Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Таким образом, имеем дифференциальное уравнение — — х= х+у у У Эго уравнение однородное и с помощью замены у = хн(х), опуская простые выкладки, получаем его решения у -гсх-с =о, 2 2 геометрически представляющие собой семейство парабол (С ~ 0). м 84. Пусть йо — корень уравнения у(й) =- й. Показать, что: 1) если у'(йо) < 1, то ни одно решение уравнения у' = у(Ц, за исключением решения у = Фох, не касается прямой у = йох в начале координат; 2) если у'(йо) > 1, то этой прямой касается бесконечно много решений. м Применим метод доказательства от противного.
Пусть при выполнении условий у(йо) = йо, У'(йо) < 1 сУществУет Решение УРавнениЯ У' = 1(кх), касающессЯ пРЯмой У = йох в начшге координат. Тогда в малой окрестности начала координат оно предсташшется в виде У(х) = "ох+ хб(х) (1) .де б(х) 0 при х — О. Подставив (1) в рассматриваемое уравнение, получаем йо + хб + б = У(йо + б(х)) = У(йо) + У Оуо)б(х) + с(б) ~ хб' = Аб+ о(б), пкуда хб' о(б) — = А+, где А = у" (йо) — 1.
б б отбросив — у- (как величину, стремящуюся к нулю при х — 0), можем записать -Ь- - А, откуда осбз хб' иходим б - С)х)~. Из полученной формулы следует, что если С Ф О, то б к нулю не стремится три х -г 0 (в силу того, по А < 0). Полученное противоречие и )юказывает ушерждение 1). 2) В этом случае противоречия нет, поскольку А > 0 и б- О при х — 0 для любых С, м Змяечяаяе. Строго говоря, нн ояно Решение нп в одном нз рассмотренных случаев не касается прямой у = Ьох а начале кссролнат, если молчаливо не допустять, что Х~ = Вгп а -о*' б 4.
Ливейвме уравнения и урааиеиия, ирввавмвиеся к вим 39 Согласно условию, имеем у(1+ Д1) — у(1) у(1,) =й —, (1) х(1 + Лг) — (О (1,) ' где й — коэффициент пропорциональности, 1, б (1, 1+ «зг). Если функции х и у днфференцируемы, то из (!) предельным переходом при Ьг — 0 получаем дифференциальное уравнение йу у — =й-, йх х проинтегрировав которое, находим требуемую зависимость у =Сх~. в ф 4. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним 4.1. Линейное уравнение первого порядка.
Уравнение вида — +Р(х)у=()( ) йу йх (1) называется линейныи уравнением нерво«а нарядна. Наиболее употребительным способом его решения является ме«над вариации произвольной наса«алиной. Сущность метода состоит в следующем. Сначала ищется решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (1): — +Р(х)у = О. йу (2) йх Затем в общем решении уравнения (2) произвольную постоянную С считают некоторой диффереицнруемой функцией от х; С = С(х). Эту функцию находят из дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, которое получается в результате подстановки общего решения уравнения (2) в уравнение (1).
4.2. Обмен ролмин между функцией н аргументом. Некоторые уравнения становятся линейными, если в них поменять ролями функцию и аргумент. 4.3. Уравнения, приводимые к линейным. К линейным уравнениям приводятся также уравнения вида: у (у) — + Р(х)й(у) = «3(х), йу йх — + Р(х) = «2(х)е"", йу йх — + Р(х)у = 1)(х)у (уравнение Бернулли). Полагая в О) У(у) = х(х), получаем У'(у)у' = з'(х) и х'+ Р(х)х = «2(х). (3) (4) (5) 85.
Лве вилкас«и х и у полвергают дистиллированию. Известно„что в любой момент времени этого процесса отношение количеств жидкостей, которые превращаютса в пар, пропорционально отношению количеств, которые находятся еше в жидком состоянии. Определить зависимосп между х и у. < Пусть х(1) и у(1) — количество жидкостей, не превращенных в пар в момент времени 1. Тогда х(1+ й«1) и у(1 + «ь() — колнчесша жидкостей, не превращенных в пар в момент времени 1+ Ы.
Следовательно, за время Ж в пар превратились следующие количества жидкостей: х(П вЂ” (1+51) и у(1) — у(1+«ьг). Гл. 1. Диффереициашиые уравиеиюо первого порядка В уравнении (4) целесообразно провести замену е "" = г(х). Тогда получим л -пе ""у' = з', — — +Р(х)г = Я(х) (и ~ О). и Уравнение Бернулли приволится к!шлейному с помощью замены г(х) = у' (т оо О, т и 1, так как в этих случаях оно уже линейное). 4.4.
Уравнение Миидннга — Дарбу. ураоаевие Миядияга — Дауду М(х, у) да+)У(х, у)ду+ 22(х, У)(хдУ вЂ” Удх) = О, где М и )т' — однородные функции степени т, а  — однородная функция степени и, посредством замены у = пх(и) приводится сначала к уравнению Бернулли, а последнее — уже известным способом к линейному. Решить уравнения. 86. у'+ узах = зесх.
М Сыачала находим все решения однородного уравнения, соответствующего данному: у +у!ах=О. Переменные разлезиются, и после интегрирования находим у = Ссозх. Формула (1) представляет общее решение однородного уравнения, где С вЂ” произвольны постоянная. Для получения всех решений данного уравнения считаем С = С(х) и требуем, чтобы функция у = С(х)созх удовлетворяла ему, т.е.
