АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 19

Провести через точку А плоскость, параллельную заданной плоскости (фиг. 491). Решение. Проводим пронзвольнузо прямую ()?з у'?Р) заданной плоскости (для чего?), а затем проводим через точку (а, а') прямые (алс а'ву) и (а~й а'в'), ггараллсльиьге прямым (Ьс, Ь'с') нли (де, а'е') и ()?с, уйб). Пример 152 Даны треугольник АВС п плоскость Р.

Параллельны ли плоскость треугольника и плоскость Р (фиг. 492)? Решение. Задачу можно решить двумя способамп. Псроыв саосоо. Находнхг предварительно следы плоскости треугольника, а затем, пользуясь теоремой о расположении одноименных следов гшоскостей, выясняем расположение п самих плоскостей. ижорой способ. Пользуемся условием, что в параллельных плоскостях можно провести параллельные прямые. Проводим и р о и з в о л ь н о горизонтали плоскости Р и плоскости треугольника АВС.

В случае параллельности горизонталей 164 Фиг. 491 проводим произвольно фронтали тех же плоскостей. Если фронтали тоже параллельны, то и сами плоскости между собой параллельны. Если жс первая пара главных ливий (вли горизонтали вли фровталв) ие параллельна, то следует на этом прекратить решение задал! и сделать заклоченве, что плоскости уже не параллельны. В даинои задаче нмсем слу зай, когда плоскость Р п плоскость треугольника АВС не параллельны. Примечание. !!з чертежа видно, что для плоскости Р можно горизонталь (фронталь) не проводить (пожму!).

Фвг. 492 165 Фиг. 493 Пример 153 Параллельны ли плоскости, заданные параллельными прямыми АВ и С0 и псресекающиьтнся прямыми ЕР и 6К !фиг. 493)? Решение. Реьзасм зада вт не находя отелов заданных плоскостей, Провод!!и про и з во.п ь но горизонтали в заданных плоскостях. Так как горизонтали плоскостей нс параллельны, то и сами плоскости уис нс параллельны.

ЗАДАЧИ 223. Провести через точку А прямую, параллельную плоскости Р (фнг. 4941 224. Провести через точку А прямую, параллельную плоскости, заданной прямой ВС н точкой 0 !фиг. 49.). Фиг. 494 Фиг. 495 еа ! ! Х— ! ! ! ! ! Ьп 9д' ! ! ! В ! ! Ь!1 225. Провести через точку А прямую, параллельную плоскости, заданной параллельными прямыми ВС и РЕ ~фиг. 496). 226. Провести через точку А прямую, параллельную плоскости треугольника ВСВ (фиг. 497).

227. Провести через точку А прямую, параллельную плоскости Р и одинаково наклоненную к плоскостям 'проекций (фиг. 498). 228. Параллельны ли прямая АВ и плоскость Р (фвг. 499)? и? х 1 1 1 ь с' Фяг. 496 с' Ь' ?а' ! ! ~/ Х вЂ” ~— 1 ( ! 'и ! ! 1а Фнг. 497 167 ! ! сс (с ас ! ! ы Фяг. 500 229. Параллельны лп прямая ЛО п плосьоссь, залшшая прямой СО п то пой К !с)сиг. 500)? 230. Параллельны лп прсгиая Лд и плоскость, задашшя параллсльиытш прямыми СО п ЕГ 1фпг, 50!)? 231.

Параллельны лп прямая ЛВ и плоскость треугольника СОЕ (фпг. 502)? 232. Провести через точку Л плоскость Д, псрнеплпкулярнуго к горизонтальной пчоскостп проскпссй и параллс.см! о прямо!)! ВС !фиг. 503). 233. Провести через прямусо .И плоскость Р, параллсльпусо прямой СО !фпг.

