АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 16

на их пересечении. Зная горизонтальную проекцию (т) искомой точки, находим ее вертикальную проекцию (~л') на вертикальной проекции (а'Ь') прямой. В ы вод. Горизонтальная проекция точки пересечения лю б о й прямой с горнзонтально-проеьтирующей плоскостью находится на пересечении горюовтального следа плоскости с горизовгальной проекцией прямой. (Схематическая запись: т- Р„к аЬ.) Пример 114 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 42з). Решение. Обозначаем искомую точку через М (и, и').

Плоскость Р, параллельная всрппальпой плоскости проекций, горизонтально-нросктирующая. Позтоыу горпзолгяльную проекцию (>и) искомой точки находим на пересечении прямых Р„н аЬ. Так как задашюя прямая (лЬ, сЪ') — прей>пльиая, то, пользуясь профильной плоскостью проекцш>, по точке >и находим точку и" на прямой а"Ь", загсы по точке и — точку и' на прямой аЪ'.

Пример 115 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фнг. 426). Решение. Ооозпачасм искомую точку через М (>л, и'). Так как точка М леяпп на вертпкз>:ыю-иросктпрующсп плоскосп>, то се вертикальная проекция (>и') должна лежап где-то па всртпкадьном следе (Р) плоскости, Вместе с тел>, зак как зю точка М лежит п па прямой АВ, ес вертикальная проекция (>л) должна лежать также где-то па вертикальной проекции (иЪ) прямой.

Отсюда — вертикальная проекция (>л') искомой точки должна лежать иа вертикальном следе (Р,) плоскости и на вертикальной проекции (аЪ') прямой, т.е. на их перессчсшш. Зная всртнхальную проекцию (и>') искомой точки, находим се горьпонтальную проекцшо (>и) на горизонтальной проекции (оЬ) прямой. В ы в о д. Верп>кальная проекция точки псресеченвя л>ооой прямой с вертихально-проехтирующсй плоскостью находится на пересечении вер>.икального следа плоскости с вертикальной проекцией пряыой. (Схез>атическая запись: >н'- Р„х а'Ь'.) й> ( а > Фнг. 415 Пример 116 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг.

427). Решение. Обозначаем искомую точку через М (в, в2. Заданная плоскость Р— вертикально-проектпрующая, Отсюда вертикальную проекцию (и1') искомой точки находам ла пересечении прямых Р, л а'Ь'. Так как заданная прямая— профпльная, то, пользуясь профильной плоскостью проекций, по точке яу находим точку сб на прямоы а"Ь", а затем по точке в" — точху ш ва прямой аЬ. Прюшр 117 Найти точку пересечения примой АВ с плоскостью Р (фиг. 428).

Решение. Обозначаем искомую точку через М (иЬ ш'). Так как точка М лежит на профызьно-проектиру|ощей плоскости, то ее профильная проекция (в") должна лежать где-то на профильном следе (Р„) плоскости. Вместе с тем, так как зта же точка лежит и иа прямой АВ, то ее профцльная проекшш (ж") должна лежать также где-то на проч)лгльной проекции (а''ь") прямой.

Отсюда — профильная проекция (~а") искомой точки должна лежать 'на профильном следе (Р„) плоскости и на профильной проекции (а'Ь") прямой, т.е, на их пересечений. Найдя профильньщ след плоскости и профлльную проекцию прямой,' получаем на пх пересечении профильную проскцшо (>в") искомой точки. Зная профильную проекцшо (1я") искомой тачки, находам дае другие ее проекции на одпоимеыньш проекциях прямой.

Вывод. Профильная проекция точки пересечения любой прямой с профильно.проектирующей плоскосп,ю находится на пересечении профильного следа плоскости с профильной проекцией прямой. (Схематическая запись: ап ~ Р„х а"Ь".) Примечание. Ныжс показаыо, как можыо решить зту жс задачу, не пользуясь профильной плоскостью проекций. Пример 118 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. '429). 139 Решение. Обозначаем искомую точку через м (м, ш'). запаивав инрскость Р, проходящая через ось проекцшт,— профильно-проектирующая Отсюда — профильную проекцию (ш") искомой точки находим на пересечении профильного следа (Р„) плоскости и профильной проекции (а"Ь") прямой.

зная профпльнувз проекцию (лр) искомой точки, находим две другие вв нреезь ции на одноименных првекцнях прямой. Примечание. Данную задачу мо:кис решить н без профильной ввввкости проекций, но реджине изложенным способом значительно проще. Пример 119 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фнт. 430). Решение. Обозначаем искомую точку через М (~л, ш'). Так как эта точка лежит на горизонтально-проектирующей прямой (аЬ, л'Ь), то ее горизонтальная проекция (~л) должна совпадать с горизонтальной проекцией (аЬ) прямой, Зиад горизонтальную проекцию (м) точки, находим ее вертикальную проекцию (ш) из условия, что точка (м, вг) лежит н иа звданнвн плоскости.

