точки О, .4 и В так, что ОА = 12 см, ОВ = = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О; а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке А В. Решение.

Пусть ЛХ и Х вЂ” середины отрезков ОА и ОВ. а) Если точка О лежит на отрезке АВ (рис. 15, а), то ЛХЛг = ЛХО+ 1 1 + Одг. Но ЛХО = — ОА = 6 см, 011г = — ОВ = 4,5 см, следовательно, 2 ' ' 2 ЛХЛг = 10,5 см. б) Пусть точка О не лежит на отрезке АВ (рис. 15, б). Так как А 0 В М У Рис. 15 ОЛХ = — ОА = 6 см, Одг = — ОВ = 4,5 см, то ОХ < ОЛХ, и поэтому 1 1 2 ' 2 точка Х лежит на отрезке ОЛХ. Следовательно, ЛХЛг = ОЛХ вЂ” Одг = = 6 см — 4,5 см = 1,5 см. Ответ. а) 10,5 см; б) 1,5 см.

39. Отрезок. длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков. Решен не. На рисунке 16 на отрезке АВ длины а отмечена произвольная точка О, точки ЛХ и Лг — середины отрезков АО и ОВ. Поэтому ЛХО = — АО, ОЛг = — ОВ. 2 ' 2 ЛХЛг = МО+ ОХ = —,(АО+ ОВ) = — АВ = —. 2 2 2 а Ответ. —. 2 40. Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см. Найдите длину среднего отрезка. Решение. Пусть отрезок АВ равен 28 см, а точки С и Х1 делят его на три неравных отрезка: АС, СР и ВВ (рис.

17). Пусть точка А 0 В А С 0 В Рис. 17 Рис. 16 ЛХ вЂ” середина отрезка АС, точка Л( — середина отрезка ВХ1. Тогда АВ = АС + СХ1 + ВВ, поэтому АС + СР+ РВ = 28 см. Гл ! На гольного геолгетрические сведения !2 МХ = МС+ СР+ РЛ' = -АС+СР+ -РВ = 16 см, откуда г ! 2 2 (2) АС + 2 СР -!- РВ = 32 см. Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем: СР = 4 см. Ответ. 4 см. ф 5. Измерение углов 44. Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите лчч ОС так, чтобы луч О.4 являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимой Р е ш е н и е. Предположим, что можно провести луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС (рис.18). Тогда и'.ВОС < 180'. Так как ОА — биссектриса угла ВОС, то ОВОС = АЛОВ + хСОА = 2и'.АОВ.

Следовательно, и'АОВ < 90', т. е. угол АОВ острый или прямой, Отсюда следует, что если угол АОВ тупой, то построение луча ОС невыполнимо. О т в е т. Нет. Г1остроение выполнимо, когда угол АО — острый или прямой. о .) Рис. !8 45. Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углыа Решение. Предположим, что данные углы не равны, тогда один из них меньше другого. и, следовательно, градусная мера одного угла меньше градусной меры другого угла, что противоречит условию задачи.

Следовательно, два угла, имеющие равные градусные меры, равны. Ответ. Да. 48. Луч ОС делит угол ЛОВ иа два угла. Найдите угол СОВ, если дЛОВ = 78', а угол ЛОС иа 18' меньше угла ВОС. Ре ш е н и е. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АСС и СОВ, поэтому и'.АОВ = и'.АСС+ кСОВ, откуда дСОВ = АЛО — кАОС. 47. Луч ОЕ делит угол ЛОВ на два угла. Найдите хЛОВ, если; а) хЛОЕ = 44', хЕОВ =.

77'! б) кЛОЕ = 12'37', хЕОВ = 108'25'. Р е ш е н и е. По условию луч ОЕ делит угол АОВ на два угла: АОЕ и ЕОВ, поэтому и'.АОВ = х'ЛОВ+ и'.ЕОВ. а) и'.АОВ = 44' + 77" = 121'. б) и'.АОВ = 12'37' + 108'25' = 121'2' Ответ. а) 121'! б) 121'2'. э 5. Измерение углов 13 По условию задачи л'ЛОВ = 78', г'АСС = г'.СО — 18'. Подставим эти значения в равенство 11): г'.СОВ = 78' — (г'.СО — 18') = 96' — г'.СОВ. Отсюда 2г'СОВ = 96', г'СОВ = 48'. Ответ.

