Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 14

5.2. Интегрирующий множитель. Функция р = р(х, у) х О, после улоножения на которую уравнение вида (1) превращается в уравнение в полных дифференциалах, называется интегрирующим множителем для этого уравнения. Теорема У. Если функции М и Ж непрерывны, имеют непрерывные частные производные, то интегрирующий множитель существует, если М ь )ч' ог О (достаточные условия). Теорема 2. Если ро(х, у) — интегрирующий множитель уравнения вида (1), а ио(х, у)— соответствующий ему интеграл этого уравнения, т. е. Ро(Мдх+ з Гду) = дпо то р = р,(х, у)зо(ио), где зо — произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем указанного уравнения.

Эго свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части. Сущность метода заключается в следующем. Пусть и,(х, у) = С,, р~(х, у); из(х, у) = С,, рз(х, у) — общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений М~дх+ЛодУ=О, Мзда+у(здУ=О. (4) Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции р; = рн(о,(и,) и рз = ргрз(из) яюиются интегрирующими множителями лля первого и второго уравнений соответственно. Если удастся подобрать функции р, и рз так, чтобы выполнялось равенство )о,уо,(и~) = рзрз(из), то интегрирующим мнозкителем для уравнения (М1 + Мз) дх + (р(1 + )тз) ду = О, (5) очевидно, вынется функщнг.

и = ро(оь(и~) = рз)оз(из). Гл. 1. двйяререияиальвые уравиеввв первого парилка 54 5.3. двффереицввдьвое ураввевве дли ивтегрврувнвего мвцивтели. Если известно, что )з = )з(ы), где оз = оз(х, у) — известная лнфференщоруемм' Фун"зогя то интегрирующий множитель )з удовлепюряет дифференциальному уравнению (6) Найти общие интегралы уравнений. 124. (х!пу — х'+сазу)г(у+(х'+РИд — у — 2ху)г(х=О. М Так как на множестве Р = ((х, у) Е м~: -со < х < +со, у > 0) выполняется равенство з д з — (х +у1пу — у — 2ху) = — (хИу — х +сазу) = !ну — 2х, дд дх то левая часть рассматриваемого уравнения является полным дифференциалом некоторой функции Ф. По 4юрмуле (3), п.

5.1, получаем а г 4 з Ф(х, У) = ( (Г + У !п У вЂ” У вЂ” 2!У) ~И + ~ соз ! М = — + хд(И У вЂ” 1) — Ух + Яп У вЂ” Яп Уо. 4 о зо Общий интеграл уравнения записывается в виде х'+4ху(1пд — 1) — 4х'у+ 4япд = С. и 125. + з(х+ д — Од=О. и Поскольку при |у! > (х! выполняется тождество ду згуз — хг дх дзгуз — хт то имеем уравнение в полных дифференциалах. Применив формулу (3), п.5.1, получим з ф( °, )=~( ° )а~/~а--( ° и)+..---и.

д=! / у 2 Общий интеграл уравнения имеет вид х + у + 2 шсз!и — = С. В з х у Решить дифференциальные уравнения метадон интегрирующего множителя, зняг, что )з = = у(х) или Р = у(д). 126. 1+ !' дх+ — + — ", дую=о. М ПаваГж В (6), П.5.3, и = Х, М = 1+ -дт, !ЗГ = — + -У, ПОЛУЧаЕМ или 4я 2Р Йх х Отсюда,и = хз (С = 1). Видим, что выбор функции и оказался удачным. Умножив почленно данное уравнение на *', пахучим уравнение в подиьи дифференциалах (аз + у) дх + (х + 2у) з(у = О.

Применив формулу (3), и.5.2, найдем общий интеграл: хз + Зху+ Зуз = С. и 55 $5. Урявввиия в иолимх дифферевцииаах. Ивтщгвруяицвй миожвтель 127. у'(. — зу)ах+ И вЂ” зхд')г(у = о. < Положим в (6), и. 5.3, и = х, М = уг(х — Эу), )гг = 1 — Зхуг: ) гт гчг 1 г()г 2у(х — Зу) 1 — Зхд ) — = 2д(х — Зу)уб <(х ,и г!х 1 — Зхуг Замечаем, чта )г не может зависеть только ат х, поскольку слева в последнем равенстве имеется функция талька от х, а справа — функция от х и у (х н у — независимые переменные). Испытаем теперь множитель и = у.

