АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 20

е, го ~ку пересечения перпспдпь) лара с плоскостью. 1'ак как отрезок (аЬ, а'Ь ! располохеа параллельно горизонтальной плоскости проекций, его горизонтальная проекция (пЬ) дает пам исзпипое расстояние. В ы в о д. Расстояние от произвольной точки до горизонгальио-проекгирующей плоскости измеряется па зпюре расстоянием от горизонтальной проекции точки до горизоигального следа плоскости.

Аналогично атому мо:кно сделать вывод, что: 1) расстояние ог произвольной точки до вертикальпо-проешируюшей плоскости измеряется иа зшоре расшоянием ог вертикальной проекции точки до вертикального следа плоскости; !78 2) расстояние от произвольной точки да профильно-проектирующей пласкосги измеряется на эпюре расстоянием ат профильной проекции точки до профильного следа плоскости. Пример 158 Даны плоскость Р и точка А.

Определить расстояние от точки до плоскости (фиг. 537). Р е ш е и н е. Опускаем нз точки (а, а') перпенликуяяр на плоскость Р и находим ега основание на этой плоскости, лля чего ищем точку (Ь. Ь') пересечения перпенликуляра с плоскостью. Имея проекции (аЬ, а'Ь') отрезка перпендикуляра, определим его лействц~ельц>эа велнчцнр построением треугольника. Пример 159 Даны треугольник АВС н точка К. Определить расстояние от точки до плоскости треугольника (фнг. 538). Решение. Опускаем из заданной тачки (1.

13 перпендикуляр на плоскость треугалышка (см, пример 15б) н наталии точк> (р, р') — асновавйе перпендикуляра. Опрелеляеч истинную велячину отрезка перпендикуляра (йр, Рбр'). Пример 160 Даны параллельные плоскости Р н Д. Определить расстояние между ними (<[лгг. 539). Решение.

Общш1 прием решения заключается в том, что на одной из плоскостей берут произвольную точк> и определяют ее расстояние да другой плоскости (сч. пример 157). а' к Фиг. 536 Фиг. 537 179 Фиг. 538 В ы в о д. Расстояние между пара:шедьнымц вертикально-проектнруюшими плоскостями измеряется на зшоре расстоянием между их вертикальными счсдами.

Аналогично эгохгу расстояние между параллельными горизонтально-проекнгрующимн плоскостями измеряется на эпюре расстоянием между нх горизонтальными следами; расстояние между паразлельнымп профильно-проектируюшимн плоскостяьш иэысрясзся на зшоре расс!он!шел! между пх профильными следами. Пример 161 Даны плоскосз.ь Р и точка А этой плоскости — ее вертикальной проекцией. Восставить нз точки А перпендикуляр к плоскости длиной ! мм (фиг. 540). Р с ш е п и е. !!входим горизонтальную проекцию (а) заданной точки, наприлгер при помощи горизонтали, и проводим проекции перпендикуляра к плоскости через точку (а, а'!. Ограни шв его условным отрезком (ат, а'от), строим этот отрезок в натуральную величину и откладываем на нем отрезок Аух' данной ! мм.

Затем находим его проекции (ав, а'п'). Пример 162 Даны плоскость прямой АВ с точкой С и точка К этой плоскости— ее горизонтальной проекцией. Восстав!!та из точки К перпендикуляр к плоскости длиной ! мм (фиг. 541). !80 Решение. Переходим предварительно от задания плоскости прямой и точкой к заданию ее двумя параллельными прямыми АВ и С0.

Находим прп помаши фронтали вертикальную проекцию (и') заданной тачки и затем проводим через точку (Ь, й') горизонталь плоскости. Проводам проекции перпендикуляра к плоскости: горизонтальную — перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали и верпгкальную — перпендикулярно вертикальной проекции фронтали. Ограничиваем перпендикуляр условным отрезком (йш, Рм); строим этот отрезок в натуральную величину и отхладываем на нем отрезок КМ заданной длины (мм; затем находим сто проекции (йл, Кл). Пример 163 Даны прямая ЛВ н точка Р„. Построить следы плоскости Р, перпендикулярной к прямой АВ (фпг.

542). Р е ш е н л е. Искомая плоскость — горизонтально-праектнрующая. Проводим ее следы через точку Р„: горизонтальный (Р„) — перпендикулярно прямой аЬ и вертпкальпьш (Р„) — перпендикулярно грямай а'Ь'. Пример 164 Даны прямая АВ п точка Р„. Построить следы плоскости Р, перпендикулярной к прямой АВ (фиг. 543). Р е ш е н и е. Искомая п.юсхость — вертлкально-праектнруюшая. Проводам ее следы через тачку Р„: горизонтальный (Р„) — перпендикулярна праман аЬ и вертикальный (Р„.) — перпендикулярно праман а Ь'. Пример 165 Даны прямая ЛВ и точка Р„. Построить следы плоскости Р, перпендикулярной к прямой ЛВ (фпг. 544). Фвг. (82 Фвг. 545 Р е ш е н и с.

