АРУСТАМОВ (Х.А. Арустамов - Сборник задач по начертательной геометрии), страница 13

(Дано одно решение.) Пример 85 Провести через точку А плоскосгь Р, перпендикулярную к вертикальной плоскости проекций (фпг. 291). Решение. Так как точка (а, «') должна лежать ца вертикально-проектирующей плоскости, то, как известно, ее вертикальная гроекция должна лежать на вертикальном следе (Р,) ш1оскощп; кроме того, горизоизальныи след (Рг) должен быть перпендикулярен осп проекпий.

Через точку можно провести множество плоскосщй, а потому залаем цропзволыю иа осп проекций точку Р„ и проводим следы плоскости: вертикальный (Р,) — через точки а' и Р, н горизонтальный (Р„) — через точку Р„ перпендикулярно оси проекций. Вывод. Если всрппально-ироектируюшая плоскость проходит через точку, то вертикальный след атой плоскости проходит через вертикальную проекцию точки. Пример 86 Дана точка А. Провести через нее плоскость Р, перпендикулярную к верыпгцльной п.юскости проекций и составляющую с горизонтальной плоскостью проекций угол, равный ЬО* (фиг. 292).

91 Фиг. 292 104 чнг. ЖЗ ( у) )( Решение. Угол между вертикально-проектпрующсй плоскостью и горизонтальной гпоскостью проекций определяется углом между вертикальным следом плоскости и,осью проекций. Поэтому проводим через вертикальную проекцию '(а') точки всргикальпый след (Р,.) плоскости пол заданным углом 60' к оси проекций, ло пересечения с исй в точке Р„; затем проволвм через точку Р„горизонтальный след (Р„) плоскости перпендикулярно оси проекций.

(Дано одно решение.) Пример 87 Провести через точку А плоскость Р, параллельную оси проекций и проходящую через первую, вторую и третью четверти пространства (фиг. 293). Ре ш е иве. Так как плоскость Р— профильно-проектируюшая, то ее профильный след (Р„.) должен проходить через профильную проекцию [а") заданной точки.

Слепы (Р„н Р„.) плоскости должны быль параллельны оси проекций. Любая плоскость, проходящая через первую, вторую и третгю четверги, имеет горизонтальный след (Р„) ла задней поле горизонтальной плоскости проекций н вертикальный след (Р„) — на верхней лоле вертикальной плоскости проекций, которые на эпюре располагаются (оба) над осью проекций.

Находим профильную проекцию (а") заданной точки и проводим через нее произвольно профильный след (Р„). плоскости, пересекающий оси 08 и Оу в точках И'(профильный след прямой Рз) и И'(профильный след прямой Р,,), а затем определяем Р„в Р„(см. чертеж). Примечание. Няжс указано, как проводить через точку плоскость общего положения (ель сгр, 108). Пример 88 Заключить прямую АВ в горизонтально-проектир9ющую плоскость Р (фиг. 294). Решение. Известно, по горизонтальная проекция произвольной прямой, лежащей в горизонтальгю-просктирующсй плоскости, совпадает с горизонтальным следом плоскости, а следовательно, и наоборот: горизонтальный след (Р„) плоскости, заключающей произвотьную прямую, совпадает с горизонтальной проекцией (аЬ) заданной прямой. Огсюда — продолжаем горизонтальную проекцию (аЬ) прямой до пересечения с осью проекций в точке Р„и через нее проводим вертикальный след (Р„) плоское~и — перпендикулярно оси проекций.

' Пример 89 Заюцочить прямую АВ в вертикальио-просктирующую плоскость Р (фиг. 295). 105 Р е ш е н и е. Известно, что вертикальная проекция произвольной прямой, лехашей в вертикально-проектируюшей плоское~и, совпадает с вертикальным следом плоскости, а следовательно, и наоборот: вертикальный след (Р„) плоскости, заключающей произвольную прямую, будет совпадать с вертикальной проекцией (а'Ь') заданной прямой. Отсюда — прололхаеьз вертикальную проекцию (а'Ь') прямой ло пересечения с осью проекции в точке Р„и через нее проводим горизонтальный след (Рь) плоскости — перпендикулярно осн проекций. Пример 90 Заключить прямую АВ в плоскость Р, параллельную оси проекций (фиг. 296).

Решен не. Известно, что профильная проекция произвольной пря»ой, лехашей в профильно-лроекгируюшей плоскосш, совпадаег с профильны» следом плоскости, а слеловательно, и наоборот: профильный спел (Р,) плоскости, заключающей произвольную прямую. совпадает с профильной проекцией (а"Ь") заланной прямой.

Отсюда — находи» профильную проекцию (а"Ь") прямой и продолхаеы Р, Рр . у Ь ! ! а Фиг. 296 106 Фнг. 298 Фнг. 299 ее до пересечения с осямн ОУ н ОУ в точках И' и Пгн Затем проводим горизонтальный след (Р,) плоскости н вертикальный след (Р,) плоскости параллельно оси проекций (см, чертеж). Примечание. Ниже показано решение этой задачи без использования профильной плоскости проекций. Вывод. Через произвольную прямую можно провести: единственную горизонтально-проектнруюшую плоскость, единственную вертикальво-проектируюшую плоскость, единственную профильно-проек~ируюшую плоскость (почему?).

