Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (Антидемидович), страница 7

Полагая в последнем равенстве ! = 60 мин, получаем, что кщзичество соли в баке через час равно 10е кг ы 0,5 кг. Ь 39. В воздухе комнаты объемом 200 м содержится О, 15% углекислого газа СО,. Вентилятор подает в минуту 20м воздуха, содержащего 0,04% СОз. Через какое время количество углекислом газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? м Пусть (2(1) м — количество углекислого газа в комнате в момент времени ! после начала работы вентилятора. Тогда -~00- есть концентрация его в комнате в момент времени !. О(!) Следовательно, 20 м' воздуха, которые уходят из комнаты за минуту, содержат 0,1зЗ(!) м' СОз.

Поэтому за время >?! мин из комнаты уйдет 0,1!'„)(!) >и м' СОз. За это же время вентилятор подаст 0,04% з з -' — 20 >(! м = 0,008 >(! м СОз в комнату. Таким образом, приращение 4('„з газа СОз за время >(( равно (0,008 — 0,1( З(!)) Ф, и мы имеем дифференциальное уравнение >((2 = (0,008 — 0,1Д) >й. Проинтегрировав, получим 12(!) = (0,08 — Се ' ) м . Поскольку при ! = 0 (;з = О,Зм' (т.е.

0,15% ст 200м ), то С = -0,22. Таким образом, Ц = 0,08+ 0,22е "". Момент времени Т, котла количество СОз будет 0,1 мз, находим нз равенства О,! = 0,08+ 0,22е 'т. Получаем Т = 10 1и ! ! - 24 мин. > 40. Скорость остывання (илн нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20'С. Ко~да тело остынет до 25'С, если за 10 минут оно охладилось от ! 00'С до 60 С? м Согласно указанному закону, можем написать соотношение г)Т вЂ” и й(т-тп), (1) >й где Т вЂ” температура тела, Тп — температура окружающего воздуха, й — коэффициент пропорциональности.

В нашем случае Т, = 20'С. Интегрируя уравнение (1), получим Т = 20+ Сез'. Из условия Т(!)зг=п = 1ОО'С находим С = 80, а условие Т(1)!>. зп — — 60'С позволяет определить !г. Следовательно, й= — 0,1!п2, Т(!)=20+80е 'и'=20+80 2 Полагая здесь Т = 25'С, находим требуемый момент времени гз — — 40 мин. Ы 41. В сосуд, солерхгащий 1 ю воды при температуре 20'С, опушен металлический предмет с массой 0,5 кг, удельной теплоемкостью 0,2сн,о и температурой 75'С.

Через минуту вода нагрелась на 2'С. Когда температуры воды и предмета будут отличаться одна от другой на 1'С? Потерями тепла на назревание сосуда и прочими пренебречь. м По аналогии с предыдущим примером имеем 4Тп 4Тв йп(Тп 2а)> й (Т Зп)> Гл. 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 20 где Т„и Т, — температуры предмета и воды соответственно, «„и «, — постоянные коэффи- циенты. Вычитая почленно из первого соотношения второе и вводя обозначение В = ҄— Т„ можем записать ОЛ «и + «в гЫ Отсюда находим В = Сем. Поскольку в начальный момент времени ! = 0 разность В = 55', то С = 55. Поэтому В = 55е"'.

Для определения коэффициента «воспользуемся уравнением теплового баланса. Имеем по общей формуле для теплоты 13 = сгл(Тх — Т„), где с — удельная теплоемкость тела, гп — его масса, Ть — ҄— разность температур; Г'„), = 2сн,о Яз = 0,2 0,5(75 — Т)сизо Здесь 13, — катнчество тепла, поглощенное водой, (3з — количество тепла, выделенное предметом при остывании до температуры Т. Поскольку по условию ф = Г'„зз, то Т = 55'С. Таким образом, через минуту В = 55'С вЂ” 22'С = 33'С.

А тогда 33'С = 55'Се, откуда й = !п0,6, Поэтому Л = 55 (0,6)' есть закон сближения температур воды и тела. Из равенства 1 = 55 (0,6)" находим г(Т„ — = й(҄— Т„), (1) где Т„и ҄— температуры печи и металла соответственно, Далее, Т„= а+ (Ь вЂ” а)! в силу 1 равномерного повышения температуры печи, ! — время, измеряемое в минутах. Гаким образом, дифференциальное уравнение (1) можно записать в виде аТ„ — = й ~а+ — (Ь вЂ” а) — Т„~ .

О! (, 60 (2) Введем заменУ а + тб(Ь вЂ” а) — Т„= х. Тогда УРавнение (2) пРеобРазУетсЯ в УРавнение с Разделающимися переменными: 4х Ф-а а бО интегрируя которое, находим -!п(«х--~б — ) =-г+-1пС, Ь вЂ” а йФО, или 1~ Ь вЂ” а Т„=а+ (1 — — 7! — +Се ". «) 60 Так как Т„(!)(гм = а, то С = -т-« . Следовательно, окончательно имеем Т„= а+ — (! — — (1 — е )) .