504). а а' с' Ь ос ! Х вЂ” ',— 0 Ь, Х а Фяг. 501 Фяг. 501 163 с'о 9а' ! ! ! а ! х ! ! ! ! ! ! ьа Фяг. 503 234. т1ерез задашвяе пряма!с АВ и С(з провести взаимно параллельные плоскости Р н Д (фпг. 505, 50б). 235. Построить следы плоскости Д, параллельной плоскости Р, если дана точка схода следов (Д,) плоскостй (фиг.

507-510). 236. Выяснить, параллельны лн плоскости Р н Д (фиг. 511, 512): 1) пользуясь профильной плоскостью проекций; 2) пе пользуясь профильной плоскостью проекций. с' Фвг, 505 169 Фиг. 508 Ф .510 Фиг. 509 р Ог и Чь У Фиг, 511 Фиг. 512 ! 7,) 237. Найти недостающий след плоскости Д, исходя из условия, что плоскости Р и Д параллельиы между собой (фвт. 513, 514): 1) пользуясь профильной плоскостью проекций; 2) не пользуясь профильной плоскостью проекций. 238. Построить следы плоскости, проходящей через точку К и параллельной плоскости Р (фиг.

515-518). 239. Построить следы плоскости, проходящей через точку К и параллельной плоскости Р (фиг. 519, 520): 1) пользуясь профильной плоскостью проекций; 2) не пользуясь профильной плоскостью проекций. 240. Провести через точку К плоскость, параллельиую плоскости, заданной прямой АВ и точкой С (фиг. 521). Ру Фнг. 514 Фвг. 5!3 Фвг. 516 Фвг. 515 171 ь' "9 Х т —— ! ) Фнг. 522 241. Провссти через точку К плоскость, параллельную плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и СР (фиг.

522). 242. Провести через точку К плоскость, параллельную плоскости треугольника АВС (фнг. 523). 3хазавие. В задачах 241, 242 и 243 искомую плоскость задать не следами н следзмн. оСР ! ! 1 ! 1 О 0 ЬС 1еь 13 Фнг. 525 Фхх. 524 173 243. Провес ~ и ~срез тоМу С прям) ю, пересекаюшую прямую АВ и параллельную плоскости Р 1фпг. 5'4). 244. Провести через тачку С прямую, пересекаюшую прямую АВ и параллельную плоскоспо заданной прямой ВЕ и точкой К (фиг. 525).

245. Провести через точку К прямую, перссекаюшую прямую ВГ п параллельную плоскости„заданной параллельными прямыми АВ и СЭ (фиг. 526). / е' о )г ! 0 е)г Фвг. 526 Ь' 1 ! Х ,'с г ивят 527 174 Фиг. 538 Фвг. 529 Фвг. 246. Провести через точку 2з прямую, пересекаюппую прямую ЕЕ и параллельную плоскости треугольника АВС (фиг. 527). 247.

Провести плоскость Д, параллельную плоскосгн Р, так, чтобы отрезок заданной прямой АВ, заключенный между плоскостями, имел длину, равную 20 мм (фпг. 528, 529). 175 и Фи. 532 248. Провести плоскость Р, ~щрзллсльгг)1а плоскости, заданной прямой АВ и тачкой С, тзк, чтобы отрезок заданной пргоюй 1:1', заклгоченггьий мсжлу плоскостями, пмсл длину, рави)ю 25 мч (фиг.

530). 249. Провести плоскость Р, парил.гсльн) ю плоскоспй заданной параллельиычи лншгями АВ и СВ, так, *пабы огрсзок зз,ганной прямой Е1, заключенный между гпоскосгячп, имел длину, равную 30 мм (фиг. 53(). 250. Провести плоскость Р, пзрл.щельпую плоскости треугольника АВС, тагй чтобы отрезок заданной прямой В1', заключенньш между плоскостньиг, пчел длину, равную 30 мч (фпг. 533). Глава Х)гт" ПЕРПЕНДИКУЛЯРИОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. НЕРПЕ!МДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ Гели прямая перпендикулярна плоскости, ззда1июй слслвмп, то проекции этой прямой перпендикулярны саа~ветс~вующпм следам плоскости: вместе с тем горизонтальная проекция прямои перпендикулярна так;ке гаризоптальнои проеквни гаризопщли (почему?), а всрпщальпая проекция прямой перпендикулярна также вертикальпои проекции фроптали (почему?).

