АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 18

щзИМЕРЫ Пример 139 дзпы плоскость Р и точка А. Провести через точку прнмуиз, игуан. дельную плоскости (фиг. 476). Р с ш е и и е. задаем в плоскости какую-ннбудь прямузо (ье, ь'е'), а затея( через точку (а, с') проводггм прямую (аь, а'ь), параллельную ей. так как црямал (ьа гггг) задастое в плоскости произвольно, то, следовательно, через точку мплзЮ провести множество прямых, параллельных паоскости Р. Однако через точку можно провести только одну горизонталь и тольхо одну фронталь, паразь лсльную заданной плоскости (почему?). Фвг.

41б 151 Прнмер 14!) Даны точка А н плоскость-примой ЭЕ и точкой С. Провести через точку произвольную прямую, параллельную заданной плоскости (фиг. 477), Р е ш е н н е. Задаем в плоскостп какую-нпоудь прямую (с)г, с'ЬЗ н через точку (а, а') проводпм прямую (аЬ, а'Ь'), параллельную ей. (Задача веопределецвая.) Пример 141 Даны плоскость Р и прямая АВ. Параллельны ли они между собой (фнг. 478)? Решение. Прямая АВ параллельна плоскостп Р, еств в послелней можно провести пряыухс, параллельную заданной прямой АВ. !!роволагл верыгкальную проекцию (6'а') прямой, лсжащег1 в ллоскостп, параллельно прямой (а'ь') п затем находим ее горнзонтальнзю проекцпю (Ьс). Голл последняя параллельна прямой иЬ, то а прямая (аЬ, а'Ь') параллельна плоскости Р, л наоборот.

В данной задаче прямая АВ в плоскость Р не параллельны. Ре1певле задачи можно начать н с проведения горнзонтальвой проекцнн (Ьс) прямой н т. л. Пример 142 Даны прямая лог и плоскость — параллельпыып прямыми АВ и С1). Параллельны лп онп между собой (фцг. 479)? Р е и! е нв е. Проводпм пронзвольно вертикальную пооекцшо (ечу) вспомогательной прямой, ле:кащей в заданной п.юскостл, параллельную прямой пул', л находам сс горпзоптальпую прсекплзо (с!.).

Т:и как прямые (е!л ету) в (ввь т'л') пе паралте.!ьнь! (почему?), го и заданная прямая л плоскость тоже не параллельны. Решевве задачи можно начать и с нроведеяня пронзвольно горвзонталъной проекции (е)г) вспомогательной прямой н т. д. Фнг. 477 158 Фнг. 478 ь' 1 ! о 1 1 с Фнг. 479 159 Пршиер 143 Даны прямая ЛВ и точка С. Провести через точку С плоскость Р общего положения со слившимися следами, параллельную прямой АВ (фнг.

480). Решение. Для того пабы плоскость Р, проходящая через точку С, была параллельна прямой ЛВ, она должна заключать прямую, параллельную прямой АВ. Проводам через точку (с, с') лрямузо (ал, лгл'), паранлельную прямой (аЬ, а'ЬЬ. и заключаем ее в плоскость.

Для этого находим следы (Ь, Ь') н (а, с') прямой (шл, вги1 и проводим через точки (Ь, 11) и (с, с) следы Р„и Р„искомой плоскоспт, сливпл~еся в одну прямую. Примечание. В общем случае, если нет дополнительных указаний о плоскости, задача — неопределенная; в таких случаях точку Р„задаем п р о и з в о л'ь н о.

о х )Ь Фиг; 481 Фвг. 480 Пример 144 Даны прямые ЛВ и СР. )Тровестп через прямую АВ плоскость, параллельную прямой Сд (фпг. 481). Решение. Для того чтобы плоскость, проходящая через прюяую АВ, была параллельна прямой СВ, она дол;кла заключать прямую, параллельную прямой СО. проводим через лроазаольную точку (1т к1 прямой (аЬ, а'ь') прямую (лат агя'), паразлельлую прямой (зн, ст1'1; прямые (аь, а'ь) и (яй, ий) определяют исхомую плоскость. Точно так жс можно провести и через прюгунз СВ единственную плоскость, параллельную прямой АВ. Этл плоскости ь о:кно задать и следами, для нахождения хоторых нужно использовать ранее указанный способ. (Как7) В ы в од. Через две скрешпвающнеся прямые мокша провести т оль ко одну пару параллельных плоскостей (плоскости параллелизма).

160 Фнг. 483 Пример 145 Даны плоскость Р и точка схода следов плоскости Я, параллельной плоскости Р. Построить следы плоскости Д (фнг. 482, 483). Решение. Следы плоскости О должны быть параллельны одноименным следам плоскости Р. Проводим через точку Д„следы: (2ь — параллельно Рь и Й,— параллельно Р„.

Пример 146 Даны плоскость Р н точка А. Провести через точку А плоскость Й, параллельную плоскости Р (фиг. 484). Р е ш е н н е. Искомая плоскость й — горизонтально-проектирующаа Так как зта плоскость должна проходить через точку (а, а'), то прежде всего проводим горизонтальный след (Я„) плоскости через точку а — параллельно следу Рь до пересечения с осью проекций в точке й„; затем через зту точку проводим вертикальный след (й„) плоскости параллельйо следу Р,.

