Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество, страница 62

Подобным свойством обладают линии магнитного поля. Это позволяет представить поле вектора магнитной индукции В как поле ротора некоторой векторной функции А '), которую называют векторным потенциалом В = го1А. (107,23) Входить в дальнейшие подробности по поводу векторного потенциала мы не имеем возможности.

й 108. Уравнения Максвелла Открытие тока смешения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых яв лений, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вы вод о существовании электромагнитных волн, распро страняюшнхся со скоростью света.. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.

Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме этн уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (103.6) и (44.1). Для удобства изложения напишем их еще раз (Ы8.1) (108.2) Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции. ') Во всех предыдущих формулах символом А мы обозначали произвольный вектор. Векторный потеицнвн магнитного поли при.

нато обозначать этим зке сиыволом Д. Второе уравнение отражает то свойство вектора В, что его линии замкнуты (илн уходит в бесконечность). Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (105.4) н (18.6): $н,а-~~„шя+~1ф) аз, заезд ~й„сБ ( рЛ' (108.4) (под ) здесь и в дальнейшем понимается плотность тока проводимости). Первое уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смешения и порождаемым ими магнитным полем, Второе показывает, что линии вектора 0 могут начинаться и оканчиваться на зарядах. Уравнения (108.1) — (108.4) представляют собой уравнения Максвелла в интегральной форме.

Они связывают значения Е или Н вдоль некоторого контура со значениями В (соответственно 1)) в точках опирающейся на контур поверхности. От уравнений в ннтегралыюй форме можно с помощью теорем векторного анализа перейти к уравнениям в дифференциальной форме, которые связывают значения Е или Н в некоторой точке с В (соответ. ственно 0) в той же самой точке пространства.

Применим теорему Стокса (см. (107.14Ц клевой части формулы (108.!), взяв в качестве поверхности, по которой производится интегрирование функции (го1 Е), ту же поверхность, по которой берется интеграл в правой части. Тогда уравнение (108,1) примет вид 1- .---1©- Оба интеграла берутся по одной и той же поверхности. Поэтому полученное равенство можно написать следующим образом: ') (го1Е+ —,) ЫЯ=О. Это равенство должно выполняться для произвольно выбранной поверхности интегрирования 8, что, очевидно, возможно лишь в том случае, если подынтегральное выражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной плошадки г(8 будет равно нулю.

Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство го1 Е дВ д1 ' Применив теорему Стокса к формуле (108.3) и повторив те же самые рассуждения, найдем, что го1 Н =)+ —. до дг Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса (см. (107.5)) к левой части формулы (1084). В результате получим уравнение )' йч 0 Л' = ) р дУ. У Применение теоремы Остроградсиого — Гаусса к фор. муле (108.2) дает 61ч В О.

Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят следующим образом: дВ го1 Е дС ° 01чВ 0 (108.6) (108.6) Прн произвольном выборе объема, по которому производится интегрирование, полученное соотношение может выполняться лишь при условии, что подынтегральные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е. б)чР=р.

(первая пара уравнений), го1 Н 3+ —, дР 01ч0 =р, (вторая пара уравнений). (108.7) (108.8) 395 дЕ» дЕк дВ» ду дк Ф дЕ» дЕ» дне (108.12) дк дк дГ дЕе дЕ» дВ» дН» дНк ВР» ~а 1 +— ) + —, дР» + —. ду дк дН» дН» (108,13) да дН» дк дН„ Уравнения (108.6) и (108.8) можно написать в скалярном виде, использовав соотношение (107.4) дВ» дВк дВ» — + — + — ° О, дк ду дк дР» дРе дР» — + — + — -р. дк ду дк (108.15) В гауссовой системе уравнения Маисвеаиа ниеигт вил 1 дн го1 Е с дг' шва О, 4и 1 дР го1 и — 1+ — —, 1 с с дт' 41в Р 4ир. (108.101 (108.17) При решении этих уравнений используется то обстоятельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения 11 все Е, (108.8) В =р,рН, (108.10) аЕ. (108.11) Совокупность семи уравнений (108.5) — (108.11) образует основу электродинамики покоящихся сред.

