АРУСТАМОВ (507835), страница 17
Текст из файла (страница 17)
По вергпкадьаой проекции (ш3 точки находим ее горизонтальную проекцию (ш) ва горизонтальной проекции (аЬ) прямои. Пример 127 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскосгью Р (фнг. 438). Решение. Обозначаем искомую точку через Ьу (ю, лб). Заключаем прямую АВ в вертикально-проектируюшую плоскосзь К, которая пересекает заданную плоскость по прямой (!ш, Ь'с').
На пересечении горизонтальных проекций прямых— заданной и вспомогательной — получаеьг горизонтальную проекцию (ш) искомой точки. Затем по горюонтальной проекции (и~] точки находим ее вертикальную проекцию (яг) на вертикальной проекции (ачр) прямой. Пример 128 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 439). Решение. Ооозначаем искомро зочку через Лг' (ль яб). Так как заданная прямая А — профильная, то прн решении этой задал нельзя избежать профильной плоскости проекций, а потому решаем ее так, как было указано в примере 117, а именно: строим профильный след (Р„) плоскости и профильную проекщпо (а"Ь") прямой.
На их пересечении получаем профильную проекцию (и") искомой точки, а затем по профильной проекции (и") точки находим две ее другие проекции (ги и ш') на одноименных проекциях (аЬ и а'Ь') прямой. 144 Пример 129 Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 440). Решение. Обозначаем искомую точку через М (вс тф Заключаем прямую Ай в профильную плоскость и, которая пересекает заданную плоскость Р по профильной прямой ()ю, Ь'е3 Так как обе прямые — заданная н вспомогательная— профильные, находим профильную проекцию (еи) искомой точки на пересечении профильных проекций (а"Ь" и Ь"Н) этик прямых, а затем по пРофильной проекции (ш') точки находим две ее другие проекции (ш н ш') па одноименных проекциях (аЬ и а'Ь') прямой.
Пример 130 Найти точку пересечения прлмой МЖ с плоскостью, заданной параллельными прямыми АВ и С0 (фнг. 441). Решение. Обозпачаем искомую точку через К (1, й'). Так как заданная йлоскость — горизонтальна-проектирующая (почему?), находим горизонтальную проекцию (Ь) точки на пересечении прямьш шл и аЬ (почему?), илн, что то же, прямых шл и ги По горизонтальной проехции (Ь) точки находим ео вертикальную проекцию (К) па вертикальной проекции (ш'л') прямой. Пример 131 Найти точку пересечения прямой МХ с плоскостью треугольника АВС (фиг. 442).
Решение. Обозначаем искомую точку через К ()с Ь'). Так как заданяая плоскость — вертикально-проектнрующая (почему?), находим вертикальную проекшпо (к) точки на пересечении прямой пот с вертикальной проекцией (антс') треугольника (почему?).
По вертикальной проекции (К) точки находим ее горизонтальную проекцию (я) на гориюитальной проякзйрз (шл) прямой (каь?). Пример 132 Найти точку пересечения прямой МР) с плоскостью, заданной точкой А и прямой ВС (фиг. 443). 145 У Фнг. 441 К Пя — +-У Фиг. 443 У Фиг. 442 14б Решение. Обозначим искомчю точку через К (Й, )г?.
Так как зта точка должна ле;кать на вертикально-лроскзпрующей прямой рял, яул'), то се вертикальная проскпия (1') должна совпадать с точкой птп' (позсззу?). По вертикальной проекпип (/с') точки находим ее горизонтальную проекции> (к) на прямой гпн, пользуясь условием, что точка 1)с, 1я) лежит и на заданной плоскости. Дальнейшее решение вйзнзо из чертежа. Пример 133 Найти линию пересечения плоскости Р с плоскостью треугольника АВС (фиг.
444). Р е ш е н п е. Первый способ. Линия пересечения будет определена, если найдем две точки, принадлежащие заданным плоскостям. Находим точки (е, м') и (л, л') пересечения сторон (ас, а'с') в (Ьс, Ь'с') треугольника с плоскостью Р. Прямая (тл, т'и'), прохолягпая через найденные точки (и, ву) и (и, и'), валяется искомой. Второй сиосоо. Так как плоскость Р— вертикально-проектирурошая, то вертикальная проекпия (м'л) линии пересечения совпадает с вертикальныл1 следом (Рв) плоскостн. Пользуясь условием, что искомая прямая (щп, м'и') принадлежит к плоскости треугольника АВС, по вертикальной проекции (вуи') линии пересечения находим се горизонтальную проекцию (рал).
Пример 134 Найти линию пересечения плоскости Р с плоскостью, заданной пржгой АВ и точкой С (фнг. 445). Р е ш е н и е. Первый способ. Линия пересечения будет определена, если найдем две точки, принадлежащие заданным плоскостям. Точку (с, с') нельзя принять за точку лшгп1 пересечения (почему?). Ддя того ггобы найти такие точки, проще всего перейти предварительно от задания плоскости прямой и точкой к заданию ее двумя пвраллельнымн прямыми (аЬ, вУ) и (сд, сЩ, а затем найти точки (вл лу) и (и, в') пересечения этих прямых с плоскостью Р.