Примечание. Если точка Д„выходит за пределы чертежа, то проводить вертикальный след необязательно. Пример 147 Даны плоскость Р и точка А. Провести через точку А плоскость (4, параллельную плоскости Р (фиг. 485). Р е ш е н и е. Искомая гшоскость (2 — профильно-проектируюшая. Известно, что необходимым условием параллелъности двух профильно-проектнрующих плоскостей является паржтлельпость их профильных следов. Находим профильный спел (Р„) плосхостп Р и профильную проекцию (а") точки А. Так как плоскость й должаа проходить через точку (а, а'), то проводим профильный след (Я„) плоскости !2 лараллелъно следу Р через профильную проекцию (а") точка Затем, имея след Д,„находим следы (2„и (2„,, цараллельвые осн проекций. Примечание. Данную задачу можао решить, не пользуясь профильной плоскосзъю проекций (см.

пример !49 — первый способ). !61 Пример 148 Даны плоскость Р п тоша А. Провести через точку А плоскость 1), параллельную плоскости Р (фиг. 486). Решение. Искомая плоскость Π— общего положения, со слпвшцмися слечамп. Так как точка (а, а'), через которую проходит плоскость О. лежит на горизонтальной плоскости проекций, то она должна лежать и на горизо~пальиом следе (Ох) плоскости. Отсюта — проводим ырез точкч а горизонтальвьш след (Ой плоскости ло пересечения с осью проекций в тачке О,; его иролол;кение является вертикальным следом (!2„] плоскости.

Пример 149 Даны плоскость Р и точка А. Провести через точку А плоскость (7, параллельную плоскости Р (фиг. 487-489). Решение, Общий прием решения заключается в том, что через топу Л проводят вспомогательную пряму!о, параллельную заданной плоскости Г (см. пример !39), и ее заключают в плоскость, удовлетворяющую условию задачи, Первые способ. Задаем в данной плоскости Р произвольную прямую (Ас, А'с') и через точку (а, а') проводим прямую, параллельную сй. Найдя следы (А„А;) и (с„с',) этой прямой, проводим через них следы искомой плоскости О: горизоиталыгый (!)ь) — через точку А„параллельно следу Рх и вертикальный (й„) — через точку е'„параллельно следу Р,.

Прн правильном решении слеты Ох и О, искомой плоскости должны пересекаться на осп проекций в точке О,. Проще реш!пь задачу при помощи главных линий плоскости — горизонтали или фроптали. Второй способ. Проводам через точку (а, а') горизонталь искомой плоскости Π— параллельно произвольной горизонзали плоскости Р. Ее горизонтальная проекция должна проходить через точку и, параллельно следу Рь а вертикальная проекция — через точку а', параллельно оси проекщш.

Наилч след (и, Р) этой горизонтали, проводим следы искомой плоскосги: сна чала вертикальный след (й,.) через точку г', параллельно следу Р„, до пересечения с осью проекций в точке О., а затем через эту точку — горизонтальный след (О,), параллельно слепу Рл. Треший способ. Проводим через точку (с. а') фроиталь искомой плоскости Я— параллельно произвольной фроптали плоскости Р. Ке горизонтальная проекщш 162 Фвг.

486 должна проходить через точку а параллельна оси проекций, а вертикальная проекция — через точку а', параллельно следу Р, Найдя след (я, 6') этой фронтали, проводим следы искомой плоскости: сначала горгззонтальный слеп Яь)- через точку )ь параллельно слепу Р„до пересечения с осью проекций в точке Я„, а потом через эту точку — вертикальный след Я,), цараллельцо следу Р,.

Примеч вин я. П Через заланную точку моясно провести горизонтали и фронталя искомой плоскости, не проводя этих линий на заданной плоскости (почему?). 2, Иногда прн пользовании горизонталью илн фронталью точка Д„ в ы х слит за пределы чертежа; в этнх случаях следы Оь и д„искомой плосхост» проводим независимо от точки О„, для чего пользуемся и фронталью и горизонталью. 163 Фнг. 490 Пример 150 Даны точка А и плоскость — прямой ВС и точкой )).

Провести через то'и')' А плоскость, параллелгпгПо заданной п.юскости (фпг. 490). Р е ш е н н с, Переходам п Р е д в в Р и г е з ь н о от задания плоско от л прямой п точкой к заданию сс двумя псресехаюшпмпся прямымп ВС и ПЕ. Проводим затем через точку (а. а') прямые (аов а'вГ) и (ая, а'и'), соответственно параллельны; пря аым (бс, Ь'с') и (бе, се'). Искомая плоскость задана нересекающимнся прямымп Лб) л Л.т. Она же может быть задана н следамп, построение которьш проводим по обшсму правилу (как?) Пример 151 Даны точка А и плоскость — параллельнымп прямыми ВС и ВЕ.