Спроектировав уравнения (108.5) и (108.7) на координатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных. Приняв во внимание формулы (107.10) — (107.12), получим ГЛАВА ХЧН! ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ф 109. Волновое уравнение В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным '). Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д. Таким образом, если возбудить с помощью заря. дов переменное электрическое или магнитное поле,'в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке.

Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Максвелла. Наиишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной (р О) непроводящей (1 О) среды с постоянными проиицаемостями е и р.

В этом.случае дв дн до дд — й4о — — аеа — > дт дт ' дт дГ' йч В = рро с)1ч Н и Жч 0 вео Жч В. ') Для того чтобы воаниишее магнитное иоле было настоян. ным, необходимо соблигдеиие весьма сиециальиого условиги ы ° соней Следовательно, уравнения (108.5) — (!08.8) дН го1Е = — рпе— дг 1 ан.„ ан„ ан, б)ч Н вЂ” + — + — О, дх ду де дЕ го1 Н =азов д~ ' дЕ» дЕ~ дЕ г!1чЕ = — + — "+ — *=О.

дх дд дз имеют вид (109.1) (109.2) (109.3) (109.4) Применим к уравнению (!09.1) операцию го1 го1 (го1 Е] = — рр, го1 ( — ). (109.5) Применив операцию го1 к уравнению (109.3) и произведя аналогичные преобразования, придем к уравнению го1(го1 Н) = -ееррро дгэ Фн (109.7) В соответствии с (107.22) го1 го1 Е = игад Йч Š— ЛЕ. При условии, выражаемом уравнением (109.4), первый член этого равенства обращается в нуль.

Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде — ЬЕ. Опустив в получающейся формуле знак ми. нус слева и справа, придем к уравнению ЬЕ ееерре д,, РЕ или, расписав ЛЕ, а„+ а„+ — д ееорре —,. (109,8) ФЕ д'Е ФЕ дгн Символ го1 означает дифференцирование по координатам. Меняя порядок дифференцирования по координатам и времени, можно написать го1! — ~= — (го1 Н). !дн1 д 1д~ ! д~ Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (109.3) для го1 Н, получим го1( 1Е) — ееоррз д„° д~Е Сходным образом уравнение (109.7) можно преобразовать к виду дан дгН дан д'Н +, ееср4гс —,, (109.9) Заметим, что уравнения (!09.8) и (109.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравне.

ннй (1093) и (109.3), каждое из которых содержит н Е и Н. Уравнение вида — + — + — = —— да! да! дг1 ! да! даа дса даа еа дР 1 1 и — —— (109.10) )"есва У и Для вакуума по этой формуле получается о —, 3 ° 10а м(сек =с 1' еояа 4п ° 10 4п ° 9 ° 1оа 1см. значения (4.2) н (38.3) для еа и ре1. Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро магнитных волн совпадает со скоростью света.

В гауссоаоа сасгеме с с )Ге1г (109.11) представляет собой волновое уравнение (см. т. 1, $80)), Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный дйг из величины, обратной коэффициенту при — „, дает фа зовую скорость этой волны. Таким образом, уравнения (!09.8) и (!09.9) указывают иа то, что электромагнитные поля могут суп1ествовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна $110.

Плоская электромагнитная волна Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной непроводящей среде (р = О, 1 ' О, П еедЕ, В = ррэН, е и р — постоянные). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их составляющие не будут зависеть от координат р й г. Поэтому уравнения (108.12)— [108.15) упрощаются следующим образом: — =0 дНх И ан, ан, — = РРх— дх анх ан, — =0 анх д~ ° ан, ан„ вЂ” = — азов дх Ф дН ~ ддх еео ° дх д8 дНх — =О, д» (110.1) (110,2) (110.3) — О.