Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K., Golovach G.P.). Tom 5. Differencial nye uravnenija (2001)(ru)(T)(394s) (940505), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда должно выполняться тождество Р(х, С) = х~+ Суз(х) — 2у(х) = О, (1) где х Е Х С Ж, Х вЂ” некоторое множество. Функция Р дифференцируема по х. Взяв производную, имеем дР(х, С) = 2х+ 2у(х)у'(х)С вЂ” 2у (а) м О, дх откуда С=" * (рр'МО). ур Подставив (2) в (1), получим дифференциальное уравнение (х — у)у — ху = О. и (2) 2. Су — з!п Сх = О. < Аналогично проделанному выше получим тождество Су'(х) — С соз Сх = О.
При С = О семейство кривых, для которых составляется дифференциальное уравнение, не определено, поэтому С ~ О. Из системы уравнений у~ =сги Сх, С д = а(п Сх находим 1- Р (2) Подставив (2) в (1), имеем 3. (т — СП + Сзу = 1. М Дважды диффеРенциРУЯ по х тождеспю (х — С,)з+ Сзуз(х) — 1 м О, полУчим: 2(х — С,) + 2Сзу(а)р'(х) м О, 1+ ((р'(х)) + р(х)р" (х)) С, м О. Исключив нз трех тождеств постоянные С~ и Сз, имеем р'р" +(р' +рр") = о. м 3. Построение днффереацаальаого ураааеана по заданному семейству драных. Для того чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства Введение 4..у = ее*. ~ После дифференцирования по переменной х получим у'(х) = Сес*, откуда С = у- (у Ф 0). = у Таким образом, дифференциальное уравнение данного семейства имеет вид у=ет* ° .
5. -Су -Су-с,=о. 2 < Трижды продифференцировав данное равенство по х, получаем: 1 — 2ууСг — Сгу = О, 2(у +уу )С!+ Сгу = О 2(Зуу + уу )Сг+ С!у г = О (1) Из последнего равенства (1) находим Сг у'е 2(З 'у" + у е) ( у + у (2) Подставив (2) во второе равенство (1), получаем у' у" — Зуу = О или Зув — у'ум = О, в силу того, что у' / О (это следует из первого равенства (1)). М Примечание. Во всех рассмотренных выше примерах мы предполагали, что существует производная требуемого порядка неявно заьч иной функции. Это предположение еушеетвенно, поскольку уже простейшее уравнение уг — х — С = О определяет бесконечное множество разрывных неявных функций у = у(х, С), -ео < х < +<и, например У= х Е 12 С й О.
— угС~-х~, хбй1Я, 6. Иаписать дифференциальное уравнение всех окружностей на плоскости. м Из курса аналитической геометрии известно, что каноническое уравнение окружности с центром в точке М(С„С2) и радиусом Л = Сг имеет вид: (х — С!) +(у — Сг) — Сг = О. (1) Считая, по каждая окружность описывается двумя трижды непрерывно дифференцируемыми функциями у = у(х), нз (1) находим: гг х — С,+(у(х) — Сг)у(х) = О, 1фу (х)+(у(х) — Сг)у (х) = О, Зу'(х)у'(х)+(у — Сг)у'(х)— : О. Исключив из двух последних тождеств у(х) — Сг, окончательно получим: ум(1+у' ) — Зу'ув =О.
> Примечание. Точнее говоря, мы получили дифференциальное уравнение всех окружностей, в каждой из которых выколоты две точки, лежащие на концах горизонтальною диаметра. 7. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой у = 2х. < Согласно условию задачи, в предыдущем примере следует положить Сг = 1, Сг = 2С,. Тогда уравнение (1) из примера 6 примет внд (х — Сг) + (у — 2Сг) — 1 = О. Получили однопарамегрическое семейство окружностей. Дифференцируя тождество (х — Сг) +(у(х) -2Сг) — 1 = О по переменной х (считая при этом, что у — непрерывно дифференцируемые функции от х), находим: х — Сг + (у(х) — 2СПу'(х) ы О. Из двух па чуланных тождеств путем исключения Сг имеем окончательно ( — у)'(у' + 1) — (2у'+ П' = о.
м Ввеяв иве 8. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной оси ()у, касающился одновременно прямых у = 0 и у = х. М Семейство парабол с осью, параллельной оси Оу, имеет вид у = С, х'+ Сзх+ Сз, где С;— произвольные параметры (у = 1, 2, 3).
Из условия касания прямой у = 0 вытекает, что у' = 2с~хь+ Сз = О, С~хь+Сзхь+Сз = О, ще хь — абсцисса точки касания. Отсюда следует, что Сз — — — (С~ Ф 0). (1) 4С~ Из условия касания прямой у = х вытекает, что должно быть Р 2 С у = 2С1хь+Ст = 1; хь — — у~', уь = С~ха+ Сзхь+ —. 4С~ Отсюда находим, что Ст — — 2. Подставив значение Ст в (1), получим Сз тцгС— . Таким образом, 1 1 искомое семейство удовлетворяет уравнению х 1 у=с~я + — + 2 16С~ ' где С, — произвольный параметр.