Пример 91 Заключить прямую АВ в плоскость Р общего положения, зная точ?гу схода следов (Р„) плоскости (фиг. 297). Решение, Известно, что следы прямой, лежащей в плоскости, находятся на одноименных следах плоскости и наоборот: следы плоскости, заключающей прямую, должны проходить через одноименные шзеды прямой. Находим след (е, е') прямой и проводим верзнкальпый след (Р„) плоскости через точки Р„и е' и горизонтальный след (Р„) плоскости через точку Р,— параллельно горизонтальной проекции (аЬ) прямой (почему?). Пример 92 Прямую АВ заключить в плоскость Р общего положения (фиг.

298). Решение. Находим след(Ь. Ь') прямой н, задав на осн проекций произвольно (почему?) точку Р„, проводим следы плоскости: горизонгальный (Рь) — через точки Р, и Ь в вертикальный (Р,) — через точку Р„ — параллельно вертикальной проекции (л'Ь') прямой (по тему'.). Пример 93 Построить следы плоскости Р общего положения, проходящей через точку А, зная точку схода следов (Р„) плоскости (фпг. 299, 300).

Решение Ь Используем горизонталь плоскости. Проводим проеьшш произвольной горизонтали через одноименные проекции точки (с, и') и находим ее след (е. Н). Проводим вертикальный след (Р,) плоскости через точки Р„и е' и горизонтальный след (Р„) — через точку Р, — параллельно горизонтальной проекции горизонтали (почему?). 2 Используем фропталь плоскости. Проводил~ проекции произвольной фронталн через одноименные проекции заданной гочки (а, а') и находим ее след (Ь, Ь').

Проводим гор~гзонта зьный спел (Рй плоскости через точки Р„ н Ь н вертикальный след (Р,) — через зочку Р„ — параллельно вертикальной проекции фронтали (почему?). Примечание. Через точку А можно провести любую прямую. 107 фвг. 300 Рв Пример 94 Построить следы плоскости Р общего поло:кения, проходящей через точку А (фнг. 301 — 303). Геше ни е. 1. Проволпм проекции произвольной прямой через одноименные проекции точки (а, а') и находим се следы (й, Н) и (с, в'). Так как через точку можно цровеспг множество плоскостей, задзем на оси проекпнй нрогьзвольнуго точку Р„и провалим следы плоскости: горизонтальный (Р„) — через точки Р„и 1~ л вертикальный (1',) — через точки Р„п ° '.

2. Используем горизонталь плоскости. Проводим проекции произвольной горизонтали через одноименные проекции точки (а, а') и находим ее след (е, ь'). Задаем на осп проекшгй произвольно точку Р„в проводим следы плоскости: вертикальный (Р„) — через точки Р„п с' н горнзопюльный (Р„) — через точку Є— параллельно горпзонталыюй проекции горизонтали (по ~ехгу?).

3. Используем фрапгаль плоскости. Проводим проекции произвольной фронталн через олнонмевные проекции точки (а, а') и находим се след ()ь )г'). Задаем пв оси проекций произвольную точку Р„и проводим следы плоскости; горизонтальный (Рь) — через точки Р„и а п вергггкальны11 (Р„.) — через точку Р— параллельно вертикальной проекции фронталн (почему?). ЗАДАЧИ 199. Перечислить прямые, которые можно провести н плоскости Р ()л, 304 — 311).

200. Найти следы плоскости, задаипои: двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми, прямой и точкой (фиг. 312 — 317). 201. Найти профильный след плоскости Р (фиг. т!8 — 327). 202. Пронести н плоскости Р произвольную прямую, проходящую через указантгые четверти (фиг. 328 — 332). 203. Построить на плоскости Р геометрическое место точек, удаленных от горизонтальной плоскости проекций на 15 мм (фиг. 332, 333).

204. Построить на плоскости Р геометрическое место точек, удаленных от вертикальной плоскости проекций па 15 мм (фиг. 332, 333). 205. Построить на плоскости Р точку А с заданными координатами (фиг. 332, 333): 103 ц Фнг. З15 Фнг. с ь' Фиг ф Фнг. 319 206. Определить недостающие проекция точек, ле кащнх на плоскости Р (фнг. 334 — 341). 207. Дана горизонтальная проекцня треугольника АВС, лежащего в плоскости Р. Опрелетить его вертикальную проекцию (нли наоборот): не пользуясь главными линиями плоскостн; пользуясь горнзонталямн н фронталямн плоскости (фиг.

342, 343). 200. Дана олна нз проекций греугольнпка АВС, лежащего в профнльно-проектнрующей плоскостн. Определить другую его проекцию: не пользуясь профильной плоскостью проекций; пользуясь профильной плоскостью проекциИ (фпг. 344, 345). 209. Определить недостающнй след плоскости Р, заданной одним следом н точкой, лежащей на этой плоскостн (фиг. 346-355). 210. Построить следы плоскости Р, проходящей через точку А, если дана точка нх схода и известно, что плоскость: 1) общего положения (фнг.