Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 12

Лввейвме уравнения в уравнения, врваадяагвеев к ввм 43 96 "У+ ф~ ~з у з(х 3(х + 1) ° Уравнение относится к виду (3), п.4.3, поскольку Следовательно, произведя замену з(х) = 3 Дйу)г, получим линейное уравнение 2 з х+ — =1, х+1 общее решение которого имеет вид: 1 С з = — (я+1)+ х+1 Окончательно общий интеграл запишется в виде С р((лу)з (.+ Ц+ > 3 2 я+1 97. (х+ ц(у'+ у') = — у. 1 Считая, что х ~ -1, делим обе части уравнения на х+ 1 и записываем его в виде з У 2 у+ = у. х+1 Это есть уравнение Бернулли.

Разделив абе его части на уз, затем производим замену у ' = з(х). Тогда последовательно получаем х'(х) = -у зу', х' — = 1, х+1 Полученное линейное уравнение решаем методом вариации произвольной постоянной. При этом находим з = С(х)(х+!), где С(х) = $п(х+ Ц+Се. Окончательно решение исходного уравнения принимает вид 1 у= (х+ 1)бп(х+ Ц+С) 98.

хуз(х+ (*'+ у'+ 1) Иу = О. ° а Произведя замену хз = и(у), получим линейное уравнение первого порядка 1 йи — у — + и = -(у' + 1). 2 4у Сг з / 3 Его общее решение имеет вид в = — щ, где С(у) = -у ~$- + 1) +сопи. Таким образом, имеем У все решения исходного урзвиения: у + 2хзуз + 2у = С. ° 99. (х'у — Зх'у+ у') <Ых -ь 2х' г!у = О. ° Разделив обе части уравнения на Их ~ О (х = Π— очевидное решение), получим уравнение Бернулли 2х — +(х — Зх )у= — у. зау з з з Фх Счишя у Ф О (у = Π— тривиальное решение), делим абе части посдеднего уравнения на — уз и полагаем = я(х). Тогда получим 1 — = я'(х); х з' — (х — Зх )з = 1. Гл.

1. Дифферевпиальвые ураввшия первого порядка Решая это линейное уравнение, находим х = С(х)х зе*, где С(х) = -е *+ Се Теперь запишем все решения исходного уравнения. Суе — у — х =О; х=б; 2 ь 2 3 у=б.м 100. 2у' — — = м Умножив обе части уравнения на у и положив у = и(х), получим линейное уравнение и — и = х. х (1) хз — 1 Ищем решение в виде и = у(х)в2(х).

Подставив и и и' в (1), имеем (.('-,*' ) +-'~=*. Функции 1 и в2 находим из уравнений хг =О, в2) =х, х2 — 1 Из первого )равнения получаем ( = СДхг — Ц. Из второго уравнения следует, что 1 2 и = — )) х' — Ц зап(х — 1) -Ь См С Следовательно, и = !х — Цзян(х~ — 1) + СДхт — Ц = х — ! + СДм~ -Т~, откуда у' = х'-1+ Сф*з — Ц. ~ 101. у'х'мну = ху' — 2у. < Разделив обе час~и уравнения на у' Н О (у = Π— очевидное решение) и приняв х за функцию от у, получим уравнение Бернулли ЙХ 3 2у — — х = -х йпу.

2(у Используя замену х ' = х(у), приходим к линейному уравнению уг +х = 3!пу, общее решение которого вырывается формулой С позу у у Все решения исходного уравнения имеют вид: ! С сову г 2 У=О; — 2= — — —, илн у+х сову — Сх =О.м у у 102З, (х + у + 2х — 2У)Их+ 2(у — 1)2(у = О. М Преобразовывая уравнение следующим образом: ((х + 1) + (у — 1) — 2) 2((х + 1) + 2((у — 1) = О н полагая х+ 1 = и, (у — 1)' = е, приходим к линейному уравнению 2(Е 2 †+в=2 в а 2 г с его общим решением в = Се "— и + 2и.

Все решения исходного уравнения описываются формулой х'+ у' — 2У = Се '. > 45 $4. Лиыейыые уравыеыиы и урашеыыя, Ариводящыеся к ыым 103. (е" — у')х = 2. < Полагая е" = е(х), получим уравнение Бернулли 2 х+ — т=х. х Его обшее решение имеет вид 1 х(х) = х(1+ Сх) Общее решение исходного уравнения запишется в виде у = — (п(х ь Сх ). (и 104. д(х) = ~ у(1) 41 ч- х + 1. о и Взяв от обеих частей равенства производную, получим линейное уравнение общее решение которого у = Се Исходя из очевидно~о начального условия у(0) = 1, находим С = 2. Следовательно, у =2е' — 1.

м 105. '( (х — 1)у(1) 41 = 2х Ч- ~ у(1) г(1. о е ~ Дважды дифференцируя левую и правую части равенства, имеем последовательно у(() 41 = 2+ у(х); у(х) = у'(х), е откупа находим у(0) = — 2 и у(х) = Се*. Из начального условия следует, что С = 2. Итак, функция у(х) = -2е* есть решение поставленной задачи.

м 106. унх 4 х 4у+ у~(яду — ус(х) = О. м Это уравнение Мнндинга — Дарбу, поскольку функции М(х, у) = у и тт'(х, у) = х однородные и имеют степень 1, а функция Я(х, у) = у' однородная и имеет степень 2. Следовательно, применима замена у = их(в), Имеем их йх + х(и йх + х йи) + из хе(х(и йх + х Ыв) — их йх) = О, или 2идх Ч-х(14 х'нз)ди = 0; х = О. .(1) Разделим обе части полученного дифференциального уравнения на йи. Оно превратится в уравнение Бернулли Их 2 3 2н — +х= -и х .