Исключив его из тождеств 2 у = 2с~х + †, у = С~х -ь — -1- получим требуемое дифференциальное уравнение семейства ху' = у(2у' — 1). » 9. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых у = 0 и х = 0 и расположенныл в первой и третьей четвертях.
М Ясно, что центры таких окружностей должны лежать на прямой у = х. Отсюда следует, что С, = Сг (см. пример б). А так как окружности касаются координатных осей, то С, = ~с~~. Таким образом, рассматриваемое семейство окружностей удовлетворяет уравнению (х — С~) ь (у — С~) — С, = О. 2 2 2 Из тождеств относительно кс (х — С,)' + (у(х) — С,)' — Сз = О, х — С, + (у(х) — С,)у'(х) ив з О следует требуемое дифференциальное уравнение г Р т у (х — 2ху) — 2ху + у — 2ху = О. » 10.
Составить дифференциальное уравнение семейства циклона х = С(à — з!п(), у = С(1 — сов(). М Дифференцируя функции х и у по Г и разделив у'(() на х'((), получим г(у у'(Г) па Г 1 — г = 2агсгк(-т) +2йл, й е х. йх х(Г) 1- Г Г 2 (В) Подставив значение Г в равенство (à — з(п()у — х(1 — соа() = О, после некоторых преобразований получим требуемое дифференциальное уравнение =а *+у~ у =агу ( ).» 11. Показать„что дифференциальное уравнение кривых 2-го порядка имеет вид 9у'"у"-45у»умун+40У»Р =О. м пусть в общем уравнении семейства кривых второго порядка ах'. + 2ьху + сут + 2«х + + 2еу+ у = 0 выполняется условие а Ф О. Тогда, не умаляя общности, мджно считать, что а = 1. дифференшгруя 5 раз, получим: (2) (3) (5) по и требовалась показать.
м 12. Показать, что дифференцируемое семейство кривых агс1а — — 1п С)(хат т+ у' = О У удовлетворяет дифференциальному уравнению (е + у) «х — (х — у) «у = О. М Взяв полный дифференциал от тождества агс,й — ".' ( ~+уз(х) =-Ь,С, я(хз получим «( гкд(52-ю /~+р~>) = — О, откуда х«у — у«х х«х+у«у +у х +у 7+ т 2 т ( +д)«х — (х-д)«д=О. м 13.
Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси Ох. М Если в уравнении семейства окружностей (см. пример 6) положить Сз — — !Ст(, то получим уравнение семейства окружностей с требуемыми свойствами: (а — С,) +(У вЂ” Ст)т — Ст = О. (1) Определив С~ и Ст из тождеств х — С~+у(у — Сз)мО, 1+у +(у — Ст)у" мО Ф и полставив их значения в (1), получим дифференциалыюе уравнение У'У» + 2У(1 + у'Р)у" — Уг(1+ У'з) — О, х+ Ь(у + ху') + суу' + «+ еу' = О, (1) 1+Ь(2у+ху )+с(у +уд )+еу =О, Ь(ЗУ»+ хух) 4- с(ЗУ'у»+ уу'») + е ум = О, Ь(4У '+ау ) +с(ЗУ +4У'у»'+уу ) +еу| = О, (4) Ь(5У +ху )+с(10У»дмЬ5ууу'"+уу~)+еу =О, Из уравнений (2), (3), (4) находим ЗУ»дьт — 4дай Ч~д»+ Ч~» — Зу'у»у" г Ь=, с= (6) Исключив из уравнений (2) и (5) е и подставив в результат исключения значения Ь и с из (6), получим окончательно Введение Найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 14.
ах + з = Ь, уз + зз = Ьз. Представив параметрические уравнения кривой в виде х = х, д = у(х), з = з(х), где у и з — непрерывно дифференцируемые функции, и подставив их в данные уравнения, получим тождества относительно х ах+ з(х) г— я Ь, у (х) + з (х) гв Ьз, (ц Продифференцировав эти тождества по х, получим а + з (х) ш О, у(х)у (х) + з(х)з (х) гв О, откуда а = -з'. Подставив значение а в первое из тождеспз (ц, имеем Ь = з — хз'. Это соотноз з з з шение совместно со вторым тождеством из (ц приводит к равенству у + 2яя х-х з' = О. Таким образом, искомая система уравнений имеет вид у +2хзз — хе =О.и з з уу +за =О, 15.
х + у = зз — 2Ьз, у = ах+ Ь. и По аналогии с предыдущим примером имеем 2х + 2уу' = 2зз' — 2Ьз', у' = а, откуда находим а = у', Ь =,~, (зз — х — уу'). Подставив значения а и Ь в исходные уравнения, пол!чин: Ь = у — хд', з'(у — ху') = зз' — х — уу', х + у = з — 2з(у — ху'). Последние два соотношения и есть требуемые дифференциальные уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