Э~он особенностью вроекц1Ш ГЛаВПЫК ЛШШй ПЛОСЬОСти, ПерисидИКУляриой к прямоп, следует пользоваться лля: 1) выясиепия псрисиликулярпоаи прямой к плоскоспй заданной не следаЬШ, без о ирс деле и и я следов плесками; '~ аиускапия перпендикуляра пэ та ~к1г на плоскость, заданную не следамн (сьь шике примеры). Обранивая теорема пе всегда справедлива в системе плоскостей?т и )т.

И с к л ю ч е и и е. Прямая иерпеилнкуляриа профильно-ироскп1рующсй плоскости, если дополнительно профильцая проекция праман перпендикулярна профилыюму следу плоскости. Плоскости Р и Д взаимно перпендикулярны, если плоскость Р содержит прямую, перпендикулярную к плоскости й. 176 ПРИМЕРЫ Пример 154 Даны плоскость Р и точка А. Опустить из точки А перпендикуляр на плоскость Р (фиг. 533), Решение. Проводим через проекции заданной точки (а, а') одноименные проекции искомой прямой цсрпсндикулярво соответственным следам плоскости, т.

е. аЬЗ.Р„и аЪ'.ь Р„. Пример 155 Даны плоскость Р и точка А. Опустить нз точки А перпендикуляр иа плоскость Р (фиг. 534). Р е ш е н и е. Искомая прямая — и р офиль и а я. Ее проекции должны проходить через одноименные проекции заданной точки (а, е') и должны быть перпендикулярны соответствующим следам плоскости. Однако 50' а' пуяпю иметь в виду, по для любой профильиой прямой, хотя бы и не перпендикулярной к профильно-проектнрующей плосхосзи, гор1понтальная и вертикальная про- ! екцаи на зшоре всегда перпендикулярны следам плоскости. В ох.

почему нужно начинать решение задачи с профильной влоскостн проекций и о б е с и е ч и т ь перпендикулярное к О положение профильной проекцзш искомой прямой к профильному следу плоскости; за- ! тем уже по проф илыюй проекции прямой иужно найти две ее другие проекции. Отсюда— находим профильный след (Р„) плоскости и профильную проекцию (а") точки и опускаем перпеидпк) зяр из точки а" на след Р . Ограничиваем профильную проекцию прямой про- а пзвольным отрезком е"Ь" и затем находим Ь другие его проекции: горизонтальную (оЬ) и верпшальвую (аЪ').

7 Фиг. 533 Фш. 534 177 535 Пример 156 Даны плоскость двумя пара!шальными прямыми !В п С() и точка К. Опустить псрпеп.игкуляр из гочки иа згу плоскость (фиг. з)5). Ре шея ие. Проводим сначала произвольно горпзогпаль и фроизаль данной плоскою и. Затем проводим проекшиз перпендикуляра: г орпзоизальиую ((г1) — через точку !з перпендикулярно горизонта зьиой проскппи изрпзоигали (иочемуу), я вертикальную (й Р) — через точку К, перпснлякузярио вергикальяой проекции фрон- зази (почем)",). Пример 157 Даны плоскость Р и точка 1. Определить расстояние от точки до плоскости (фпг. 53б), Решеипе. !!звестио, что расстояние от точки до плоскости изтаеряется отрезком перпеидик)ляра от его основания ца плоскости до заданной точки, Опускаем яз точки (а, и') перпендикуляр иа плоскость Р п пагодам езо основание (Ь, 1у), т.