48'. 49. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если г'.АОВ = !55' и угол АОС на !5' больше угла СОВ. Решение. Задача решается так же, как и задача 48. г'.АОВ = г'.АСС+ г'СОВ, кЛОС = г'ЛОВ г'СОВ. поэтому По условию задачи г'СОВ .= кАОС вЂ” 15', г'.АОВ = 155'. Подставим эти значения в равенство (1): г'.АОС = 155' — ! 'АСС вЂ” 15'). Отсюда следует, что г'АСС =- 85'.

Ответ. 85'. г'АСС =. г'ЛОВ + г'.ВОС. По условию задачи 'АОС = 108', .''АОВ =- З.гВОС. Подставим эти значения в равенство 11): 108' = ЗЛВОС+ г'.ВОС. Отсюда следует, что г.'ВОС = 27', а г'.АОВ =- Зг'.ВОС =- 81'. Ответ. 81'. 51. На рисунке 19 !рис. 38 учебника) угол АО — прямой, лАОВ =- = АВОС = лСО0. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОВ и СОО. Решен не. По условию задачи угол АОР, равный 90', разделен лучами ОВ и ОС на три равных угла: АОВ, ВОС, СОВ. Следовательно, л'.АОВ = г'.ВОС = г'.СОР = 30'. 50. Угол АОВ является частью угла АСС. Известно, что ЛАОС = 108', лАОВ = ЗкВОС. Найдите угол АОВ.

Решение. Так как угол АО — часть угла АСС, то луч ОВ делит угол АСС' на два угла: ЛОВ и ВОС. Поэтому 14 рл ! Ванильные геометрические сведения Пусть ОХ и ОУ вЂ” биссектрисы углов ЛОВ и СОВ (см. Рис, 19). Тогда аХОВ = 15' и аУОС = 15'. Угол ХОУ лучами ОВ и ОС разделен на три угла: ХОВ, ВОС, СОУ, поэтому аХОУ = аХОВ чч- ОВОС + ПСОУ =- 15' + 30' + 15' = 60'. Ответ. 60'.

52. На рисунке 20 (рис. 39 учебника) луч ОУ является биссектрисой угла 2ОУ, а луч О!! — биссектрисой угла ХОУ. Найдите угол Х02, есяи а!ШОУ = 80" Рнс. 20 Рис. 19 Решение. Так как лучи ОУ и 05г — биссектрисы углов ШОУ и ХОУ, то ~ЯОУ = 2~)гОУ, ХОУ = 2~УС(г. Складывая эти равенства, получаем аЯОУ + аХОУ = 2(аГОУ + аУОГг) =- 2асгОУ =- !60'.

Но алОУ+ 'ХОУ = аХОЕ, поэтому аХОл = 160'. Ответ. 160'. 53. Луч ! является биссектрисой неразвернутого угла 66. Может ли угол 6! быть прямым или тупым? 1 Решение. Так как луч 1 — биссектриса угла 66, то а61 = — Лй. 2 По условию задачи угол 66 — неразвернутый, поэтому а66 < 180'. Отсюда следует, что а61 < 90'. Таким образом, угол 61 не может быть прямым или тупым. Ответ. Нет.

ф 6. Перпендикулярные прямые 58. Найдите угол. смежный с углом ЛВС, если; а) лЛВС =- 111', б) сЛВС = 90', в) аЛВС = 15'. 15 Э б. Перпендикулярные прямые Решение. Пусть л'.СВР— угол, смежный с углом АВС. По свойству смежных углов л'АВС+ л'СВР = 180', следовательно, л'.СВВ = — 180' — ЛАВС. Подставляя в эту формулу значения л'.АВС из условий задачи, получаем градусную меру угла СВВ, смежного с углом АВС: а) л'СВВ = 180' — 111' = 69', б) л'.СВХ) = 180' — 90' = 90', в) л'.СВР =!80' — 15' =!65'.

Ответ, а) 69', б) 90', в) 165'. 59. Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол) Р е ш е н и е. Пусть л'.61 и л'.16 — смежные углы и л'.61 = 90'. По свойству смежных углов л'61+ л'.16 = 180'. Отсюда имеем; л'16 = 180'— — Л61 = 90', т. е. л'16 — прямой угол. Итак, если один из смежных углов прямой, то и другой угол прямой. О т в е т. Прямым. 60. Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямыез Решение. Сумма смежных углов равна 180', поэтому, если они равны, каждый из этих углов равен 90', и, следовательно, эти углы прямые.