Имеем г ад -у (х — Эу) — = 2у(х — Зу)уо -у — = 2И. цд ' йу Интегрируя последнее уравнение, находим р = у (С = 1). Умножая обе части исходного уравнения на у г, получаем уравнение в полных дифференциалах (х — Зд)г(х+(д ' — Э )г(у =О. По формуле (Э), и.

5.2, записываем общий интеграл этого уравнения ау — бху — 2=Су (дхо). При почленном делении исходного уравнения на у мы потеряли решение у = О, поэтому общий его интеграл имеет шщ х у — бху' — 2 =Су (у =о при С=со). М Проинтегрировать следующие уравнения с помощью множителя )г = )г(х+у) или,п = )г(х — у).

128. (2х'+ з*'у+ у' — у)г(х+ (2у'+ зхд'+*'-*')(у = о. и Пусть )г = д(х — у). Тогда, полагая в (6), п.5.3 ы = х — у, получим (2у' + Зху + х — х + (2х + Зх'д + у' — у')) — = (бх — бу + 2у — 2х))г, г(ы (уг,з+хг+дг+Э у(.+у)) д 2(зхг Зуг+у,) г Йы Очевидно, по выражение не является функцией от (х — у), поэтому у — х +х +у +Эху(хи у) будем искагь функцию )г в виде )г = )г(х + у). Тогда, аналогично проделанному выше, имеем (2у + Зху + х' — х — (2хз + Зхгу + у — д') ) — = (бх — бу + 2д — 2х))г, (3(у — х)(у + яд + х ) — (у — х)(х + у) + Зху(у — х)) — = (у — х)(2 — 6(х + у)) р, г г ~И откуда окончательно находим (3(х + д) — (х + у)) — = (2 — 6(х + у)))г, йо (З '-ы)д'=2(1 — 3 )йб ыд'+2д=О. Решая последнее уравнение, получаем р = -т — — — т (С = 1).

Умножив исхолное 1 и (х+ у) уравнение на — г, будем иметь уравнение в полных дифференциалах. Его общий интеграл 1 (х -ьу) имеет вид 21 +31 у+у — у ОГ+ /21 ((=сопл( (у, ~ О), П+ д)г о тг илн х + уз+ ху = С(х.+ у). Отметим, что решение у = -х содержится в общем интеграле при С = аа. М 56 Гл.

1. Диффереиаиалыиае уравиевиа иервого иарадвв 129. (у — — + ) «х+ «у=о. ау м Ищем интегрирующий множитель в виде )з = р(х + у). Тогда из (6), п.5.3, получим (ы = а+ у): ( -"'-у-х) — "" =('--')' ((а — х)х — у(х — а)),и = (х — а)!и; (х+ у),и + р = О; ыр'+ р = О, Таким образом, р = ы ' = (х+ у) ' (С = 1) и данное уравнение приводим к виду Интегрируя его, получаем г «! «! + а / — = сопи (ха ~ 0), / х+! и о е ~1 ь-"~ =С.!ь Решить следующие уравнения, считая, что интегрирующий мнохситсль имеет аил: и = р(ху), ,и = )г(х' + у') или,и =,и(х — у ). 13().

(х' + у) «у+ х(1 — у) «х = О. М Испытаем множитель !г = р(ху), т. е. в (6), и. 5.3, пололсим ы = ху. Тогда получим ((х + у)у — (1 — у)х ) — = ( — х — 2х)р, 2 «р «ы (2ух +у — х ) — -ь Зхр = О. т з з«р «и з, „„г,,~„, Зх гу +у — х виде интегрирующий множитель не существует. Положим ы = х'+ у'. Тогда будем иметь ((х + у)2х — (1 — у)2ху) — = — Зхр, 2 «р 2(х + у') р'+ Зр = 0; 2ыр'+ Зр = О. з Интегрируя полученное уравнение, находим р = ы 1 (С = 1). Таким образом, исходное уравнение преобразовывается в уравнение в полных дифференциалах: х +у х(1 — у) 3 «у+ 3 «х ж О' (х'+у')1 (х'+уз)з Проинтегрировав его, получим т(! — у) «! р «(!у!) + — — сопя! (уе тг 0), о (И+у')т з, или — )--= у (-у )у! тй'+ у'/ !у! ' !у! уха+ ут 57 $5.

