АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 15

383, 384). Решение. Плоскости Р и Я пересекаются по прямой МХ, параллельной осн проекций (почемуу), Первы й способ. Профильная проекция (~гг"и") искомой прямой совпадает с профильным следом этой прямой, который, как известно, нахолится на пересечении профильных следов (Р„и Д„) плоскостей. Находим профзшьные следы заданных плоскостей. Их пересечением являезся профильная проекция (вил") искомой прямой. 3азеч по профильной проекции прямой находим ее горлюнтальную (лш) и вертикальную (вул') проекции, которые долины бызь параллельны осн проекций (почеьзут) Второ и с посо о. Так как искомая прямая Л)Х .~енит в плоскости (З, то ее вертикальная проекция (лрл') совпадает с вертикальным следом (г3,) этой фиг.

Зйз Фиг. 384 126 Фиг. 385 плоскости (по юму"). Имея вернзкальную проекцию (нгя) прямой, мо:кем найти ее горизонтальную проекцию )тн), не пользуясь профильной плоскостью проекций. Для этого задаем произвольную точку РГ на прямон т'и н натопим горизоитапьную проекцию (й) точки, зная. что точка (1, 1') лежзп и на плоскости Р. Найля точку )г, проволим через нее горизонтальную проегнню (знл) зюкомой прямой— параллельно осл проекций. Пример 105 Найти прямую пересечения плоскостей Р и О (фиг. 385).

Решение. Псреый способ. Схь решение предыдущего примера, Второй способ. Так как искомая прямая лежит в плоскостп Я, то ее гори- зонтальная проекция (яв1) совпадает с горизонтальным слепом Я„) эгон плоскости (почему?). Имея горизонтальную проекцию (тп) првмой, можем нанти ее верти- кальную проекцию рн'и'), не пользуясь профильной плоскостью проекций. Для этого задаем на прямой л~н точку 1 я находим вертикальную праекпию (Й') точки, зная, что точка (1, и) ле кит и на плоскости Р.

найдя точку 1', проводим через нее вертикальную проекцию фн'л') искомой прямой — параллельно оси проекций. Пример 106 Найти прямую пересечения плоскостей Р и О (фиг, 38б). Решение. Плоскости Р и О пересекаются по прямой й!р?, параллельной оси проекций (почему?). Находим ее профильную проекцию (гл"и') на пересечении профильных следов плоскостей, а загем по профильной проекции прямой опре- деляем ее горизонтальную фнл) и вертикальную (т'н') проекции, которые парал- лельны оси проекций.

Пример 107 Найти прямую пересечения плоскостей Р и Д (фиг. 387). Решение. Г!ласкостн Р и Д пересеьаютсв по лрялюй общего поло:кения, прахоляшей через точку-след ((Ь )у) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (г, з) пересечения вертикальных следов плоскостей недоступна, так как эти следы плоскостей, по заданию, в пределах чертежа не пересеканзтся. Вместо точки (г, Р) необходиыо найти другую — произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей.

Для этого поступаем следующим образом. Вводим всполюгательную пдоскость и, например, параллельную плоско- сти Н, которая, как известно, пересекает квжд)ю из даннык плоскостей по горн- !27 Фиг, 386 Фнг. 387 зантали. На их пересечении лолу ием вспомогательную точку (~, «ь общую для данных плоскостей. Найдя зту вторую точку (к, и"з прямой, проводим ее проекцни: горизонтальную — через точки й и и и вертикальную — через точки й' и И.

Через какие четверти проходит прямая пересечения? Примечание. Н случае необходимости мо:кио, пользуясь указанным выше способом, найти и две произвольные точки прямой пересечения, вводя последовательно две плоскости; проще всего ввести их параллельно плоскости Н или параллельно плоскости У. Пример 108 Найти прямую пересечения плоскостей Р и Д (фиг.

388). 138 Фяг. Решение. Плоскости Р и я пересекаются по прямой, пересекаилпяй ось проекций в точках (и, Ь') и (е, е'), совпадающих с точкой (вх гя') н находящихся на пересечении горизонтальных и вертикальных следов плоскостей. 1)звестно, нто точки-следы (л, и) и (е, с'), как совпавшие, не определяют прямую и что и е о б к р -. димо найти еще одну точку этой прямой, общую лля заданных плосйогпей. Точка (а, е') по заданию лежит на плоскости Р. Проверяем прежде Лсш'о, ие лежит лп точка (а, а') н на плоскости гз. Проверку выполняем хотя бы при помощи горизонтали.

Точка (а, а') действительно лежит и на плоскости Д, т.е. является обшей точкой для данных плоскостей. Проводим проекпни дсюзмсй прямои: вертикальнуго — через точки ггг' н а' и горизонтальную — через точки яг и а. Прямая проходит через первую и третью четверти (почемуз). Прньгер 109 Найти прямую перееечениа плоскостей Р и Я (фиг. 389). Решение. Плоскости Р и д пересекаются по прямой, прохознней иерея точку (б г), с которой совпадают точки ((г, (г) и (е, е') першечеинй одноименных.

следов плоскостей. Точка (а, а') лежит, по условию, на нлосяости р; на плоскеши Д эта точка н е л е ж и т, в чем можно убедиться, например, ири помощи фровтаян. 5 Арустамев Х. А. Фнг. 390 Сле.ювательио, для определения прячой необтгзлгззю няни сиы алиу ес тачю, Нвализг вспачогатечьнуга 1зласьосп. К. тьзрз шс иштю вор|их силию н.ь сь а гн проекций и прзтоляигуид ~срез з шку (л. и): ~орнзаи~л ниязи сс с ~ст (Кй и! ат: ип через тачку ~ — пзра1~сзьпо аси нр~ спин и азотас~ ь К иср .скасг и шскасп, Р по прячаи (ши, япт).