Искомая плоскость — общего положения. Проводим ее следы через точку Р,: горизонтальный (Р„) — перпендикулярно прямой аЬ и вертикальный (Р,) — перпендикулярно прямой а'Ь'. Пример 166 Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку плоскость Р, перпендикулярную к прямой (фиг. 545). Р е ш е ни е. Искомая плоскость — горизонтально-проектируюшая. Так как зта плоскость должна проходить через точку (с, с'), проводим сначала ее горизонтальный след (Рэ) через точку с — перпендикулярно прямой аЬ, до пересечения с осью проекций в точке Р а затем вертикальный след (Р„) через эту точку — перпендикулярно прямой а'Ь', Примечание. Если точка Р„выходит за пределы чертежа, то проволить вертикальный след плоскости необязательно (почему?). Пример 167 Даны прямая АВ и точка С. Провести через точку плоскосгь Р, перпендикулярную к прямой (фиг.

546). Р е ш е н н с. Искомая плоскость — вертикально-проектируюшая. Так как эта плоскость дол:киа проходить через точку (с, с'), проводим сначала ее вертикальный след (Р,.) через точку с' — перпендикулярно прямой а'Ь', до пересечеюзя с осью проекций в точке Р„, а затем горюонтальньш след (Рь) — через эту точку, перпендикулярно прямой аЬ. Примечание. Если точка Р„выходит за пределы чертежа, то проводить горизонтальный след плоскости необязательно (почему?).

Пример 168 Даны ьрямай АВ и точка С. Провести через зту точку плоскость Р, перпендпкулярн)ю к прямой АВ (фзи. 547). 163 аа Фнг. 547 Решение. Искоззая згюскосш =;рофильно-проектнрующая, Начолпм прфпльную проекцпю (а"Ь"', л;знои и нрофнльнчо проскцню (с") точка; ззк как эш и.нюьошь долгам ..Ро ..дать через .го ~к! (с, с'), проводам профильный след (Р„) ллоскошп через точку с" — перпендикулярно прямой а"Ь" и затем по следу Р„ п;модам два другп, следа (Р„п Р,) плоскостн.

1!рнмер 1б9 Даны прямая АВ и точка С. Пронсстц через точку плоскость Р, перпендикулярную к прямой (фпг. 548, 549). Решение. П Риый слагал. Проводнм проекпнп горнзопталп нскомой плоскосгп через о:шопменныс проскцпп заданной точки: нертпкальную — через точку с'. паралтезьно осп проскцнй, н горпзоптальную- зарез точку г, псрпендпкулярно прямой аЬ. Найдя след (г, г) горнзопталп прова;пгм следы плоскости сначала вертакальньлз (Р,) — через точку г', псрлендпкулярно прямой а Ь'„ло пересечения с осью проекций в точке Р„, а затем горизонтальный (Р„) — через зту точку, перпепдпкулярно прямой аЬ.

Рлларай способ. Проеодпм просьцпп фронта ш пскомой плоскости через одноименные проекц|ш заданной тошш: горпзоптальиую — через точку с, параллельно осц проекщш, и вергнкальнуло — через точку с', перпендикулярно прямой а'Ь'. Найдя след (6, й) фронталп, проводам следы плоскосзя: сначала горизонтальный (Рь) — через точку Ь, псрнендп.с парно прямой аЬ, до пересечения с осью проекцнй в точке Р„ а затем вертикальный (Р,) — через оту точку, перпендикулярно прямой а'Ь'.

Прпмечаппе. Плот,ш прн пользованпн горнзо.галио илн фро1палью точка Р, л м к о л л ~ за нрсд лы чертежа; в згнх случаяк следы Рь н Р, искомой плоское~и просоллч псзалпснмо один от другого, для чего пользуемся и фронталью и горязонталью. 184 Фпг. 548 Фиг. 549 Пример 170 Даны прямая АВ и точка С. Опустить пз точки С перпендикуляр на прямухо ЛВ (фиг. 550). Опустпзь перпсплнку !яр пз точки на прямую н е и о с р е л с т в е н н о можно только в том случае, кшда заданная прямая параллельна какой-либо плоскости проекций (по какой зеореме!). В общем же случае задача решается следующим образоль Решение.

Провалим через заданную точку (с, с') плоскость Р, перпендикулярную к прямой (еь, л'и), и находим зочку ()с 1з) их пересечения. Прамая, проходяа!ая через точки (с, с') и (е, !з), является искомой. Ухлзлнае. Для определения расстояния от точки С до прямой АВ остается найти длину отрезка СК. Пример 171 Даны плоскость Р и точка А. Провести через -точку А плоскость И, перпендикулярную к данной плоскости (фиг.

551). Решение. Если плоскость К должна быть перпендикулярна плоскости Р, то опа лолжна заключать прямую, перленликулярную к этой плоскости. Провалим через тачку (с, л) прямую, перпендикулярную к плоскости Р. Заключая ее в плоскость К, получаем плоскосгь, перпендикулярную к данкой плоскости (задача — неопределенная). В ы в а д. Пласкостьь проходящая через точку перпендикулярно другой шю. скости, единственная, если искомая плоскость — какая-либо проектирующая или общего пало;кения, но со слившимися следами (почемуУ).

185 Фиг, 550 Фвг. 551 Пример 172 Даны прямая АВ и плоскость Р. Провести через прямую .4В плоскость, перпендикулярную ь данной зшоскостп Р (фш. 552). Решение. Из произвольной точки ((з )г) за ганной нрямон опзскаем перпендикуляр на пло косп Р. Псресскагошиеся прямые (пт, и'ь) н (( л, /'~в') определягог искомую плоскосгь. Пример 173 Даны прямая РЕ и плоскость — прямой АВ и точкой С. Провести через прямую плоскость, перпенднкулярную к данной плоскосгп (фиг. 553). Решение.