Температура металла через час, очевидно, будет равна Т„(60) = Ь вЂ” — (1 — е ") . ° 60« !и 55 ге Змии 1п5 — !п3 — время, по истечении которого температура тела будет выше температуры воды на 1'С. )ь 42. Кусок металла с температурой а помещен в печь, температура которой в течение часа равномерно повышается ст а до Ь. Скорость нагрева металла пропорциональна разности Т температур печи и металла, коэффициент пропорциональности равен й.

Найти температуру тела через час. М Согласно условию, имеем 21 в 2. Задача, приводящие к уравиеиювв с разделяющимися переменными 43. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, а через 4 с скорость ее 1 м/с. Когда скорость лодки уменьшится до 1 см/с? Какой путь может пройти лодка до остановки? де м Пусть в(!) — скорость лодки в момент времени ! от начала движения. Тогла лТ есть ее ускорение. Согласно второму закону Ньютона лз — = л', де (1) 4! где à — сила сопротивления воды. По условию л' = яи, поэтому (1) принимает вид Ые (г — = — е = )гав (Йе = сопз!).

сЫ гл Интег н я это авнение, получим РР] ]Р е(!] = Се ' . Используя условие в(0) = 1,5, находим С = 1,5. Тогда (2) имеет вид е(1] = 1,5е ', где ! измеряется в секундах. Поскольку е(4) = 1м/с, то из равенства ! = 1,5е ' следует, что цг ]ге = 0,25 ]п(2/3). Поэтому скорость движения лодки выражается формулой е(1) = (-/ м/с. Подставляя сюда е = 1 см/с = 0,01 м/с, находим соответствующий момент времени (3) !и 0,01 ( 1,=4 1+ — ') щ50с, 1п(2/3) ) Лалее, поскольку е(1) = -2!— , где а(1) — путь, из (3) получаем лз(!) 4 2 т 1п(2/3) (3) гле ге — посзоянная интегрирования Пусть а(0] = О. Тогда ае = — ! Д/3] (3/, и закон !л(2/3] '] движения лодки имеет внд Из (3) видим, что йгп е(!) = О, поэтому из закона движения лодки получаем Г'„>(Г + ДЕ) — (2(Ю) = ]гД(Е,)Ы, ИЛИ = ЛГ2(1~). (2(1 + Ж) — (2(1) тат 6 а, = !пп а(1) = м 15м, ~-+я 1п(3/2) где а, — путь, который проходит лодка до остановки.

М 44. За 30 дней распалось 50% первоначально~о количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества? < Воспользуемся законом радиоактивного распада: количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося а Рассматриваемый момент. Пусть Я(1) — количество радиоактивного вещества а момент вре- мени 1 после начала распада.

То~да, в соответствии с законом радиоактивно~о распала, имеем дП) = (гЯ(1), где й — коэффициент процорциональности, д(1) — количество вегцества, распада- ющегося за единицу времени. Следовательно, за промежугок времени от ! ло ! + Ь( распадется ЛЦ(1,)Ы вещества, тле 1, Е ((, 1+ Ь(), !'.](1,) — некоторое промежуточное значение количества вещества между !',](!) и ]',](1 + ЬФ). С другой стороны, это же количество равно (3(1 + з5!) — (г(1), поэтому окончательно имеем Гл. 1.

Дифференциальвме ураввеивя верыпо порядка 22 Считая Функцию О дифференцируемой и переходя к пределу в последнем соотношении при зй! — О, получим дифференциальное уравнение — = й(2(!), з((2(!) Ж решением которого является Функция (2(!) = Се . Очевидно, постоянная С здесь означает м первоначальное количество вещества. Далее, нз условия 0,5С = Се находим й = — 30 1и 2, а из зоо 1 условия 0,0!С = Се м мз получаем 1п 100 г, = — . 30 м 200 (дней) 1п2 — время, по истечении которого останется лишь 1го первоначального количества вещества. Общая же формула для оставшегося количества вещества имеет внл О(!) = О(0)2 зо, где ! — время, измеряемое в днях.

М 45. Согласно оньпвм, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества рааия? ~ П>сть ()(!) — количество радия. Тогда оно удовлетворяет уравнению (1) из предыдущей задачи. Следовательно, функция О(!) = Я(0)ем выражает закон его распада, где ! — время, измеряемое в годах.

Для определения козф~знциента й воспользуемся условием: через ! = 1 год О = 999,56мг, если О(0) = 1 г. Отсюда е = 0,99956. Таким образом, О(!) = О(0)(0,99956)' Положив здесь О(г,) = 0,5О(О), определим время !п2 — — — 1600 лет, м 1п 0,99956 46. В исследованном куске горной породы содержится 100мг урана и 14мг уранового свинца.