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрируюишй множитель 131, (2хху~ — у) бх + (2х ут — х) г(у = О. М Пусть ы = ху. Тогда из (б), и. 53, получаем ((2х у' — х)у — (2х у — у)х) — = 4ху(х — у )р, или (ху) р + 2ху)г = О; ы,и'+ 2,и = О. Огсюда находим р = -т — — — т — т (С = 1). Исходное уравнение приводится к уравнению в полных 1 ! и ху дифференциалах: (2х — — ) бх+ (2у — — ) лу = О.

Применив формулу (3), и. 5.1, находим общий интеграл / (21 — — ) ит+ / (21 — — ) ~(Г = оопп, 1 1 или ху(х'+у') + 1 = Сху. М Решить уравнения, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных. 132. (хт+ут+х)г(х+у4У=О. ° Записывая уравнение в виде (хт+ уг)бх+ 1 О(хг+ ут) — О и полагая х' + у' = н, получаем 1 ийх+ — ди = О. 2 Интегрируя это уравнение, находим и=Се ™, илн (х +у)е =С.~ 133. (х + у + у)их — х~(у = О. м Записав уравнение в виде удх — хду бх+ =О хт + ут еях — хяя г l и приняв во внимание, что — т — т- = й (агсгб - ), получаем г( (х+ ахсгб — ) = О, откуда у! у) х х+ агсгб — = С У вЂ” общий интеграл уравнения.

и 134* Убу = (хну+ Убх)ъ/1+ Ут. м Представим уравнение в виде бу' = б(ху), 2т/1+ у' ф + ут = ху+ С. и 135. ху'(ху'+ у) = 1. ° По аналогии с решением предылущих примеров, имеем последовательно (ху)(хр) =х; хУ=и; ии =х; — 1иг1 =х — 3~ 58 Гл. 1. Двффереааиалиаые уравиевия верного порядка Откуда и = — х +С, или 2ху — Зх =С.> з З 2 3 3 2 2 136. уз«х — (ху+ хз) «у = О. < Считая х и' О, у и' О (х = О и у = Π— тривиальные решения), преобразуем уравнение к виду у(у«х — х«у) — х «у = О, откуда у«х — х«д х — -«д=о. х' у Полыая х = и, имеем «д «и+ — = О.

и Получили уравнение с разделяющимися переменныыи. Проинтегрировав епз, получим и + 2у = =С, или д +2ху=Сх. Решение х = О входит сюда при С = со, а решение д = Π— при С = О, поэтому можно считать, что получили общий интеграл исходного уравнения. и 137.

д- -! х+ — = О. «у д и Преобразовываем последовательно уравнение слелующим образом: у «х + «(!п — ! = О; х «х + — «1 !и — 1 = О; — «(х ) + — «(!и и) = О, у! д 1 2 х~ д и ' 2 и где и = лх. Поэтому 1, «и згх' 1) -«(*')+ — =О, «~ — — -~ =О. 2 из ' 12 и/ Отсюда находим х 1 — — — = сопи, или х у — 2х = 2Су. в 2 и 138. (х'+3!пу)у«х = х«у. Ы Вводя замену !п у = и, получаем уравнение (х + Зи) «х — х «и = О, интегрирующий множитель которого ищем в виде Р = )4(х). Тоги будем имен — ()4(х + Зи)) + — ()зх) = О, ди дх откуда следует, что 4д + хд' = О.

Интегрируя полученное уравнение, находим один из инте- грирующих множителей (4 = х 4. Разделив почленно уравнение (1) на х4 (х Ф О), приходим к уравнению в полных дифференциалак ( ) 1 Зи~ «и — + — ) «х- — =О, х2 .4) хз общий интеграл которого имеет внл 1 У 2 З вЂ” — З! — = сопя!, или х +1пу= Сх . !ь г 1 ~*' ! ! ф 5. Уравишищ в пашни дифамревниааах. Ивгегрврувнний мввшитель 139. у'ах+(ху+гбху)ауш О. М Полагая ху = и, получаем у = — ", ау = — г(х ам — мах). 1 х Подставив у и ау в уравнение, имеем и хан — мах — ах+ (и + сан) =О, хт т откуда Интегрируя, находим н Гй и ах = (и + 1й н)х ан.

х = Сняпм, или дяпху = С. > 140. у(х+у)ах+(ну+ Пад=о. м Разделив почленно обе части уравнения на у, получим уравнение в полных дифференци- 11 (х+у)ах+ (х+ — ) ау = О. у Епз общий интеграл имеет нид х + 2ху+ 1п у = С.