С созх — Свих+Серах!ах = зесх, или С = — т —. Отсюда находим С(х) = гб х + Со, где Со — новая произвольны постоянная. ! Подставив значение С(х) в (1), окончательно получим у = з!пи+ Сосозх. > Примечание. В дальнейшем лдя новой аролпводьной постоянной буделл исаодьзооать старое обозначение С. Тадич образом, в рассмотренном примере у = о!их + Ссоох ость общее решение, а С— постоянная.
87. (2х + 1) у' = 4х + 2у. < Решаем соответствующее однородное уравнение (2х + 1)у' = 2у. Его общее решение имеет вид у = С(2х+ 1). Прнмеошм метод ыриации произвольной постоянной. Имеем (С'(2х+ 1)+ 2С)(2х+ 1) = 4х+ 2С(2х+ 1), или (2х + 1)тС' = 4х. Отсюда находим г хда 1 С(х) = 4 / l (2х+ !)' + Со = $п|2х+ Ц+ — +Со. 2х+ 1 Таким образом, окончательно получаем у = (2х+ 1)(1п(2х+ Ц+ С)+ 1. ь 88. (ау+ е')дх — хну = О. < Считая л(х ~ О (х = Π— тривиааьное решение), записываем уравнение в виде ху' — ху = е*. 41 й 4.
Линейные уравнения и ураввеввя, прваодяивмея к иим Соответствующее однородное уравнение ху' — хд = О имеет общее решение у = Се*. Далее применяем метод вариации произвольной постоянной. Имеем х(С+ С')е* — хСе* = е*, откуда С' = —, С = 1п ф + Се. Получаем все решения неоднородного уравнения: 1 у = с'(1п 1х(+ С); х = О. М (1) 89. (х+у')пу = упх, М(1, П. < Уравнение не вюшется линейным относительно переменной у, однако оно линейгюе относительно х.
Поэтому целесообразно считать х функиией у. Считая 4у ~ О (у = Π— тривиальное решение), имеем 4х х+д =у 4д' Соответствующее однородное уравнение х = у2 — имеет общее решение * = Су. Применив кх д метод вариации произвольной постоянной, получим последовательно Сд+у = у(СуфС), Сь=), С= у+С.
Следовательно, все ретиения данного уравнения описываются формулами * = Су+ у'; у = О. > (1) 2 Замечание. Перспнсав первую формулу а (1) в виде р = — СУ- н положив С = со, пояучнм решенно д = О. Таким образом, если допустить, по постоянная С может прнннмать сингулярное значение, то решенне у = О можно не ямпнсмеать отдельно. Полагая а (!) х = 1, у = 1, накопим С = О. Тогда нз (1) получим частное решение х = у . т 90.
(2е" — х)у' = 1. дй ! < Предложенное уравнение линейное относительно х. Так как з- — — -~-, то его можно ет записать в виде 2е" — х = х'. Общим решением однородною уравнения х'+ х = О явдяется функция а=Се ". (2) Считая С = С(у) и подставив (2) в уравнение (1), !!слупим последовательно 2ез — Се "= С'е "— Се ", С' = 2ез", С(у) = е "+ Се. Окончательно имеем х = Сс " + е". )ь 91. (я(п'у+хсгбу)у'=1.
< Уравнение линейное относительно переменной х, поэтому представляем в его в виде х — хсгбу=ип у. Применив метод париации произвольной постоянной, получим х(д) = С(у)ипу, где С(у) = — сову+сопи. > 14у / 92 — — + (2 — х)1пу = х'(е ~.1-е т ) у 4х И Это уравнение вила (3), п. 4.3, поэтому применяем замену 1п у = л(х). Имеем — — — х + (2 — х)л = х~с + е т у1. у йх' 42 Гл. 1.
Дифференциальные уравнения нервно порядка Полученное уравнение линейное относительно «. Пользуясь мепщом вариации произвольной постоянной, получаем » г / »2 «(х) =С(х)е'У, где С(х) = ~ х~ е Т+е ) г(х+Сз. Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид )и у и е з ~ — ~х — - ! е — е т + С) . М *— '-з» г'1 1 2» Ы 93. " — У + ф+ ! = х' у»ут+ 1 а'х < это также уравнение вида (3), п.4.3, следовательно, произведем замену «(х) = ч'уз + 1. Тогда получим ! «~=, «+«=х +1.
гу»+ ! Проделав всю необходимую процедуру, требуемую в методе вариации произвольной постоянной, найдем: « = С(х)е *, где С(х) = е* (х — 2х+ 3) + Сз. Итак уз+1 = хт — 2х+ 3+ Се * Р— общее решение исхолного уравнения. М , г(у 94.е* У вЂ” е"=е". ох ° Умножив обе часты рассматриваемого уравнения на е*, получим уравнение вида (4), и.4.3« йу ††. ох Следовательно, применяем замену «(х) = е ". Тогда получим последовательно — » Р »» г » «(х) = -е "у(х), -е"« — 1 =е е", — « — « = е . Полученное уравнение линейно относгпельио «. Его решение имеет вид: 1 « =Се * — — е*. 2 Осталось записать общее решение исходного уравнения: 1 е "=Се» вЂ” — е~.м 2 95. 3 ау + (1+ е*+'») йх = б.
и Преобразовав уравнение к виду йу 3 — +! = -е*.е г(х замечаем, что оно относится к виду (4), п.4.3. Поэтому воспользуемся заменой «(х) = е з". Тогда последовательно получим » «(х)»» — Зе з"у', — — +1=- —, «' — «=с*. « «' Общее решение линейного уравнения находим известным способом, в результате чего имеем «(х) = Се*+ хе*. Осталось запиазть общее решение исходного уравнения: 1 х у= — -1п(С+х) — —. м 3 3 $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