Прямая (мл, м'л'), проходящая через найденные точки (лс гв) и (и, а'), является искомой. наорав? способ. Так кзк плоскость Р— горизонтально-просктирующаи, то горизонтальная проекция (лю) лиро~и пересечения совпадает с горизонтальным следом (Рр) плоскости.
Теперзч пользуясь условием, что искомая прямая (гвл, мчк) принадлежит также другой плоскости, по горизонтальной проекции (л~и) прямой находим ее вертикальную проекцию (~изу). Рр ар Ра Фиг. 445 Фиг. 444 147 Фяг. 446 а Прплгер 135 Найм! точку пересечения прямой МХ с плоскостью, заданной параллсльнымц прямымп АВ и С0 (фщ; 446). Р е ш с н н е. Так как заданная плоскость — общего полонения (почем у У), то прямую МХ заключаем во вспомогательную плоскость и, например, параллельаую горизонтальной плоскости проекций, и нахалам линию (еУ, е'!"') пересечения плоскостей.
Иском>ю точку (к, )г') получаем на пересечении прямых (шп, и'л) и (ет, еУ). (См. пример 133.) Пример 1Зб Найти точку пересечения прямой ММ с плоскостью треугольника АВС (фпг. 447). Решение. Прямую М.К заключаем во вспомогательную гор~гзоптальнопроекзпрующую плоскость и п находим линию (де, Не) пересечения плоскостей. Искомуго точку (/И 1') получаем на пересечении прямых (тл, шуг) п (г)е, гУе').
Пример 157 Найти линию пересечения плоскости Р с плоскостью, заданной параллелыгыми прямьшш АВ н С)) (фнг. 448). 1'ешснне. Эту задачу мо:кпо решить тремя способамн. Псумна способ, 1!ереходпм предварительно от задания плоскости пе сзедамп к залашпо ее следзлиь а за~ем решаем задачу так, как было указано выше (см. прилюры 95-112).
Внюрой способ. Нахо!шм точки пересечения прямых АВ и СР с плоскостью Р, которые и определяют линию лересечепвя. '!делай способ. Нахошгм точки, определяющие люппа пересечения, введя п о слеп о в ател ьи о две вспомогательные плоскости. Из этих трех способов проще всех третий. Вводим вспомогательную плоскость Н, параллельную горизонтальной плоскости проекций, пересекающую плоскость Р по горизогнали (и, е'г'), н вторую плоскость — по горизонтали (ди, д'и'); на их пересечении получаем точку (ия лу). Затем вводим вторую вспомогательную плоскость — Я, например, параллельную вертикальной плоскости проекций, пересекающую плоскость Р по фрогпали (гй, гчг), и лругую плоскость— по фровтали (яе, к'е'); на их пересечении получаем точку (л, л').
Прямая (ввь т'и), проходящая через найденные точки (вь лл') и (л, л'), является искомош 148 Пример 138 Найти линию пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми РЕ и Рб и параллельными прямыми АВ и С)) (фиг. 449). Рещение. Находим то пщ (пь ю') и (л, в), общие длв заданных плоскостей, для чего вводим вело»огательную плоскость )1, параллельную горизонтальной плоскости проекций и пересекаюнпю заданные плоскости по горизонталям (йр, 1лр) н ((ь 1'с'); на пх персе келли гюлучаеи току (вь ю'). затем вводим вторую вспомогательную плоскость — 5, параллельную вертикальной плоскости проекций и пересекающую задаю.ыс плоскою л по фролгаля» [чя ч'у) н (гя, г'я'); на их пересечении получаем точку (л, л'), !1рямая (лю, ю'л'), лроьодящая через найденные точки ря, лу) и (и, л'), валяется искомой.
задлчи 219. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 450 — 467). 220. Найти точку пересечения пряьюй АВ с плоскостью, заданной не следами (фиг, 468 — 473). 150 е' с с 1 х ~ 1 1 Фаг. 471 Фаг. 473 221. Найти линию пересечения плоскости треугольника АВС с плоскостью Р н указать, через какие четверти проходит искомая линия (фнг. 474). 222.
Найти линию пересечения плоскости, заданной двумя параллельными прямыми КЕн МХ, с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ н АС, и указать, через какие четверти проходит искомаа ляння (фиг. 475). 155 Глав.а Х$' ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ НАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСПЯ Прямая и плоскость параллельны, если в плоскости можно провести прямую, параллельную заданной прямой. Дее плоскости Р и д, заданные следами, взаимно параллельны, если их одноименные следы между собой параллеяьны. Обратная теорема не всегда справедлива в системс плоскостей Н и К Напрпмер, две профильно-просктнрузощие плоскости юанмно йдраллальяц тпяько тогда, когда пх профильные следы между собой параллельны.
Главные линии — горнзовтади и фронталн — двух паралсюльных Илрскрнтей между собой параллельны. этой особенностью главных линий нвраджльиыи плоскостей удооно пользоваться для Выяснения параллельности лаух плоскостей, когда одна пз плоскостей нли обе плоскости заданы не следами (нахпидяиие следов плоскости необязательно). параллельность плоскостей можно проверить н при'помон(и произвомыннк п самых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