иараллсзынзн юп проекций. праюлюиси юрез зо ~ку ! ь а (, а плоское~в 0 — пгз фро пали, пр пг л,шюй через з, ы (йи (й]. На ис! .сечении прячои 3(Х п франг1ш получаем тозьу (1, Р), ьрсз которую тала. л. ь.ш пригни,прямая персссчшшя. Провалит~ проскпип искомой пря. юй: горизонтальную — через точки ! и и н вертпкальиую — чсрс, точки Г и й'.

Причер 110 Найти линию пересечения плоскостей Р н !з. пс пользуясь профи:п,ной плоскостью проекций (фнг. 390!. Решение. Плоскости Р и зт пересекаются по прямой й(У, п.зра.шельной оси проекций (почему?). Зная направление искомой прячг|й. необходимо найти сиге олпу сс точку лз з чего вволич вспомогательную вср~икальгзошросктируюи!)ю плоскость К. пр зч ляшую через точку (а, а). Нсиачогательиая плоскость К пересекает;шоскасть Р ио прямой (и(, ет(, а плоскость Ь( — ио вертиказзьио-проехтирунзигеи прямой, ироходяшеп через точку (г, Р). На цт пересечении иолу чзеч точку (Ы, 1 ! Проводич проекции (яиь япг) искочой прямой.

параллельно оси ироекпий, через о:июименныс проекпии найденной тачки (~.. А.') Как и следовало ожидать, вертикальная проекния (иуп) искомой прямой совпадает с вертикальным следам (ц) плоскосги я (почему?). Пример 111 Найти линию пересечения плоскостей Р и Д, не пользуясь профильной плоскостью проекций (фиг. 391). Решение. Г!лозскосгзз Р н О пересекаюгся по прямой М?зг, параллельной оси проекций (почему ч!. Зияя направление искомой прямой, необходимо найти сше одну се то шу.;шя чего вволзшг произвольную гори юншльно-проектиру юигую плоскость К Плоскость К пересекает плоскость Сз по прямой (йг, )Уь'), а плоскость Р— по горизонгальнапроекпгругащей прямой, проходящей через точку (йо )й). На пх пересечении получаем точку ()с, й').

Провалим проекции (гпи, ш'и') искомой прямой — параллельна оси проекций — через одноименные проекции найденной точки ((г, Р). 130 Фвг. 391 Фаг. 292 Причгер 112 Найти лишне пересечения плоскостей Р и д, не пользуясь профильной плоскостью проекций (фиг. 392). Решение, плоскости Р и я пересекаются по прямой м?хг, параллельной оси проекций (почему?). Зная направление искомой прямой, необходимо найти еюе одну ее точку, для чего вводим вспомогательную вертикально-проектируюшую плоскость я, которая пересекает плоскость Р по прямой (ае, ЙУ), а плоскость и' — по пРЯмой ()цео )гР',).

Па их пеРесечении полУчаем точкУ ()г, к'). пРоволим проекции (л~л, ю'л), искомой прямой — параллельно оси проекцнй — через одноименные проекции найденной точки ()с, к). 131 бе ЗАДАЧИ 217. Найти линию пересечения плоскостей Р и Д: 1) не вводя вспомогательной плоскости (фиг, 393-413); Рв Фвг. 396 Фвг. 395 Фвг, 398 132 2) не вводя вспомогательной плоскости и не пользуясь профильной плоскостью проекций (фиг. 410-413); 3) вводя вспомогательную ппоскость (фиг. 414-421).

ф Фнг. 4Е О Фиг. 408 — о Фиг. 410 Фиг. 407 134 чг ! ! х ! ! ! о)г 218. Найти горизонтальные следы двух пересейиющихся плоскостей Р и Д, если известны их вертикальные следы и точка К, принадлежащая линии их пересечения (фнг. 422, 423). Глава Х(Р ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, наступа!от так: !! заданную прлмую заключают в проювольную вспомогательную плоскость (про ще — в проектпрующую); 2) находят прямую перес чсння илоскосгей — заданной и вспомогательной; 3) на пересечении врямых — заданной и полученной — получается южомай точка.

указа»па Если олив пз злелюптов пересечения — нли плоскость, нли прямая— проектпрующпе, то гользовавпе изложенным правилом пе рекомендуется, так как в большинстве таких случаев нахождение точки пересечения значите»ьно упрощается (см, примеры). ПРИМЕРЫ Пример 113 Найп! точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (фиг. 424). Решение. Обозначаем искомую точку через М (аь ш'). Так как точка М лежат па горя»анталы!о-проектпрующей плоскости, ее горюонгальная проем!ил (ш) должна лежать где-то на горизонтальном следе (Р„) плоскости. Вместе с тем, так как зга жс точка ЛГ лежит и ва прямой АВ, то се горизонтальная .проекцвя (ю) должна лежать в где-то на горизонта»ьпой проекции (аЬ) прямой. Отшода — горпзоптальная проекция (а~) искомой точкл должна лежать на горизонтальном следе (Р„) плоскости и ла горизонтальной проекции (аЬ) прямой, т.е.