Днв зтогв пользуемся фронталью (или горизонтачью). Дальнейшее построение видно нз чертежа, Пример 120 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фнт. 431). Роше п не. Обозначаем искомую точку через Ы (м, т). Так как эта точка лежит па вертикально-проектирующсй прямой, ее вертикальная проекция (т') совпадает с вертикальной проекцией (айг) прямой. Зная вертикальную проекцию (м') точки, находим ее горизонтальную проекцию (ш) из условия, что точка (т, лг') лежат на заданной плоскости.

Для этого пользуемся горизонталью (или фроцталью). Дальнейшее посгроение видно нз чертежи. Фнг. 431 Фвг. 430 И1 Пример 121 Пд,ми точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 432). Решение. Ойозначаем искомую точку через йй (т, нг). Так как эта точка лепит на горпзонталыю-проектирующей прямочь то ее горизонтальная проекция (т) совпадает с 1ор поигальяой проекцией (ай) прямой. Зная горизонтальную проекцшо (т) точки, иачолпм ее яертикальную проекцию (т'), пользуясь услоаием, что эта то та лежит и па заданной плоскости.

Дзя этого используем всномогательную прям>.о (ос, яц). Дальпешпее построение видно из чертежа. Ндйгтп тошй пересечения прямой АВ с плоскостью Рйфиг, 433). Рею си по. Ойозпачаем пскозйто точку через ЛГ (яч т'). Так каь эта точка лешиг на всрт 1кальпо-проектпруюп(ей прямой, то ее вертикальная проекция (т') совпаласг с гсртпгшльиой проекцией (и')э3 прямой. Зная вертикальную проекцик1 (т) гочюь лалолпм ее гори" опта тыл)зо п)и скп по Пп), польз) ясь условием. что эта точка лепит и пэ задэпосй плоскосзп. Для этого используем вспомогательную прям)ю (/ю, Ы'). Мотя п,оскость Р— юзефа:п.по-просктируюпгая, задача решена без профильной плоскости проекций.

В .шипом случае использовано не свойство точек плоскости, а свойсзво точек просшпрук1шей прямой. Фиг. 4 Фяг. 433 рг Пример 123 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 434). Решение. Обозначаем искомую точку через М (ль т). Заключаем прямую АВ в горизонтально-проектпруюшую плоскость В (моино и в вертикальнопроектируюшую), которая пересекает заданвую плоскость пс прямой (Ье, ЬУ). На пересечении вертикальных проекций ()г'й и а'ЬЗ прямых получаем вертикальную проекцию (лу) искомой точки.

Затем по вертикальной проекции (и') точки находилз ее горизонтальную проекцию (ш) на горизонтальной проекции (аЬ) прямой. Прэпяер 124 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 435). Решенно. Обозна аем искомуэо точку через М (лс т). Заключаем прямую АВ в пвоскосгь Я, параллельп»ю горизонтальной плоскости проекний, которая пересекает заданную плоскость Р по горнзонтали. На пересечении горизонтальных проекций горизонтали и заданной прямой получаем горизонтальную проекцию (ш) искомой точки. По горизонтальной проекции (ш) точки находим ее вертикальную проекцию (яу) па прямой а'Ь'. Пряьгую АВ поило заклю ппъ и в горизонтально-проектирующую плоскость, но это 'услоинаст решение задачи (Предлагаем учащимся убедиться в этом.) Пример 125 Найти точку пересечения прялюй АВ с плоскостью Р (фгэг. 436).

Решение. Обозначаем искомую точку через М (ль ш'). Заключаем прямую АВ в плоскость К, параллельную вертикальной плоскости проекций, которая пересекает заданную плоскость Р по фронтали, На пересечении вертикальных проекций — фрогггалп и заданной прямой — получаем вертикальную проекцию (ш') искомой точки. По вертикальной проекции (эа') точки находим ее горизонтальную проекцию (>л) на горизонтальной проекции (аЬ) прямой. 143 о Фиг.

437 Фиг. 436 Пример 126 Найти точку пересечения прямой ЛВ с плоскостью Р (фнг. 437). Решение. Обозначаем искомую точку через И (ш, ш'). Заключаем прямую АВ в горизонтам,ио-проектнруюш)ю плоскость К, которая пересекает заданную плоскость Р по прямой (Ьг, Ь'г'). На пересе мини вертпкадьыых проекций прямых — вспомогательной и заданной — получаем вертикальную проекппю (т') искомой тачки.