йи Полагая х ' = е, приходим к линейному уравнению 3 ве — е=н Легко проверить, что его общее решение представляется в виде х = и'+ Си. Последовательно возвращаясь к старым переменным, окончательно имеем у +Сху — 1=0. Решения х = 0 и у = 0 входят сюда при С = со. м 46 Гл. 1. Диффереицвальгмм уравнения первого порядка 107. (х'у+ у' — ху) !(х+ х'!(у = О. М Записывая уравнение в виде О у (Еу + (х~у + у ) г(х+ х(х г(у — у ах) = О, замечаем, что оно есть уравнение Миндинга — Дарбу.

Поэтому, полагая у = их, полу мем х (и+ и )!(х+х Ии = О, !(и х=О; +Ых=О; и=б. и(1+ и!) Отсюда следует, что + — = Се *. Возвращаясь к переменным х и у, окончательно получаем ъ/и'-(-1 у~ = Сзе ~(х + уз); х = О. м 108. у~(х+о)Их+ х(х — ау)оу = О. М Это уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку оно приводится к стандартному вшгг у хе(х+ и~ г!у+ ау(убх — хг(у) = О. Произведя замену у = их(и), получим линейное дифференциальное уравнение йх х а — + !(и и(и+ 1) и+ 1' для решения коюрого применим метод вариации произвольной постоянной.

Решение соответствуххцего однородного уравнения имеет вид и+1 х = — С. (!) и Считая С = С(и), получаем дифференциальное уравнение решение которою имеет внд о С(и) = о !л(Се(и+ 1)) + —, Се = сопя!. и+1 Подсивив значение С(и) в (1) и принимая во внимание, что и = кх, запишем общее решение исходного уравнения в виде 109. (2еу — хгу — уз)г(х — (х'+ уз — хз — ху')йу = О. М Это такие уравнение Миндинга — Дарбу, поскольку (2ху — х у — у ) г(х — (х + у — х' — х у ) !(у = 2ху ох — (х + у ) бу — (х + у )(у !(х — х оу). Полагая у = их(и)„получим уравнение с разделяющимися переменными (и — из) ох + х(1 + и')(х — 1) Фи = О, из которого следует, что х — 1 и = С. иг Следовательно, в старых переменных имеем у(х — 1) = С(х~ — у ).

м Решить сведующие задачи. 110. найти кривую, которая имеет следующее свойство: отрезок оси (гх от начам координат до пересечещи с касательной к этой кривой в любой точке пропорционален ордянате этой точки. М Из уравнения касательной к искомой кривой в точке М(х, у) 1' — у = у'(д' — х), $4. Лвиейвые ураанеивг и уравнения, врвавдаивеея к ивм 47 где Х, à — текущие координаты касательной, следует, что абсцисса точки пересечения ее с осью Ох равна х — лг. Согласно условию, имеем уравнение у у ах х — — = йу, или у — — х = -йу. у ау Все решения полученного уравнения имеют внл *=у(С-й) ~у1).п 111.

Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есп величина постоянная, равная За . г м Из уравнения касательной (см. предыдущий пример) находим длину отрезка ОК: 10К) = = у — ху' (рис. 21). Пуси Б — площадь трапеции КОММ. Имеем (КО( + 1М1(г! 2 у Согласно условию задачи, Я = За'. Следовательно, 2 За = — (у — ху + у)х.

2 М(х, у) Полученное уравнение линейное относительно у: а баэ К ху' — 2у = — —. Его общее решение имеет вид 2а у = — +Сх. ~ х га. эг 112. Найти кривую, в каждой точке которой поднармаль является средним арифметическим кьздратоа координат этой точки. < Согласно условию, имеем (рис. 22.): ~ЛЧ~ = -' (1Одг!'+ !МЛг~') . Рассмотрим треугольник М)тЬ и найдем длину катета ФЬ.

Имеем (ЛЬ| = уу'. Таким образом, лнфференциальное уравнение искомых кривых имеет вид 2уу' = х + у'. Полагая в нем уэ = н, получим линейное уравнение в'-и = х'. Решая его, находим и = Се*-х~ — 2х-2. Окончательно имеем у =Се — х — 2х — 2.п э 113. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг сали. В бак втекает 5 л воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток вэщкости иэ него выливается. Копи каличеспю соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно? м пуси, 121(1) и Щг) — количества соли в кг соответственно в первом и втором баке в момент вРемени 1 ат начала пеРеливаниЯ.

Тогда з?017 — — количество соли, выливающеесЯ из первого бака ао второй за время ат (до 1+ж, а тбв' — — количество соли, выливающееся из втоРаго бака за этот все пРомежУток вРемени, где(и Е (1, Г+Ж), йп Е (Г, 1+Ж). Слеповательно, Ж~(~п) Жэ(~а) (1) 100 100 48 Гл.

1. Диффереициальвые уравнения нервно нарядна есть количество соли во втором баке в момент времени (+ ах(, а а'„та((+Ь() =(2,(1) — ' " ти РОО (2) есть количество соли в первом баке в этот же момент времени. Из (2), переходя к пределу при Ы -а О, получаем дифференциальное уравнение Ма — = -0 05(ка рй откуда а'„та = Се к~', где время С измеряется в минутах. Поскольку (4а(0) —. 10, то С = 1О, Следовательно, !О -о,ма (3) Совершив предельный переход в (1) при аз( — О, и принимая во внимание (3), получим — = -Оа05()т + 0,5е а(а;тт -о,ора Решив линейное уравнение, имеем (4т(1) = (0,5( + С)е Так как ((т(0) = О, то С = О.